68. El límite escondido

    Profe, ¡qué despiste! Pensé que había terminado el examen... Me puse a repasar... y cuando faltaban dos minutos para que sonara la campanilla le di la vuelta a la hoja de enunciados y... ¡allí estaba escondido! ¡Me faltaba un límite por hacer!

    No he visto a nadie más despistado que Pepe Chapuzas. Cuando corregí su examen esto fue lo que me encontré:

    Como veis, a Pepe no le dio tiempo de explicar lo que había hecho...
    ¿Es correcto el resultado? Explica tú todos los pasos. Espero tu respuesta...

67. Lotería y superstición

    Pepe Chapuzas me preguntó cuál era el criterio de divisibilidad del 19. Sospeché que me estaba poniendo a prueba así que yo, a mi vez, le pregunté cuál era su interés por saberlo. Entonces Pepe me relató la siguiente historia:

     Profe, mire. Mis padres siempre van a los mismos loteros para comprar los décimos de Navidad porque dicen que son muy "sinceros". Tienen este letrero: "vendemos lotería para coleccionar... porque tocar nunca toca..., y si toca... le devolvemos su dinero"... Mis padres son algo supersticiosos y este año quieren números que sean múltiplos de 19, a saber por qué... Fui con ellos, y con una calculadora por si las moscas, pero cuando llegamos, a la calculadora se le había agotado la batería... Nos vendieron los números 31606, 61845, 18392, 85163 y 16207. Les pregunté a los loteros cómo sabían que eran múltiplos de 19 si no habían hecho las divisiones y uno de ellos me contestó que había aplicado de cabeza el criterio de divisibilidad del 19... Al ver mi cara de extrañeza me fue escribiendo en un papelito la prueba para el 16207... Al 16207 le quitó la última cifra, esto es, tachó el 7, y le quedó 1620; luego duplicó el 7 tachado, es decir, 7·2=14; y este 14 se lo sumó al 1620, o sea, 1620+14=1634. Con este número hizo lo mismo, le tachó la última cifra y le sumó el doble de la cifra tachada, y repitió el proceso hasta que quedó un número menor que 20. Me dijo que si este número fuera 19 (como así pasó al final) el número inicial (aquí el 16207) sería un múltiplo de 19.

    Comprueba con este criterio que todos los números comprados son múltiplos de 19 excepto uno. ¿Cuál?
    ¿Hay algún criterio de divisibilidad similar para el 29, el 39 y el 49...?
    ¿Hay algún criterio de divisibilidad similar para el 7, el 13 y el 17...?

66. El calendario de las abejas

    Pepe Chapuzas llegó a clase con la cara hinchada. Explicó que se debía a la picadura de una abeja porque el fin de semana estuvo practicando apicultura en un colmenar. Pero a pesar del escozor que sentía en la cara estaba muy contento porque había aprendido muchas cosas. Por ejemplo, que la reina era la madre de todas las abejas del enjambre: de las obreras que lo hacían todo y de los zánganos que no hacían nada. O que en cada colmena había un panal que en realidad era un calendario perpetuo... Lo primero lo sabíamos todos pero lo segundo nos pilló de sorpresa. Pepe se congratuló en mostrárnoslo:

    Para las abejas los puntos cardinales no son 4 sino 6. ;-) Estos 6 puntos cardinales se podrían llamar chapuceramente E, NE, NO, O, SO y SE. Y digo chapuceramente porque en realidad se corresponden con los ángulos de 0º, 60º, 120º, 180º, 240º y 300º respectivamente.

    El calendario en sí consiste en un panal de 37 celdillas como se ve en el dibujo siguiente. Bueno, las letras las he puesto yo e indican los días de la semana como en los taxis: L, M, X, J, V, S y D. (Las abejas lo hacen con diferentes mieles). 

    Para saber qué día de la semana corresponde a una fecha determinada (día/mes/año) solo hay que avanzar tres celdillas (o dos, o una o ninguna) a partir de la celdilla central (el domingo central). Se avanza una celdilla (o ninguna) por el día, otra celdilla (o ninguna) por el mes, y otra celdilla (o ninguna) por el año. La dirección y el sentido de cada avance vienen determinados por las siguientes tablas teniendo en cuenta que para los que quedan en las casillas centrales no se realiza ningún avance.
    Hay dos tablas de años: una para el siglo XX y otra para el siglo XXI (las abejas no entran en polémicas sobre cuándo empiezan y terminan los siglos). Los años bisiestos aparecen en rojo y los demás en azul. Esto afecta a los avances de enero y de febrero, que por ello aparecen también en estos colores. Observad que 2000 fue bisiesto mientras que 1900 no lo fue.
  Por ejemplo, el día 1 de febrero de 2014 es sábado porque para el 1 avanzamos al NE, para febrero (azul) avanzamos al SE y para el 2014 (azul) avanzamos al E. Y no importa el orden NE-E-SE, E-SE-NE... Es como la suma de vectores, que es conmutativa...

    Pepe tiene abejas zumbonas en la cabeza...

    A ver si has entendido bien cómo funciona este calendario perpetuo. Busca el día de la semana en que el hombre pisó la luna por primera vez. Busca también el día de la semana en que naciste.

65. Los números escalera

    Profe, en Informática nos han hablado del sistema de numeración binaria, ya sabe: el 0 y el 1, los bits... Nos dijeron que era un sistema posicional porque el valor del 1 dependía de su posición. El 1 podía tomar los valores de la llamada progresión binaria: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64.... Pero cuando llegamos a los prefijos para los múltiplos, o sea, a los megas, los gigas, los teras..., resulta que no son potencias de 10 sino de 2. ¡Un kilogramo son 1000 (=10³) gramos pero un kilobit son 1024 (=2¹⁰) bits! ¿Qué chapuza es esta de utilizar los mismos prefijos para distintas cantidades?

    A Pepe Chapuzas le extrañó, y con toda razón, esta imprecisión. Le contesté que cuando quisieron poner orden en este asunto era demasiado tarde, pues se crearon unos prefijos propios para el sistema binario (kibi, mebi, gibi, tebi, pebi...) que no cuajaron porque los prefijos decimales (kilo, mega, giga, tera, peta...) eran ya demasiado populares.
    En esto le propuse a Pepe que me demostrara que los términos de la progresión binaria 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64... eran los únicos números naturales que no se podían obtener como suma de números naturales consecutivos, como por ejemplo el 15 = 4 + 5 + 6 = 7 + 8... Pepe me enseñó un dibujo.

    Profe, mire. El 15 es un número escalera:

     Al día siguiente Pepe me enseñó más dibujos que representaban una cadena de demostraciones:

    Profe, mire. He demostrado primero que si en la suma de números naturales consecutivos hay una cantidad impar de sumandos entonces la suma es un múltiplo de un impar distinto de 1, y si hay una cantidad par de sumandos entonces también la suma es un múltiplo de un impar distinto de 1, con lo que demuestro que los términos de la sucesión binaria no son números escalera porque no tienen divisores impares distintos de 1. Mire los dibujos:

    Después demostré que si un número natural N tiene un divisor impar K distinto de 1 y si K² < 2N entonces N es suma de K números naturales consecutivos, pero si K² > 2N entonces N es suma de 2N:K números naturales consecutivos, por lo tanto los números de la progresión binaria son los únicos naturales que no son números escalera.

    Intenta rehacer las demostraciones de Pepe Chapuzas siguiendo sus indicaciones y con ayuda de sus dibujos.

64. Deletrea las cifras y descifra las letras

    Ayer pillé a Pepe Chapuzas pasando una notita en clase. Tuve que llamarle la atención y pedirle el papelito. Se disculpó y me entregó el "arma del delito"... Cuando acabó la clase cotilleé el contenido de lo confiscado. Era un trabalenguas y un criptograma. El criptograma era una suma donde las cifras estaban codificadas con letras:

    Hay varias soluciones. Encuéntralas todas.
    Y si te animas, aquí tienes más..., pero ten cuidado: no todos tienen solución.

63. Cramer y el efecto mariposa

    Profe, me han dicho unos de bachillerato que ellos resuelven los sistemas de ecuaciones lineales con unas fórmulas facilísimas. ¿Por qué no nos las enseña en vez de torturarnos con los métodos de reducción, igualación y sustitución?

    A Pepe Chapuzas le habían hablado de la regla de Cramer... Estábamos haciendo ejercicios de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas y accedí con gusto a su petición. Escribí en la pizarra las "fórmulas facilísimas" para estos sistemas.

    En la yincana matemática de la semana Pepe se encargó de elaborar la primera prueba... Había que resolver un sistema con la regla de Cramer y sin calculadora.

   Generalmente aproximábamos π con 3,14 o 3,1416. El equipo A lo hizo con 3,14 para ser más rápidos y el equipo B con 3,1416 para ser más exactos. Hicieron los cálculos y los revisaron a conciencia... No se habían equivocado en los cálculos, sin embargo los resultados que dieron eran disparatadamente diferentes... Pepe había puesto un ejercicio con trampa que me dio pie a comentar en clase el llamado "efecto mariposa", expresión matemática que se ha popularizado y que se utiliza en muy diversos ámbitos y para muchos eventos de la vida...

    Comprueba que, si los denominadores no se anulan, estas fórmulas de Cramer dan la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
    Calcula las soluciones que obtuvieron los dos equipos. ¿Cuál de los dos equipos superó la prueba?
    Investiga qué es el efecto mariposa y cuéntanoslo.

62. El orden de los factores...

    Profe. ¿Cuántas factorizaciones puede tener un número natural?

    Me asombró que Pepe Chapuzas me hiciera semejante pregunta. Ya habíamos explicado en clase que las descomposiciones en factores primos eran únicas para cada número natural, sin contar, eso sí, el orden de los factores... Y así se lo recordé... Entonces me enseñó Pepe en su cuaderno un dibujo de lo que parecían ser naipes de una baraja...

    Mire profe. Yo ya sé que el orden de los factores no altera el producto, pero precisamente me refiero a eso, al orden de los factores, porque a veces se puede descomponer un número natural de varias maneras.

    Pepe había ilustrado las factorizaciones con unos círculos tan chapuceros que parecían aceitunas. Viéndolos era obvio: los primos no se podían descomponer (por eso eran primos), las factorizaciones de las potencias de los primos solo se podían hacer de una manera (pues todos los factores eran iguales), y las demás factorizaciones se podían obtener de varias maneras (según el orden de los factores).

    La respuesta a su pregunta inicial era "permutaciones con repetición" pero faltaba mucho para ver Combinatoria. Al margen de esto, me gustaron tanto los dibujos de Pepe que creo que los utilizaré para introducir el tema de los fractales.

    Investiga qué son permutaciones con repetición. ¿De cuántas formas se puede obtener la factorización de 42000?
    Investiga qué son los fractales. Busca una página web sobre fractales que te llame la atención. Anota su URL.
    Dibuja los naipes correspondientes a las factorizaciones de 13, 14, 15 y 16.
   
    Espero tu respuesta por e-mail.

61. Una mosca supersónica

    Aquí tenéis un acertijo matemático que planteó Pepe Chapuzas a sus compañeros. Y que ahora os plantea también a vosotros.

    Dos locomotoras (no tripuladas) circulaban al encuentro por la misma vía. Iban ambas a 120 km/h. Cuando estaban separadas 60 km una mosca supersónica empezó a volar de una a otra a una velocidad doble que la velocidad del sonido. (La velocidad del sonido es de 340 m/s). Cuando llegaba a una locomotora rebotaba y se dirigía a la otra. Y así fue rebotando una y otra vez, siempre a la misma velocidad, hasta que al final las locomotoras chocaron y la mosca murió espachurrada. ¿Cuántos kilómetros voló la mosca supersónica?

60. ¡Marchando una de cenefas!

    En la última revisión de cuadernos me llamó la atención la manera que tiene Pepe Chapuzas de decorar su cuaderno: el título de cada tema viene acompañado de un adorno en forma de cenefa. Bueno, el último tema carecía de cenefa... Le pregunté a Pepe por estos adornos y me contestó que realmente no eran adornos y que cada cenefa correspondía a un tema particular y no se podían intercambiar. Quedé intrigado por las explicaciones de Pepe. Le hice notar que faltaba la última cenefa y me comentó que era porque se le había gastado el rotulador rojo...

    Aquí reproduzco las cenefas
    Adelántate a Pepe y dinos cómo es la cenefa que falta. Mándame el dibujo por correo electrónico.

59. Las PG y las PA van en tándem

    Profe mire, los números de la izquierda están en PG (progresión geométrica). Y sus logaritmos (decimales), que son los números de la derecha, están en PA (progresión aritmética). He descubierto que los logaritmos de las PG son PA. Y si tomo logaritmos en las fórmulas de las PG me salen las fórmulas de las PA... ¡Ya no tengo que aprenderme tantas fórmulas! Las PG y las PA van en tándem...

    Pepe Chapuzas "casi" tenía razón. Tuve que puntualizar su intervención. Le indiqué, para empezar, que para obtener una PA la PG tenía que ser positiva, si no, no se podría tomar logaritmos; y que si tomaba logaritmos en la fórmula de la suma de términos de una PG no salía ninguna fórmula de las PA...

    Demuestra que el logaritmo de una PG positiva es una PA.
    Obtén la fórmula del término general de una PA tomando logaritmos en la fórmula del término general de una PG.
    Obtén la fórmula de la suma de términos de una PA tomando logaritmos en la fórmula del producto de términos de una PG.
    Si te sale me lo explicas...

   

58. Los quesos de Tic y Tac (2ª parte)

    El mal tiempo insistía y Pepe Chapuzas con sus historias también:

    La última vez que visité a los ratoncillos Tic y Tac estaban alborotados. Don Arquímedes les había explicado por fin los volúmenes... Pero no estaban alborotados por eso sino porque habían fabricado una máquina para resolver ecuaciones de tercer grado siempre que las soluciones estuvieran comprendidas entre –10 y 10 (esta limitación se debía a la escasez de queso). En realidad la máquina consistía en una balanza con dos brazos rectos y cuatro platillos. Los brazos eran sencillamente una regla numerada. A la izquierda estaban los números negativos, –1, –2, –3..., y a la derecha los positivos, 1, 2, 3... En el fiel estaba el 0. Me fueron explicando el funcionamiento de veras entusiasmados... Me dijeron que tenían tres quesos y que los tres medían 10 cm de altura. El primer queso tenía forma de pirámide egipcia y el cuadrado de la base era de 300 cm². El segundo tenía forma de escuadra (o medio sándwich) de 1 cm de espesor y estaba apoyado sobre el canto más largo. El tercero tenía forma de tiza y la base era de 1 cm². Con las fórmulas de don Arquímedes habían calculado que si rebajaban x cm la altura de los tres quesos mediante un corte horizontal, entonces los quesos menguaban x³ cm³, x² cm³ y x cm³ respectivamente. Había además un cuarto queso pequeñito: era un cubito de 1 cm³ de volumen que, según me advirtieron, no se podía cortar en absoluto...

    Llegó la hora de poner un ejemplo: x³ – 8x² + 5x + 14 = 0. Entonces Tic y Tac colgaron los platillos en los números 1, –8, 5 y 14 de la regla, que eran los coeficientes de la ecuación y calibraron la balanza. El quesito cúbico lo pusieron en el platillo del 14. Después fueron cortando lonchas superfinas de los otros tres quesos horizontalmente. Ponían una loncha del primer queso en el platillo del 1, una loncha del segundo queso en el platillo del –8 y una loncha del tercer queso en el platillo del 5. Repitieron el proceso hasta que la balanza se equilibró. Los quesos habían bajado 2 cm. Entonces entendí. El queso de los platillos hacía palanca en los brazos de la balanza y la ecuación representaba la suma de los momentos de fuerza. Por tanto la solución era x = 2. Siguieron haciendo lonchas y llenando los platillos. La balanza se desequilibró al principio pero se equilibró de nuevo para x = 7. ¡Otra solución! Entonces se detuvieron. Les pregunté si su máquina podía calcular soluciones negativas y me respondieron que sí podía pero que necesitaban más queso...
    Comprueba los cálculos de Tic y Tac. ¿Son correctos los principios en que se basa la máquina?
    En la ecuación del ejemplo falta por averiguar una solución negativa ¿Cómo se podría calcular con la balanza de Tic y Tac?

57. Los quesos de Tic y Tac

    Era la hora del recreo y llovía a cántaros. Esperamos un poco a que escampara pero como no amainaba el temporal nos quedamos en el aula. Pepe Chapuzas, que es un cuentacuentos aficionado, nos amenizó la espera... con un cuento con cuentas.

    Os voy a revelar un secreto: he descubierto dos ratoncillos en la torre del reloj... y por eso les he puesto los nombres de Tic y Tac. Como los vi hambrientos les llevé tres quesos que había en la despensa. Uno era cónico como los quesos de tetilla, otro era semiesférico como medio queso de bola y el tercero era cilíndrico como los quesos del pueblo. Me di cuenta de que los tres quesos tenían la misma anchura y la misma altura. Le di los dos primeros quesos a Tic y el tercero, que era el mayor, se lo di a Tac.

    Los ratoncillos, en vez de ponerse contentos, empezaron a discutir porque los dos creían que el otro tenía más queso... Tuve que demostrarles con las fórmulas de los volúmenes, y asegurándoles que los quesos no tenían agujeros por dentro, que ambos habían recibido la misma cantidad; pero no se convencieron porque, según me contaron, en la escuela de don Arquímedes, el búho del campanario, todavía no habían llegado a los volúmenes; tan solo habían visto las áreas... Así que tuve que convencerles de otra manera... Les dije que tenían que comerse los quesos en lonchas circulares (cortadas horizontalmente).

    Por cada loncha que se comiera Tac de su queso cilíndrico, Tic se comería una loncha de su queso cónico y una loncha de su queso semiesférico. Las lonchas tendrían que ser superfinas, del grosor de una molécula de queso (les aseguré que todas las moléculas de queso eran iguales ;-) y que las lonchas no se podían hacer más finas porque cuando se rompen las moléculas de queso, el queso deja de ser queso). Así, loncha a loncha, los quesos menguarían en altura a la par y se acabarían a la vez. Y como ya sabían calcular áreas podían comprobar solitos que en cada almuerzo los dos se comerían el mismo número de moléculas...

    Dicho y hecho: hicieron los cálculos... y las paces..., aunque los quesos se los comieron en un día y no en lonchas precisamente.

    ¡Venga! ¡A hacer las cuentas! Calcula los volúmenes de los quesos y las áreas de las lonchas y comprueba lo que se cuenta en el cuento. ¿Es correcto el razonamiento de Pepe?

    El cuento, no obstante, no había terminado. El final lo contó durante el siguiente chaparrón.

    Fui a ver a Tic y a Tac de nuevo y me habían preparado una sorpresa. En agradecimiento me obsequiaban con sendos regalitos de madera que habían tallado ellos mismos. Me hizo mucha ilusión. El de Tic era un tetraedro regular de 2 cm de arista. Y el de Tac era un elipsoide de ecuación π x² + π y² + 2 z² ≤ 1. Además me aseguraron que los dos objetos tenían el mismo volumen a pesar de ser tan diferentes. No sabían calcularlo aún pero, si el artificio de las lonchas era válido, los volúmenes tenían que coincidir... 

    Demuéstralo. Observa el dibujo y calcula las áreas de las secciones (lonchas) y los volúmenes. Y me lo cuentas todo.

56. Amistades y parentescos numéricos

    Profe, ¿si dos números son primos entre sí, entonces tienen abuelos comunes?

    Este era el humor de Pepe Chapuzas... Cuando cesaron las risas de los alumnos me dirigí a Pepe para comentarle que entre los números naturales no solo había "parentescos" sino también "amistades". Que dos números eran amigos si uno era igual a la suma de los divisores propios del otro. Que, por ejemplo, los números 220 ♥ 284 eran amigos porque 220=1+2+4+71+142 por un lado y por otro 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110. Y que además había números llamados perfectos porque eran amigos de sí mismos como el 6=1+2+3 o el 28=1+2+4+7+14, o sea, 6 ♥ 6 y 28 ♥ 28...

    En vista de los ejemplos define qué es un divisor propio.
    Comprueba la "amistad" de las siguientes "parejitas": 1184 ♥ 1210, 2620 ♥ 2924, 5020 ♥ 5564 y 6232 ♥ 6368.
    Comprueba la "perfección" de los siguientes "numeritos": 496 ♥ 496 y 8128 ♥ 8128.
    Nos vemos...

55. ¡"Menudas" potencias!

    Estaba un día en clase relatando la archiconocida leyenda del premio que recibió Susa, el inventor del ajedrez, por tan ingenioso juego. Mejor dicho, del premio que no recibió, porque este consistía en 1 grano de trigo por la primera casilla del tablero, 2 por la segunda, 4 por la tercera, 8 por la cuarta, 16 por la quinta, y así, duplicando y duplicando hasta la última casilla... Teniendo en cuenta que hay 64 casillas en el tablero, la cantidad se podría calcular con las fórmulas de las progresiones geométricas si no fuera porque salía una cantidad descomunal. ¡No había tanto trigo en el mundo...! En la pantalla de la calculadora no cabía si no era en notación científica, que no dejaba de ser una aproximación. Entonces Pepe Chapuzas irrumpió con una interesante cuestión...

    Profe, ¿se podría averiguar la última cifra de este gigantesco número sin tener que calcularlo de forma exacta? ¿Cuál es esa misteriosa cifra que no se puede ver ni siquiera en las calculadoras?

    No me quedó más remedio que improvisar una clase sobre la última cifra de las potencias (con números naturales). Empecé con ...0^N  = ...0, lo cual significaba que las potencias de los números que acababan en 0 también acababan en 0 como se comprobaba fácilmente. Y lo mismo le pasaba a los números ...1, ...5 y ...6. Así que propuse que investigaran cómo acababan las potencias de los números ...4, ...9, ...2, ...3, ...7 y ...8, en este orden. Al momento Pepe garabateó los grafos correspondientes al darse cuenta del comportamiento cíclico de las últimas cifras de las sucesivas potencias de un número...

    Interpreta y explica los diagramas de Pepe.
    Comprueba que no hay ningún número cuyo cuadrado acabe en 2, 3, 7 u 8.
    Comprueba que ...N = ...N⁵ = ...N⁹, es decir, que la última cifra de cualquier número coincide con la última cifra de su quinta potencia y con la última cifra de su novena potencia.
    Teniendo en cuenta lo anterior calcula la última cifra de las potencias 679⁶⁷⁹ y 537⁵³⁷.
    Calcula la última cifra del premio de Susa.

54. Un problema con mucho arte

    Pepe Chapuzas había pintado un cuadro abstracto para un concurso. Luego me confesó que era un problema de Mates pero como se le estropeó el dibujo (lo manchó de zumo) lo aprovechó reutilizándolo. Aquí podéis ver cómo le quedó la chapuza. El enunciado del problema aún estaba por detrás de la lámina.

    Los círculos son tangentes entre sí y sus radios miden 6, 7 y 8 centímetros respectivamente. Los vértices del triángulo son los centros de los círculos. Calcula el área del triángulo y los senos de sus tres ángulos.

    Pepe se había preparado los datos para que el área saliera un número natural y los senos fueran números racionales. Calcúlalo todo y envíame los resultados.

53. ¡Frío, frío! ¡Caliente, caliente!

    Pepe Chapuzas ha inventado una versión algo diferente del juego de "frío-frío caliente-caliente", solo que en vez de esconder una cosa para que otro la encuentre, ahora se trata de inventar una historia para que los demás adivinen en qué parte del planeta ha sucedido. Puso el siguiente ejemplo:

    Se veía venir. Dos caballeros tan pendencieros no podían acabar sino batiéndose en duelo. Se pusieron espalda contra espalda y avanzaron 20 pasos en línea recta y en sentidos contrarios, ambos hacia el norte, antes de disparar.

    Un compañero interrumpió a Pepe. "Lo del norte" no le convencía en la historia. Pepe le aseguró que la historia era "verídica". Otro compañero añadió que era un ejemplo "bélico". Pepe argumentó que las pistolas eran "de agua" y que ni siquiera funcionaron.

    ¡Juega tú! ¿Por qué no funcionaron las pistolas? ¿En qué lugar ocurrió la escena? ¡Frío, frío! ¡Caliente, caliente!   

52. La superbici de Pepe Chapuzas

    Iba a proponer en clase un problema de velocidades con bicicletas... Un alumno pesimista me dijo que sería muy difícil porque era de bicis y solamente habíamos hecho de motos... Otro estaba encantado porque era un problema más ecológico ya que las bicis no contaminaban al contrario que las motos... Al fin, cuando cesaron las interrupciones, pude dictar el enunciado... Se trataba de una etapa ciclista de ida y vuelta. Consistía en subir y bajar un puerto de montaña por la misma carretera. El objetivo era hacer una velocidad media de 20 km/h en la etapa. Durante la subida el ciclista había conseguido una velocidad media de 10,01 km/h. La cuestión era a cuánta velocidad debía bajar para conseguir el objetivo.

    El alumno pesimista comentó que faltaban datos. El alumno ecologista (que, según su madre, quería arreglar el mundo menos su habitación...) contestó, sin hacer cálculos, que tendría que bajar, más o menos, a 30 km/h. Entonces saltó Pepe Chapuzas:

    Profe, tendría que bajar a más de 1000 km/h.

    Ya os podéis imaginar el revuelo que se formó en la clase. Pero el caso es que Pepe no estaba bromeando... Había acertado otra vez, aunque no sé cómo diablos lo hizo de cabeza.

    Realiza los cálculos y dame la solución exacta.

51. Las paradojas de la sandía

    Un día veo a Pepe Chapuzas con una sandía abierta expuesta al sol y le pregunté que qué chapuza estaba haciendo. Su respuesta no me sorprendió en absoluto. Sabía que sería algún "experimento científico"...

    Profe, estaba comprobando si lo que dice mi vecina es verdad... Según ella, una sandía al sol se enfría, por paradójico que parezca. Dice que es por efecto de la evaporación del agua... Pero se me ha roto el termómetro así que la prueba tendrá que esperar otro día... y otra sandía.

    Es cierto que yo también había oído esa creencia popular de la sandía abierta al sol, pero nunca la había tomado en serio. Entonces recordé otra "paradoja" de las sandías al sol que comenté en clase al día siguiente en forma de problema... Empecé informando de que casi toda la masa de una sandía era líquido (básicamente agua), ¡nada menos que el 99%! Comenté que Pepe se había dejado una sandía de 8 kilos a pleno sol y que se había evaporado parte de su agua de modo que al final el líquido suponía solamente el 96% de la masa total. Terminé preguntando cuánto pesaría entonces la sandía... No había terminado de formular la pregunta y Pepe ya tenía la mano alzada. Le di la palabra...

    Profe, la sandía no me la dejé al sol sino que me la llevé a casa, pero si me la hubiera dejado, y con los datos del problema, ya no pesaría más de 2 kilos y medio...

    Los compañeros rompieron a reír mofándose de Pepe... Pero Pepe no se había equivocado. Demostró tener mejor intuición que sus compañeros...

   Haz los cálculos y comprueba que Pepe tenía razón...

50. Fracciones casi egipcias.

    Una dificultad que tenemos los profes al mandar deberes es que Internet, mejor dicho Google, ofrece a menudo la solución a golpe de "clic". A veces pido a mis alumnos que propongan ejercicios no "googleables". Pepe Chapuzas, que siempre intuye el quid de la cuestión, es un hacha. Le basta con modificar un ejercicio clásico como el de las fracciones egipcias para que la solución no aparezca inmediatamente en la pantalla del ordenador:

    Una fracción egipcia es la descomposición de una fracción en suma de varias fracciones unitarias distintas. (Una fracción unitaria tiene 1 en el numerador). Por ejemplo: 3/10 = 1/5 + 1/10 = 1/4 + 1/20. Es fácil localizar fracciones egipcias en Internet, así que propongo llamar "fracciones casi egipcias" a las descomposiciones que incluyan la resta. Por ejemplo: 3/10 = 1/2 – 1/5 = 1/3 – 1/30.

    Ejercicio: Busca fracciones egipcias y casi egipcias equivalentes a las siguientes fracciones:
 

49. Medio problema de ajedrez

    Estábamos en clase poniendo ejemplos de números naturales. Llegado el turno de Pepe Chapuzas puso como ejemplo el número de jugadas en una partida de ajedrez. Y es que el ajedrez es una de las muchas grandes pasiones de Pepe. Pero era un ejemplo con trampa, porque al día siguiente trajo el siguiente reto:

    Juegan blancas y dan jaque mate en media jugada...

     En seguida sus compañeros protestaron, diciendo que no era posible media jugada porque el número de jugadas era un número entero y no fraccionario. Se habían olvidado de que hay alguna jugada de ajedrez donde se pueden mover dos piezas... y ya no doy más pistas... ¡A jugar!

48. La casa de Zero y los logaritmos

    Aquí tenéis un relato que encontré en el cuaderno de Pepe Chapuzas. Por supuesto termina con un ejercicio de Mates...

    Hola. Me llamo Zero y os voy a hablar de mi casa y de los seres tan complejos que la habitan. Todos los habitantes tenemos unas zonas predeterminadas en la casa... Empecemos con el desván. En el desván está prohibido entrar. Yo creo que allí moran fantasmas, espectros y otros seres imaginarios. Ellos no pueden salir ni nosotros, los seres reales, entrar. El desván es el lugar más misterioso de la casa... Un lugar interesante también es la pecera. En la pecera viven los únicos animales de la casa. Me refiero, ya se entiende, a los únicos animales irracionales. Los racionales, es decir, los humanos, no nos metemos en peceras... Un lugar curioso es el relicario. El relicario es un armarito con fracciones de humanos. No es broma. Entre las reliquias hay huesos quebrados de santos... Pero sigamos. Las zonas más cómodas de la casa nos están reservadas a los humanos enteros. Somos muy diferentes unos de otros y estamos separados. Unos por su carácter son más bien positivos y naturales y se alojan en el ala derecha, mientras que los otros, los negativos, se ubican en la izquierda. Yo siempre estoy en medio y para todos soy una nulidad. Un día invitamos a unos logaritmos y se quedaron a dormir... ¿A ver si adivinas a dónde fue a parar cada uno?

 

47. Quien la sigue la consigue...

    En las pruebas de inteligencia y en los pasatiempos matemáticos suele aparecer el test de lógica conocido como "siga la serie". Es una de las actividades favoritas de Pepe Chapuzas. El otro día propuso este reto a sus compañeros. Bueno, en realidad eran dos en uno:

    Completa las dos series teniendo en cuenta que las dos soluciones representan la misma cantidad. Sigue las series...

    Pues eso, sigue las series. Dame la respuesta, razonada por supuesto, como comentario y recuerda que quien la sigue... la consigue.

46. La raíz cuadrada de una matriz cuadrada

    A Pepe Chapuzas le gustan los juegos de palabras. Pero en Mates, disfruta con ellos... viendo la cara de perplejidad de sus compañeros. Además suele hacer preguntas enrevesadas a destiempo. Ayer saltó con esta...

    Profe, si A fuera el cuadrado de una matriz cuadrada B, es decir, si A = B·B = B², entonces A sería también una matriz cuadrada pero ¿la matriz cuadrada B sería la raíz cuadrada de la matriz cuadrada A? Si esto es así, yo he encontrado varias raíces cuadradas de I₂, la matriz identidad de orden 2. Mire:

    Le contesté que sí, que se llamaban raíces matriciales, pero que había que tener cuidado porque había matrices cuadradas que no tenían raíces cuadradas, había otras que tenían una cantidad finita y, finalmente, había matrices cuadradas que tenían infinitas raíces cuadradas. Pepe me miró incrédulo. Ahora la cara de perplejidad era la suya pero no hizo ningún comentario. Se quedó pensativo...

    Comprueba, si no lo has hecho todavía, que todas las matrices del ejemplo de Pepe son raíces cuadradas de  I₂.
    Calcula todas las raíces cuadradas de I₂.
    Encuentra alguna matriz de orden 2 que no tenga raíces cuadradas.

    ¡Ánimo! ¡No es difícil!

45. La tabla peródica de los poliedros (Chapuzón de verano)

    Para el verano, entre otros, mandé hacer un trabajo sobre los poliedros regulares, también llamados sólidos platónicos, y la mayoría de mis alumnos como es habitual buscó la información directamente en la Wikipedia. Sin embargo Pepe Chapuzas hizo un trabajo original (demasiado original) y que reproduzco a continuación:

LA TABLA PERIÓDICA DE LOS POLIEDROS

    Platón tenía 5 poliedros regulares (el tetraedro, el octaedro, el cubo, el icosaedro y el dodecaedro) para los 4 elementos de la materia (el fuego, el aire, la tierra y el agua), así que tuvo que echar mano del misterioso éter para poder elaborar su preciosa teoría de los átomos poliédricos.

    Si Platón hubiera sabido que los elementos no eran precisamente esos, y que había más de un centenar, ¡quién sabe qué poliedros habría escogido para elaborar la teoría...!
    Pero... ¿cuántos elementos hay? Los últimos elementos químicos en ser bautizados, el copernicio (Cn), el flerovio (Fl) y el livermorio (Lv), ocupaban desde hace años las casillas 112, 114 y 116 de la tabla periódica... Un inciso: eso de llamar periódica a la tabla de los elementos químicos me parece una chapuza. En Mates, un período es una cantidad fija, sin embargo en la tabla "periódica" los "períodos" van creciendo: 2, 8, 18 y 32. Es más bien una tabla "escalonada" como se aprecia en la tabla de Janet... En fin, no voy a cambiar ahora el título de mi trabajo...

      Encontré la tabla de Janet en Internet... Con esta tabla escalonada se explican a veces la regla de llenado de orbitales (s, p, d y f) y las configuraciones electrónicas de los átomos en su estado fundamental. Janet, en su tabla, coloca el bloque f a la izquierda y el bloque s a la derecha, separando al helio (He) del grupo de los gases nobles. Como hay 4 escalones y cada escalón tiene 2 "períodos", en esta tabla hay cabida para 120 elementos. ¿Necesitaríamos al menos 120 poliedros?

    120 es un número que me gusta porque es el factorial de 5, es decir, 5! = 5·4·3·2 = 120. (No se olvide de estos números: 5, 4, 3 y 2). Creo que Platón se habría detenido también en 120 poliedros dignos de llamarse elementales o atómicos... con tal de que no fueran "demasiado irregulares". Lo mínimo que se les podría exigir es que tuvieran por caras polígonos regulares y que fueran convexos, esto es, sin entrantes. Busqué en Internet poliedros así y descubrí que existían, además de los 5 sólidos de Platón, también los 13 de Arquímedes, los 92 de Johnson y las series infinitas de prismas y antiprismas. También leí que los poliedros de Platón, Arquímedes y Johnson estaban formados exclusivamente por polígonos de 3, 4, 5, 6, 8 y 10 lados (advierta que 6, 8 y 10 son los dobles de 3, 4 y 5). ¡Es como si los demás polígonos estuvieran "prohibidos"! Pues bien, con los polígonos "permitidos" tenemos que añadir 5 prismas y 5 antiprismas... ¿Sumamos? 5 + 13 + 92 + 5 + 5 = 120. ¡Ya tenemos los 120 poliedros! Y lo que es mejor (o peor), ¡tenemos una excusa para elaborar una nueva teoría platónica!: ¡la teoría chapuzónica (si se me permite)!

    Me lo temía profe: me he obsesionado. ¡Si hasta sueño con las configuraciones electrónicas y con la escalera de Janet, en vertical y en horizontal, llena de sólidos de Johnson...! Tendría que tener más cuidado con los trabajitos que nos manda...
    Además, los nombres de los poliedros son horrorosos: ortobicúpulas, hebesfenomegacoronas, etc. Menos mal que Johnson catalogó sus sólidos del (J-1) al (J-92). Los demás poliedros se pueden determinar por los polígonos que se juntan en un vértice: el cubo sería el (4.4.4) porque en cada vértice hay 3 cuadrados. Espero no perder el juicio... 

    Emparejar 120 poliedros con 120 elementos químicos me parecía una tarea imposible pero alguna "pista" me impulsó a comenzar... ¿Qué tenían de peculiar los elementos de cada escalón? Los del primer escalón solo tenían orbitales s y solo los del cuarto escalón tenían orbitales f... ¿Sabe que empiezo a ver algún parecido entre orbitales y poliedros?... No sé...
    ¿Qué relación podría haber entre poliedros y orbitales? ¡Seguro que ninguna! Pero sigamos... Mire, si contamos los poliedros que contienen pentágonos y decágonos regulares (sin olvidarnos del icosaedro cuyos pentágonos regulares están ocultos) salen 64..., ¡como el número de casillas del cuarto escalón de Janet!... Por otro lado tenemos "familias" de 2, de 3 y hasta de 4 poliedros: por ejemplo, la familia de las pirámides (triangular, cuadrada y pentagonal) sería una familia de 3 poliedros.

     Se acuerda todavía de los números 5, 4, 3 y 2, ¿verdad?... Pensé que si el cuarto escalón estaba relacionado de algún modo con el número 5 (o sea, con pentágonos y decágonos), el tercer escalón lo estaría con el 4 (cuadrados y octágonos), el segundo con el 3 (triángulos y hexágonos) y, siguiendo la "lógica", el primero con el 2 (aristas y cuadrados). ¿Cuadrados otra vez?... A lo que vamos, cada familia tendría un miembro (un poliedro) en cada escalón... e intercalando dos familias se llenaría una columna de la tabla de Janet, es decir, un grupo de elementos.

   No era muy optimista..., pero buscando y rebuscando encontré que "casualmente" había ni más ni menos que 12 familias de 3 poliedros para los 36 elementos del bloque p (el bloque p es donde se encuentra la "muralla china" entre metales y no metales). Ya he dibujado 4 familias. Aquí están las otras 8:

    Y también había 4 familias de 4 poliedros para los 16 elementos del bloque s. A decir verdad, había poliedros que encajaban en diferentes familias, como el prisma triangular (3.4.4), que bien podría estar entre las cúpulas, y el girobifastigium (J-26), entre las girobicúpulas. No me preocupaba esto pues también había elementos que podían acoplarse bien en distintos grupos, como el hidrógeno (H) o el ya mencionado helio (He)... 

    Para el bloque f, el de las 28 tierras raras, necesitaba poliedros sin familia... ¡Y siguen cuadrando las cuentas!: ahí estaban las rotondas ...

... y los rombicosidodecaedros (el nombrecito se lo debemos a Kepler), ¡justamente 28 entre todos! Algunos de estos poliedros son tan parecidos que se necesita fijarse bien para distinguirlos...

    Finalmente para el bloque d, el de los 40 elementos de transición, solo encontré 11 familias de 2 miembros: me quedaban muchos poliedros sueltos... Para colmo, por su forma algunos de ellos eran..., como decirlo..., "singulares". No sabía si reír o llorar...    

    Entonces me acordé de que en este bloque d (y en el bloque f) había 20 elementos químicos "excepcionales" porque no seguían la regla de llenado de orbitales. Sus configuraciones electrónicas eran anomalías en sus grupos... ¡Eureka!... Solo había que colocar poliedros "singulares" en casillas de elementos "excepcionales"... Y ya lo habrá adivinado: ¡así solo hacían falta 11 familias! ¡Esto era de locos!...

       Solo había una "pega"... En el tercer escalón se había colado un poliedro intruso: el disfenoide romo (J-84), que no tenía ni cuadrados ni octágonos..., pues bien, se lo adjudiqué al paladio (Pd), una rareza en toda regla de la tabla periódica, pues era el único elemento que no tenía electrones en su nivel externo: su configuración era [Kr] 4d ¹⁰ en vez de la esperada [Kr] 4d ⁸ 5s ²...
    Así, fui dejando caer poco a poco los poliedros en la tabla, distribuyéndolos por filas y columnas, dejando volar mi intuición..., y teniendo en cuenta que esta teoría carecía de base científica, y que cualquier parecido con la realidad... sería pura coincidencia. (Aunque nunca se sabe).   ;-)

    Me quedé sin palabras. Para completar este chapuzón, Pepe incluyó una lámina final con la ubicación "exacta" de los poliedros en la tabla periódica. ¡Extraña tabla...! Aun así, el trabajo me parecía una especie de malabarismo matemático... y una manera curiosa de abordar el precioso mundo de los poliedros.

    Contesta a las siguientes preguntas:

    - Hay siete poliedros de Pepe que no tienen simetría especular. ¿Qué significa esto? ¿De qué poliedros se trata?
    - Hay un poliedro de Johnson que tiene todos sus ángulos sólidos (picos) congruentes. ¿Qué significa esto? ¿Cuál es?
    - ¿Cómo son los poliedros de Catalan? ¿Cuántos hay? ¿Qué relación tienen con los poliedros de Pepe?
    - Busca dados de rol en Internet. Como verás se trata de poliedros diversos. ¿Qué poliedros son?
    - ¿Qué es un deltaedro? ¿Cuántos deltaedros hay en la colección de Pepe?
    - ¿Qué elementos químicos tienen configuraciones electrónicas anómalas según Pepe? ¿Todos los autores coinciden en estos?
    - ¿Cómo colocarías los poliedros de Pepe en la tabla de Janet?