1655. Los círculos gemelos de Arquímedes

     Mire, profe. Dividimos en dos partes un arbelos de vértices A, B y C mediante una perpendicular a la recta ABC que pasa por B. (B está entre A y C.) Entonces, los círculos inscritos en cada parte del arbelos son iguales.

    Menos mal que Pepe Chapuza acompañó esta proposición con un dibujo. ¿Quién la quiere demostrar? 

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla se adelantó a los demás... 

    Mire, profe. Estos se llaman los círculos gemelos de Arquímedes, y la demostración no es difícil. 

    Sean R y r los radios de las semicircunferencias AB y BC. Supongamos que R≥r. El radio de la semicircunferencia AC será R+r. Sea s el radio del círculo de Arquímedes de la derecha y consideremos los triángulos rectángulos naranja y violeta. Como tienen un cateto común, aplicando el teorema Pitágoras y la tercera identidad notable... 

(R+r−s)² − (R−r+s)² = (r+s)² − (r−s)²

2R 2(r–s) = 2r 2s

Rr = Rs+rs

s = Rr/(R+r)

    Tanto la multiplicación como la adición son operaciones conmutativas, así que, en la fórmula obtenida, R y r son intercambiables... Por tanto el radio del círculo de Arquímedes de la izquierda mide también s... y podemos decir que los círculos de Arquímedes sí son gemelos...

    Muy bien... ¿Algo más que añadir? 

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota comentó que en el arbelos se han ido descubriendo muchos círculos del mismo tamaño que los de Arquímedes con preciosas propiedades... 

    ¡Profe, si resulta que los círculos de Arquímedes no son gemelos sino multillizos...!