238. El criterio del 11

    Estábamos repasando en clase los criterios de divisibilidad y como ejemplo había que comprobar que 5786 era un múltiplo de 11. Algunos alumnos no se acordaban del criterio del 11 y dividieron directamente 5786 entre 11.

    Los que sí se acordaban del criterio hicieron más o menos lo siguiente:

    Pepe Chapuzas se complicó un poco intentando justificar por qué funcionaba así el criterio del 11. En su cuaderno escribió la siguiente chapuza...

    Leamos despacito el número 5786.
    Cinco mil, setecientos, ochenta, y seis...
    O sea, 5000 + 700 + 80 + 6.
    O sea, 5·1000 + 7·100  + 8·10 + 6.
    O sea, 5·10³ + 7·10² + 8·10 + 6.
    Y si escribimos ahora 10 como los romanos ( 10 = x )
    tenemos 5x³ + 7x² + 8x + 6. ¡Un polinomio! 
    Y también 11 = 10 + 1 = x + 1.
    Así que la división 5786 : 11 se convierte en
    la división de polinomios ( 5x³ + 7x² + 8x + 6 ) : ( x + 1 ).
    Y por el teorema del resto, el resto de esta división será
    5·(–1)³ + 7·(–1)² + 8·(–1) + 6 = – 5 + 7 – 8 + 6 = 0
    que no es otra cosa que el criterio del 11.

    Todo parecía cuadrar... pero a Pepe se le había olvidado que al aplicar el criterio del 11 el resultado no tiene por qué ser 0 sino que puede ser 11 o un múltiplo de 11. ¿Puedes arreglar y terminar esta chapuza de Pepe?
    ¿Cómo se podría aplicar el criterio del 11 con la regla de Ruffini?
    ¿Cuál es el menor múltiplo (natural) de 11 para el que el resultado de aplicar el criterio es 11?
    ¿Y cuáles son los menores múltiplos (naturales) de 11 para los que el resultado de aplicar el criterio es 22, 33, 44...?
    ¿Te atreves a justificar el criterio del 9 al estilo de Pepe Chapuzas?  

204. Código máquina

    Estábamos viendo en clase las bases de numeración y cómo las calculadoras trabajaban en base 2 (solo con ceros y unos, los famosos bits)... Comenté cómo primero se introducían los números en base 10 (nuestras 10 cifras de toda la vida) y las operaciones con las teclas, a continuación la máquina lo traducía todo a la base 2 (código máquina) y realizaba las operaciones para conseguir el resultado también en base 2 y, finalmente, convertía este resultado en base 10 para mostrarlo en la pantalla. Expliqué que las máquinas solo operaban en base 2 y por eso se tenía que traducir de una base a otra continuamente para permitir la comunicación con el humano que solo entendía en base 10... Pepe Chapuzas encontró una curiosa similitud...

    Profe, algo parecido hago cuando tengo que operar con números romanos. Si quiero multiplicar LXXVII por XLIX, primero paso los números al sistema decimal (77 por 49), después realizo esta multiplicación (3773), y escribo el resultado con números romanos: MMMDCCLXXIII. Es como utilizar una máquina del tiempo para resolverle los problemas a los romanos... 

    ¡Qué cosas hace Pepe Chapuzas! Pero ello me dio la idea para un ejercicio... Propuse operar con números escritos en diferentes bases, utilizando la base 10 de intermediaria como en el ejemplo de los números romanos...

    Aclaré que los subíndices indicaban la base. El primer sumando estaba en base 7 y el segundo en base 4. El resultado debía darse en base 5... Pepe resolvió el ejercicio utilizando la regla de Ruffini...

    Busca en Internet cómo se pasa de una base no decimal a la base 10 y de la base 10 a una base no decimal, y resuelve el ejercicio explicando todos los pasos. ¿Se podría hacer sin utilizar la base 10?

68. El límite escondido

    Profe, ¡qué despiste! Pensé que había terminado el examen... Me puse a repasar... y cuando faltaban dos minutos para que sonara la campanilla le di la vuelta a la hoja de enunciados y... ¡allí estaba escondido! ¡Me faltaba un límite por hacer!

    No he visto a nadie más despistado que Pepe Chapuzas. Cuando corregí su examen esto fue lo que me encontré:

    Como veis, a Pepe no le dio tiempo de explicar lo que había hecho...
    ¿Es correcto el resultado? Explica tú todos los pasos. Espero tu respuesta...

2. Ruffini para todo

    Pepe Chapuzas no tiene solución, y si no, mirad cómo resolvió el siguiente límite:

    El resto no lo entendí, así que, por supuesto, tuvo que explicármelo:

 

    Profe, yo empecé sustituyendo las  x  por  − ∞ , luego hago las potencias, y me atranqué porque me salía una indeterminación. Hasta que me acordé del teorema del resto, ese que dice que da igual sustituir las  x  por  a , que el resto de dividir entre  x – a , es decir "lo de Ruffini", ya sabe, y eso es lo que hice. Al final me salió  − ∞ .

    Me quedé perplejo. ¡Nunca había visto tamaña chapuza!
    ¿Funciona el método de Pepe para todos los polinomios, con   − ∞  y con  + ∞  ?
Intentad darme una explicación.

    En clase habéis utilizado la regla de Ruffini con el teorema del resto y en la factorización de polinomios. Pero hay más... En este enlace podrás ver otra aplicación de la regla de Ruffini:

                                                              Sistema Binario

    Hasta pronto.