1685. Las perlas japonesas...

     Profe, mire. En un estuche caben dos perlas sueltas, y también una pulsera de perlas ensartadas. Cuando cierro el estuche, las perlas sueltas se tocan y también tocan la pared del estuche; y cada perla de la pulsera toca las dos perlas sueltas, la pared del estuche y, lógicamente, sus dos perlas contiguas en la pulsera. Las perlas pueden no ser del mismo tamaño pero son perfectamente esféricas; el interior del estuche también es una esfera perfecta... ¿Cuántas perlas tiene la pulsera?

    Este enunciado que nos ha leído Pepe Chapuza apareció en un templo de Japón. Busca la solución...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla encontró que esta disposición se denominaba sexteto de Soddy y que la pulsera está formada por seis perlas... Nos mostró un dibujo... y luego explicó este resultado...

    Profe, mire. La función "vectorial" del "espacio" R³ ∪ {∞} en sí mismo

inv (v) = v/v²  si  v ≠ o  y  v ≠ ∞ 

inv (o) = ∞     e    inv (∞) = o

se denomina inversión.

     Si identificamos un "punto" del "espacio" con su "vector" de "posición" v entonces el vector nulo o es el origen de coordenadas y el "vector" infinito ∞ es un "punto" ideal... 

    Mire, profe. En lo que sigue supondremos que v no es ni o ni ∞...

    La inversión es una función autorrecíproca, esto es, inv ○ inv = id, y por tanto es biyectiva,

inv (inv (v)) = inv (v/v²)= (v/v²)/(v²/(v²)²) = (v²)²/(v²)² v = v

inv (inv (o)) = o         inv (inv (∞)) = ∞

    Veamos cómo se invierte una esfera (superficie esférica) σ de centro c y radio r... 

    Si la esfera no pasa por o entonces c² ≠ r²

σ : (v−c)² − r² = 0

σ : v² − 2c·v + c² − r² = 0

inv(σ) : 1/v² − 2c·v/v² + c² − r² = 0

inv(σ) : 1/(c² − r²) − 2c·v/(c² − r²) + v² = 0

inv(σ) : (v − c/(c² − r²))² + 1/(c² − r²) − c²/(c² − r²)² = 0

inv(σ) : (v − c/(c² − r²))² − r²/(c² − r²)² = 0

que es una esfera... 

    Si la esfera pasa por o entonces c² = r² 

σ : (v−c)² − c² = 0

σ : 2c·v − v² = 0

inv(σ) : 2c·v/v² − 1/v²= 0

inv(σ) : c·v − 1/2 = 0

inv(σ) : c·v − c²/c²/2 = 0

inv (σ) : c · (v − c/c²/2)= 0

que, añadiendo ∞, es un "plano".

    Consideremos las esferas del problema... Sean α y β las de las perlas sueltas, γ la del estuche y δ, ε, ζ, η, ... las de la pulsera. Ubiquemos o en el punto de contacto entre α y β, entonces inv(α) e inv(β) son dos "planos" "paralelos" porque solo tienen en común ∞, e inv(γ), inv(δ), inv(ε), inv(ζ), inv(η), ... son esferas tangentes a esos dos "planos" por lo que todas tienen el mismo tamaño y, debido a la tangencia de las esferas de la pulsera entre sí y con las esfera del estuche, tienen la siguiente disposición:

    De donde se deduce que en la pulsera hay seis esferas... δ, ε, ζ, η, θ y ι, esto es, seis perlas.

    ¡Bien deducido! ¿Qué relación guardan los radios de las nueve esferas?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota encontró estas relaciones en Internet:

1/r_δ + 1/r_ε + 1/r_ζ + 1/r_η + 1/r_θ + 1/r_ι =

= 2/r_δ + 2/r_ζ + 2/r_θ = 2/r_ε + 2/r_η + 2/r_ι =

= 3/r_δ + 3/r_η = 3/r_ε + 3/r_θ = 3/r_ζ + 3/r_ι =

= 6/r_α + 6/r_β − 6/r_γ 

1684. Tangente y normal...

    Como aplicación de las derivadas estábamos viendo las ecuaciones de las rectas tangente t y normal n de una curva c dada por su ecuación explícita  c : y = f (x)  en un punto P de coordenadas P(x_P, y_P) ≡ P(x_P, f (x_P)). Suponíamos siempre la derivabilidad de las funciones que aparecían...

    Profe, mire. La ecuación punto-pendiente  y − y_P = p (x − x_P)  es idónea para esta cuestión (p es la pendiente). Así la ecuación de t será  t : y − f (x_P) = f '(x_P) (x − x_P)  y la ecuación de la recta normal será  n : y − f (x_P) = −1/f '(x_P) (x − x_P)  ya que la pendiente de una perpendicular a una recta de pendiente p es el opuesto del inverso (o el inverso del opuesto) de p, esto es, −1/p.

    Pero profe, si la ecuación de la curva viene dada en forma implícita  c : F (x, y) = 0  entonces el vector normal a la curva en el punto P será  v = (F_x (x_P, y_P), F_y (x_P, y_P)) , y las ecuaciones de las rectas serán

t : F_x (x_P, y_P) (x − x_P) + F_y (x_P, y_P) (y − y_P) = 0

n : (x − x_P) / F_x (x_P, y_P) = (y − y_P) / F_y (x_P, y_P)

    Si combinamos las dos funciones  F(x, y) =  f (x) − y  entonces  v = (f '(x_P), −1)  que corrobora el valor de la pendiente de la recta normal  −1/f '(x_P) .

    ¿Cómo se obtienen las ecuaciones del plano tangente τ y de la recta normal m de una superficie σ?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla empezó con una superficie dada por su ecuación implícita  σ : G(x, y, z) = 0 .

    Profe, mire. El vector normal de la superficie en el punto Q(x_Q, y_Q, z_Q) es

w = (G_x (x_Q, y_Q, z_Q), G_y (x_Q, y_Q, z_Q), G_z (x_Q, y_Q, z_Q))

por lo que las ecuaciones de m y τ son

m : (x − x_Q) / G_x (x_Q, y_Q, z_Q) = (y − y_Q) / G_y (x_Q, y_Q, z_Q) = (z − z_Q) / G_z (x_Q, y_Q, z_Q)

τ : G_x (x_Q, y_Q, z_Q) (x − x_Q) + G_y (x_Q, y_Q, z_Q) (y − y_Q) + G_z (x_Q, y_Q, z_Q) (z − z_Q) = 0

    ¿Y si la superficie viene dada con una ecuación explícita  z = g (x, y) ?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota combinó las dos funciones  G (x, y, z) = g (x, y) − z ...

    Mire, profe. Ahora  w = (g_x (x_Q, y_Q), g_y (x_Q, y_Q), −1)  por lo tanto las ecuaciones son

m : (x − x_Q) / g_x (x_Q, y_Q) = (y − y_Q) / g_y (x_Q, y_Q) = −(z − z_Q)

τ : g_x (x_Q, y_Q) (x − x_Q) + g_y (x_Q, y_Q) (y − y_Q) − (z − z_Q) = 0

1683. La Helena de los geómetras

     Mire profe. Un trineo ha de bajar entre dos puntos para lo cual se ha de diseñar un tobogán de hielo. Suponemos que solo actúa la gravedad y que el rozamiento es nulo... La trayectoria más corta sería en línea recta pero esta no sería la trayectoria más breve. ¿Cómo ha de ser el perfil del tobogán para que el viaje dure lo mínimo?

    Pepe Chapuza se refería a la braquistócrona... Al final resulta que tal trayectoria es parte de un arco de cicloide invertida... 

    Profe, mire... Curiosamente, muchas veces hay bajar un trecho inicial y subir un trecho final...

    ¿Quién nos habla acerca de la cicloide?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla trajo un aro de esos con que se jugaba antaño y lo hizo rodar...

    Profe, mire. Este aro de radio 1 es de mi abuelo. Al hacerlo rodar una vez (sin salirnos del plano {x, y}) sobre un suelo horizontal (el eje de abscisas), el punto del aro que toca el suelo inicialmente (en el origen de coordenadas) describe un arco de cicloide C : { x = t − sen t ,  y = 1 − cos t }; t ∊ [0, 2π]... ¡El punto gira y se desplaza a la vez...! 

    El nombre de cicloide está bien elegido, ¿verdad? ¿Cuánto medirá la longitud del arco de cicloide dibujado por Nina y la superficie encerrada entre este arco y el eje de abscisas? 

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. Para la longitud del arco tenemos

L = ʃ ₀^2π √((dx/dt)²+(dx/dt)²) =

= ʃ ₀^2π √((1−cos(t))²+sen²(t)) dt =

= ʃ ₀^2π √((1−cos(t))²+sen²(t)) dt =

= ʃ ₀^2π √((1−2cos(t)+cos²(t)+sen²(t)) dt =

= ʃ ₀^2π √(2−2cos(t)) dt =

= ʃ ₀^2π 2sen(t/2) dt =

= −4cos(t/2) /₀^2π =

= 4+4 = 8

    Ocho veces el radio del aro... Y para la superficie tenemos

S = ʃ ₀^2π y dx =

= ʃ ₀^2π y dx/dt dt =

= ʃ ₀^2π (1−cos(t))(1−cos(t)) dt =

= ʃ ₀^2π (1−2cos(t)+cos²(t)) dt =

= ʃ ₀^2π (1−2cost+1/2+cos(2t)/2) dt =

= (3t/2−2sent+sen(2t)/2) /₀^2π =

= 3·2π/2 = 3π

    Tres veces el área encerrada por el aro...

    Yoyó Gaviota añadió que a la cicloide se la conoce como la Helena de los geómetras... por las controversias que entre estos suscitó...; que la evoluta (lugar de los centros de curvatura) de la cicloide es otra cicloide idéntica...; y que, además de la braquistócrona, la cicloide es el fundamento de la tautócrona y de la isócrona (dejaremos que el lector investigue todo esto)...

1682. El determinante de Vandermonde

     Profe, mire. Sea A_n una matriz cuadrada de orden n (con n filas y n columnas). Si cada fila de  A_n está formada por n términos consecutivos de una progresión geométrica, ¿cuánto vale |A_n|, (el determinante de A_n )?

    Pepe Chapuza ha planteado este problema... ¡Resuélvelo!

SOLUCIÓN

    Mire, profe. Puedo escribir los elementos de la matriz A_n así:  a_ij = a_i1 r_i^j−1 .

    Todos los elementos de la fila i-ésima están multiplicados por a_i1 por lo que

|A_n|=(Π_1≤i≤n a_i1)|B_n|

donde B_n es la matriz de Vandermonde de orden n de elementos  b_ij = r_i^j−1 por lo que

|A_n|=(Π_1≤i≤n a_i1)(Π_1≤p<q≤n(r_q-r_p))

    Profe, mire. Si coinciden dos razones el determinante es nulo...

    Nina Guindilla encontró la solución utilizando la fórmula de Vandermonde.  ¿Has demostrado alguna vez esta fórmula: |B_n|= Π_1≤p<q≤n(r_q-r_p)?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota procedió con el método de inducción...

    Profe, mire. Para n=1 la fórmula es trivial |B₁|=1 (el elemento neutro de la multiplicación).

    Si suponemos la fórmula cierta para el caso n, veamos qué pasa para el caso n+1 :

    Hemos restado a cada columna la anterior multiplicada por r₁, luego hemos desarrollado por la primera fila y después hemos extraído factores comunes. Ahora aplico la hipótesis de inducción

|B_n+1| = (Π_2≤i≤n+1(r_i-r₁))(Π_{2≤p<q≤n+1}(r_q-r_p)) = Π_{1≤p<q≤n+1}(r_q-r_p)

1681. El plano descorazonado...

    Pepe Chapuza estaba calculando el dominio de una función real de variable real:

F(x) = ln (x−3) + ln (1−x)

    Profe, mire. Solo existen logaritmos de números positivos, por lo que ha de cumplirse

x−3 > 0   y   1−x > 0

x > 3   y   x < 1

lo cual constituye una contradicción, esto es, Dom (F) = ∅. ¡Pero una función con dominio vacío no es una función! Sin embargo, si aplico las propiedades de los logaritmos tenemos que

F(x) = ln ((x−3)(1−x))

por tanto

(x−3)(1−x) > 0

1 < x < 3

por ello, Dom (F) = ]1, 3[.

    ¿De dónde ha salido este dominio?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla nos lo va a explicar...

    Profe, mire. La propiedad de ln (AB) = ln (A) + ln (B) solo tiene sentido si los dos miembros de la igualdad existen. Y esto no ocurre con el ejemplo de Pepe... Lo que sí ocurre es

ln ((x−3)(1−x)) = ln ((3−x)(x−1)) = ln (3−x) +  ln (x−1)

    Nina propuso entonces calcular el dominio de esta función real de dos variables reales...

G(x, y) = ln ((x² + y² − 1)³ − x² y³)

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota planteó la inecuación H(x, y) = (x² + y² − 1)³ − x² y³ > 0.

    Mire, profe. Para resolver la inecuación voy a resolver antes la ecuación

H(x, y) = 0

(x² + y² − 1)³ = x² y³ 

x² + y² − 1 = ∛(x²) y 

 y² − ∛(x²) y + x² − 1 = 0

y = ∛(x²)/2 ± √ ( ∛(x⁴)/4 + 1 − x² )

    Las soluciones de la ecuación son los puntos de las gráficas de las funciones reales de variable real

P(x) = ∛(x²)/2 + √ ( ∛(x⁴)/4 + 1 − x² )    y    Q(x) = ∛(x²)/2 − √ ( ∛(x⁴)/4 + 1 − x² )

    Solo existen raíces cuadradas de números no negativos, así que ha de cumplirse

R(x) = ∛(x⁴)/4 + 1 − x²  ≥ 0

∛(x⁴) ≥ 4x² − 4

x⁴ ≥ 64x⁶ − 192x⁴ + 192x² − 64

 64x⁶ − 193x⁴ + 192x² − 64 ≤ 0

    Hacemos el cambio de variable z = x² y planteamos la ecuación

S(z) = 64z³ − 193z² + 192z − 64 = 0

    El discriminante de una ecuación cúbica az³ + bz² + cz + d = 0 es

Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d²

    En nuestro caso

Δ = 18·64·193·192·64 − 4·193³·64 + 193²·192² − 4·64·192³ − 27·64²·64² = −110848 < 0

por lo que el polinomio S solo se anula para un valor Z > 0 (si z  ≤  0, entonces S(z) < 0), y deshaciendo el cambio de variable, el polinomio R solo se anula en ± √Z. Como R(0) = 1 > 0 y R(−∞) = R(∞) = −∞ < 0, el dominio de P y Q es un intervalo: el entorno cerrado de cento 0 y radio √Z, esto es, Dom (P) = Dom (Q) = [−√Z, √Z]. Como P y Q son funciones pares, voy a confeccionar una tabla de valores aproximados con x ≥ 0 y a esbozar sendas gráficas...

x	0	.1	.2	.3	.4	.5	.6	.7	.8	.9	1	1.1	1.2
P(x)	1	1.11	1.17	1.2	1.23	1.24	1.23	1.21	1.17	1.1	1	.8	∄
Q(x)	−1	−.89	−.82	−.76	−.68	−.61	−.52	−.42	−.31	−.17	0	.26	∄

    Como H(0, 0) = −1 < 0 y H(2, 0) = 27 > 0, el dominio de G sería el plano descorazonado...

    Aunque no se mencione, se ha tenido en cuenta la continuidad de las funciones...