9. Combinatoria prohibida (Bachillerato)

    Profe, ¿cuántos subconjuntos de 5 elementos hay en un conjunto 3 elementos?

    De nuevo era Pepe Chapuzas. Le dije que si solo había 3 elementos no podíamos coger 5.

    Entonces la respuesta es 0, ¿verdad?

    Le contesté afirmativamente. No sabía adónde quería llegar... Empezó a garabatear en su cuaderno...

    Mire, profe:

    Y para que la fracción se anule, tiene que ser  (–2)! = ± ∞  .

    Y lo mismo le pasaría a cualquier número negativo, es decir  (–n)! = ± ∞ .

    Ahora empezaba a entender por qué le llamábamos Pepe Chapuzas. Le comenté que sí había factoriales de números negativos, por ejemplo:

    Pepe creía que estaba bromeando..., ¡pero el resultado era cierto!
    ¿Podrías con este dato calcular  5,5! ?

    Si quieres saber más, busca información sobre la función gamma.

8. Tres dados sin pódium

    Pepe Chapuzas colecciona pódiums. Tiene un pódium para sus tres mejores canicas, otro para sus tres mejores aviones de papel, otro para sus tres mejores peonzas... Además está convencido de que la relación "ser mejor" es transitiva. Es decir, como la canica azul es mejor que la canica roja y la canica roja es mejor que la canica amarilla, entonces la canica azul es mejor que la canica amarilla. Sus canicas tienen un orden indiscutible en el pódium...

    Un día le regalé tres dados "raros". El dado verde tenía los números 1-1-5-5-5-5, el dado naranja tenía los números 3-3-3-4-4-4, y el dado morado tenía los números 2-2-2-2-6-6. Pepe enseguida pensó en un pódium para sus nuevos dados, pero ¿cuál de los dados sería el mejor? Se imaginó competiciones entre dados, y calculó con la regla de Laplace las probabilidades de ganar de cada uno:

    Profe, mire los diagramas.

    La probabilidad de que el verde gane al naranja es 24:36 = 0,666...

    Y la probabilidad de que el naranja gane al morado es también 24:36 = 0,666...

    Está claro. El verde es mucho mejor que el naranja y el naranja mucho mejor que el morado.

    Ya sé cómo me va a quedar el pódium:

    ¿O no estaba tan claro? Porque al final... ¡Pepe me devolvió los dados! ¡Y parecía estar enfadado!

    Calcula las probabilidades que faltan (VERDE contra MORADO) y dime por qué se enfadó Pepe.

DEBATE:
    Busca 8 relaciones del estilo "ser amigo", "ser mayor", "ser vecino", "ser hijo", etc. y argumenta si son o no son transitivas.

7. El método de los zapatos

    Profe, ¿hay que decir el método que se utiliza?

    Era Pepe Chapuzas en medio de un examen. Le dije que sí, suponiendo que se refería a los métodos de reducción, sustitución o igualación. Lo que no me imaginaba es que no iba a plantear ningún sistema de ecuaciones...

PROBLEMA:
    En un corral de conejos y gallinas hay 62 cabezas y 168 patas. ¿Cuántos animales de cada clase hay?

RESPUESTA DE PEPE CHAPUZAS:
    Voy a resolverlo por el método de los zapatos:
    Compro un par de zapatos a cada animal.
    En total son  62 · 2 = 124  patas con zapatos.
    Las patas sin zapatos,  168 – 124 = 44 , son manitas de conejo.
    Por lo tanto hay  44 : 2 = 22  conejos.
    Y el resto de animales,  62 – 22 = 40 , son gallinas.

    Pepe nunca dejará de asombrarme...

    Resuelve el siguiente problema con el "método de los zapatos":

PROBLEMA:
    En un árbol hueco se esconden hormigas y arañas. Si en total hay 45 bichos y 294 patas, ¿cuántas hormigas y cuántas arañas hay?

6. ¿Una chapuza musical?

    Pepe Chapuzas investiga las Matemáticas que hay detrás de las cosas y a veces se lleva sorpresas...

    Profe, ayer en Música nos hablaron de los armónicos. Mire, si una cuerda vibra, por ejemplo en DO, la mitad de la cuerda vibra con frecuencia doble. Es lo que se llama el primer armónico, y resulta que es el siguiente DO. Y como entre los dos DOS hay una octava entera, la distancia es de 12 semitonos.

    Yo ya me estaba perdiendo pero él seguía...

    Y un tercio de la cuerda vibra con frecuencia triple, que es el segundo armónico. Y resulta que es el segundo SOL. O sea que ahora el intervalo es de 19 semitonos.

    Al verme confuso y aturdido me hizo un dibujo para que comprendiera:

    Conté los semitonos,  12 + 7 = 19 , y dejé que continuara...

    Como las frecuencias de las notas (de la escala cromática) están en progresión geométrica, me puse a calcular la razón de la progresión...

    Si lo hago con el primer armónico, tenemos frecuencia doble y 12 semitonos, por lo tanto:

    Si lo hago con el segundo armónico, tenemos frecuencia triple y 19 semitonos, así que:

    Como ve, algo no cuadra. ¿Qué "chapuza" es esta?

    ¿Se habrán afinado los instrumentos musicales siempre de la misma manera? Investiga en Internet y se lo aclaras a Pepe.

5. ¡¡ Bienvenidos a la FAIN !!

    Profe, el tutor nos ha dicho que tenemos que organizar las tardes en tiempo de estudio y tiempo de ocio. Y tengo un serio problema: ¿dónde meto las Mates?

    Esa semana tocaba revisión de cuadernos y al hojear el de Pepe Chapuzas empecé a comprender su "serio problema". ¡Estaba lleno de actividades que no habíamos mandado! Más tarde me confesó que se las inventaba en su tiempo de "estudio-ocio". Aquí os copio un ejemplo:

    Los números invitados a la FAIN (Fiesta Anual Internacional de Números) no saben por qué han sido invitados. Tienen algo en común que tienen que descubrir. Este año parece fácil:

    ¿Puedes decir algunos números invitados a la FAIN y qué idiomas hablan? ¿Alguien sabe si hay algún 0 en la fiesta?

4. Una trompeta para pintar

    A Pepe Chapuzas le fascina el infinito. Le encanta jugar con él en arriesgadas piruetas. Un día se tropezó con una "paradoja":

    Profe, he calculado el área entre media rama de hipérbola y su asíntota (era el ejercicio 44 de la unidad) y me sale infinita. Si quisiera pintar esta superficie necesitaria infinita pintura, y saldría infinitamente caro, ¿verdad?



¡OJO! Las unidades están en decímetros

    Pero si giro este trozo de hipérbola alrededor de la asíntota tengo una especie de trompeta. Mire cuál sería su capacidad (problema 45):

    ¡Menos de 3,1416 litros! ¡En casa tengo una lata de 5 litros! ¿Podría pintar la superficie del principio si la meto en mi trompeta llena de pintura? ¡Sería superbarato!

    ¿Quién puede contestar a Pepe? ¿Quién descubrió la "trompeta para pintar" mucho antes que Pepe?

3. Euler en entredicho

    Para Pepe Chapuzas lo peor de las Matemáticas es que sean "tan dogmáticas". De hecho, siempre está intentando encontrar "fallos" a los grandes matemáticos. Un día me salta con esta:

    Profe, donde vivo no funciona "lo de Euler", lo de que CARAS + VÉRTICES − ARISTAS = 2. He probado con pirámides, prismas, el icosaedro, el dodecaedro, y hasta con mi balón de fútbol..., y funciona, pero con mi bloque de pisos mire lo que pasa (¡ojo!, la planta del edificio, que no se ve, es como el tejado):

    4 caras a la calle, 4 al patio, 4 arriba y otras 4 abajo, en total 16 caras.
    8 vértices arriba y otros 8 abajo, en total 16 vértices.
    12 aristas arriba, otras 12 abajo y 8 más verticales, en total 32 aristas.
    Así que tenemos CARAS + VÉRTICES − ARISTAS = 16 + 16 − 32 = 0.
    ¡Vaya Chapuza!¡No funciona!

    ¿Se equivocó Euler? Busca información en Internet y cuéntanoslo.



2. Ruffini para todo

    Pepe Chapuzas no tiene solución, y si no, mirad cómo resolvió el siguiente límite:

    El resto no lo entendí, así que, por supuesto, tuvo que explicármelo:

 

    Profe, yo empecé sustituyendo las  x  por  − ∞ , luego hago las potencias, y me atranqué porque me salía una indeterminación. Hasta que me acordé del teorema del resto, ese que dice que da igual sustituir las  x  por  a , que el resto de dividir entre  x – a , es decir "lo de Ruffini", ya sabe, y eso es lo que hice. Al final me salió  − ∞ .

    Me quedé perplejo. ¡Nunca había visto tamaña chapuza!
    ¿Funciona el método de Pepe para todos los polinomios, con   − ∞  y con  + ∞  ?
Intentad darme una explicación.

    En clase habéis utilizado la regla de Ruffini con el teorema del resto y en la factorización de polinomios. Pero hay más... En este enlace podrás ver otra aplicación de la regla de Ruffini:

                                                              Sistema Binario

    Hasta pronto.

1. Divide y vencerás

    Pepe Chapuzas era un alumno con la "rara" habilidad de hacer a veces difícil lo fácil. Aquí tenéis un ejemplo:

    En un examen de contenidos mínimos le propuse la siguiente división:


    Y esta fue la chapuza de respuesta:

    Le pedí explicaciones de lo que había hecho y esta fue su contestación:

    Profe, me equivoqué en la primera cifra, me quedé corto, pero seguí adelante:
    Tengo 15 que entre 3 tocan a 4, ahora 4 por 3 dan 12, y del 12 al 15 van 3.
    Bajo un 0 para sacar decimales, tengo 30 que entre 3 tocan a 9 porque solo puedo poner una cifra, ahora 9 por 3 dan 27, y del 27 al 30 van 3.
    Bajo otro 0, tengo otra vez 30 que entre 3 tocan otra vez a 9, y como ve me salió un número periódico...
    Pero bueno, "casi" acierto, ¿verdad? ¿Qué nota me va a poner?

    Lo único que le dije es que firmara el examen porque se le había olvidado.

dibujos hechos con Paint por el autor

    Si la división valía 1 punto del examen, ¿tú qué nota le pondrías? Razona la respuesta.