1650. Infinitésimos...

     Profe, mire. La primera pareja de la tabla de infinitésimos equivalentes en x = 0 es  

senx ~ x 

lo cual significa que ambos se anulan pero que lim_x→0 ( senx / x ) = 1. Esto es obvio porque la indeterminación 0/0 se puede resolver con la regla de L'Hôpital: cos0 / 1 = 1. Pero los infinitésimos se ven antes que las derivadas por lo que habría que justificar este límite sin derivar... 

    Ya conocemos a Pepe Chapuza... ¿Quién lo justifica sin derivar?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla dibujó el primer cuadrante del círculo unidad y dos triángulos... 

    Mire, profe. El triángulo OAC es menor que el sector circular OAC que a su vez es menor que el triángulo OBC. Si x es el ángulo común en O, entonces las tres áreas ordenadas son...

senx / 2 < x / 2 < tgx / 2

...multiplicando por 2 / senx... 

1 < x / senx < 1 / cosx

...e invirtiendo... 

1 > senx / x > cosx

    Y cuando x tiende a 0 (sería en principio por la derecha porque estamos en el primer cuadrante..., pero por la izquierda, en el cuarto cuadrante, es similar)...

1 ≥ lim_x→0 ( senx / x ) ≥ 1

Con lo que queda justificado el límite... Se podría decir que senx / x tiene una discontinuidad evitable en x = 0. De hecho es una función curiosa: se anula en todos los números enteros multiplicados por π... excepto en el 0.

    Y Nina hizo un esbozo chapucero de la gráfica... pero me bastaba para lo que pretendía... Comenté que la discontinuidad evitable se podía evitar definiendo la función f:

 f(x) = senx / x    si x ≠ 0

 f(0) = 1

    Y pedí integrar f... sin especificar el tipo de integral... Esta es una de esas funciones enrevesadas del Análisis... 

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota no cayó en la trampa... 

    Mire, profe. Se sabe que no se puede escribir una primitiva de f en función de funciones elementales. Pero sí se puede calcular la integral definida impropia

I =ഽ_−∞^∞  f(x) dx

    ¿De algún modo sería la diferencia entre las áreas azules y las rosas...? De hecho la integral se puede hacer de varias maneras... La forma siguiente me gusta, mire... Como f es una función par...

I = 2ഽ₀^∞  senx / x dx

Inserto el factor − e^−x·∞  + e^−x·0 (es 1 porque entre los límites de integración x>0)

I = 2ഽ₀^∞ senx (−e^−x·∞ + e^−x·0) / x dx

Aplico la regla de Barrow (al revés) y el teorema de Fubini (alegremente)

I = 2ഽ₀^∞  senx ഽ₀^∞ e^−xy dy dx = 2ഽ₀^∞ഽ₀^∞ e^−xy senx dx dy

Hago la integral indefinida J = ഽ e^−xy senx dx  por partes (d e^−xy = −e^−xy y dx, d senx = cosx dx, d cosx = −senx dx)

J = − e^−xy cosx − e^−xy y senx − y² J = −e^−xy ( cosx + y senx ) / ( 1 + y² )

Como la y también es positiva y el seno y el coseno son funciones acotadas...

J|₀^∞ = (−e^−∞·y (¿cos∞? +  y ¿sen∞?) + e^−0·y (cos0 +  y sen0)) / (1 + y²) = 1 / (1 + y²)

Y por tanto

I = 2ഽ₀^∞ 1 / ( 1 + y² ) dy = 2arctg∞ − 2arctg0 = 2π/2 = π

    Precioso resultado... a pesar de las cosas raras de Yoyó... Esta es la llamada integral de Dirichlet. El lector riguroso puede añadir el rigor que precise...