59. Las PG y las PA van en tándem

    Profe mire, los números de la izquierda están en PG (progresión geométrica). Y sus logaritmos (decimales), que son los números de la derecha, están en PA (progresión aritmética). He descubierto que los logaritmos de las PG son PA. Y si tomo logaritmos en las fórmulas de las PG me salen las fórmulas de las PA... ¡Ya no tengo que aprenderme tantas fórmulas! Las PG y las PA van en tándem...

    Pepe Chapuzas "casi" tenía razón. Tuve que puntualizar su intervención. Le indiqué, para empezar, que para obtener una PA la PG tenía que ser positiva, si no, no se podría tomar logaritmos; y que si tomaba logaritmos en la fórmula de la suma de términos de una PG no salía ninguna fórmula de las PA...

    Demuestra que el logaritmo de una PG positiva es una PA.
    Obtén la fórmula del término general de una PA tomando logaritmos en la fórmula del término general de una PG.
    Obtén la fórmula de la suma de términos de una PA tomando logaritmos en la fórmula del producto de términos de una PG.
    Si te sale me lo explicas...

   

58. Los quesos de Tic y Tac (2ª parte)

    El mal tiempo insistía y Pepe Chapuzas con sus historias también:

    La última vez que visité a los ratoncillos Tic y Tac estaban alborotados. Don Arquímedes les había explicado por fin los volúmenes... Pero no estaban alborotados por eso sino porque habían fabricado una máquina para resolver ecuaciones de tercer grado siempre que las soluciones estuvieran comprendidas entre –10 y 10 (esta limitación se debía a la escasez de queso). En realidad la máquina consistía en una balanza con dos brazos rectos y cuatro platillos. Los brazos eran sencillamente una regla numerada. A la izquierda estaban los números negativos, –1, –2, –3..., y a la derecha los positivos, 1, 2, 3... En el fiel estaba el 0. Me fueron explicando el funcionamiento de veras entusiasmados... Me dijeron que tenían tres quesos y que los tres medían 10 cm de altura. El primer queso tenía forma de pirámide egipcia y el cuadrado de la base era de 300 cm². El segundo tenía forma de escuadra (o medio sándwich) de 1 cm de espesor y estaba apoyado sobre el canto más largo. El tercero tenía forma de tiza y la base era de 1 cm². Con las fórmulas de don Arquímedes habían calculado que si rebajaban x cm la altura de los tres quesos mediante un corte horizontal, entonces los quesos menguaban x³ cm³, x² cm³ y x cm³ respectivamente. Había además un cuarto queso pequeñito: era un cubito de 1 cm³ de volumen que, según me advirtieron, no se podía cortar en absoluto...

    Llegó la hora de poner un ejemplo: x³ – 8x² + 5x + 14 = 0. Entonces Tic y Tac colgaron los platillos en los números 1, –8, 5 y 14 de la regla, que eran los coeficientes de la ecuación y calibraron la balanza. El quesito cúbico lo pusieron en el platillo del 14. Después fueron cortando lonchas superfinas de los otros tres quesos horizontalmente. Ponían una loncha del primer queso en el platillo del 1, una loncha del segundo queso en el platillo del –8 y una loncha del tercer queso en el platillo del 5. Repitieron el proceso hasta que la balanza se equilibró. Los quesos habían bajado 2 cm. Entonces entendí. El queso de los platillos hacía palanca en los brazos de la balanza y la ecuación representaba la suma de los momentos de fuerza. Por tanto la solución era x = 2. Siguieron haciendo lonchas y llenando los platillos. La balanza se desequilibró al principio pero se equilibró de nuevo para x = 7. ¡Otra solución! Entonces se detuvieron. Les pregunté si su máquina podía calcular soluciones negativas y me respondieron que sí podía pero que necesitaban más queso...
    Comprueba los cálculos de Tic y Tac. ¿Son correctos los principios en que se basa la máquina?
    En la ecuación del ejemplo falta por averiguar una solución negativa ¿Cómo se podría calcular con la balanza de Tic y Tac?

57. Los quesos de Tic y Tac

    Era la hora del recreo y llovía a cántaros. Esperamos un poco a que escampara pero como no amainaba el temporal nos quedamos en el aula. Pepe Chapuzas, que es un cuentacuentos aficionado, nos amenizó la espera... con un cuento con cuentas.

    Os voy a revelar un secreto: he descubierto dos ratoncillos en la torre del reloj... y por eso les he puesto los nombres de Tic y Tac. Como los vi hambrientos les llevé tres quesos que había en la despensa. Uno era cónico como los quesos de tetilla, otro era semiesférico como medio queso de bola y el tercero era cilíndrico como los quesos del pueblo. Me di cuenta de que los tres quesos tenían la misma anchura y la misma altura. Le di los dos primeros quesos a Tic y el tercero, que era el mayor, se lo di a Tac.

    Los ratoncillos, en vez de ponerse contentos, empezaron a discutir porque los dos creían que el otro tenía más queso... Tuve que demostrarles con las fórmulas de los volúmenes, y asegurándoles que los quesos no tenían agujeros por dentro, que ambos habían recibido la misma cantidad; pero no se convencieron porque, según me contaron, en la escuela de don Arquímedes, el búho del campanario, todavía no habían llegado a los volúmenes; tan solo habían visto las áreas... Así que tuve que convencerles de otra manera... Les dije que tenían que comerse los quesos en lonchas circulares (cortadas horizontalmente).

    Por cada loncha que se comiera Tac de su queso cilíndrico, Tic se comería una loncha de su queso cónico y una loncha de su queso semiesférico. Las lonchas tendrían que ser superfinas, del grosor de una molécula de queso (les aseguré que todas las moléculas de queso eran iguales ;-) y que las lonchas no se podían hacer más finas porque cuando se rompen las moléculas de queso, el queso deja de ser queso). Así, loncha a loncha, los quesos menguarían en altura a la par y se acabarían a la vez. Y como ya sabían calcular áreas podían comprobar solitos que en cada almuerzo los dos se comerían el mismo número de moléculas...

    Dicho y hecho: hicieron los cálculos... y las paces..., aunque los quesos se los comieron en un día y no en lonchas precisamente.

    ¡Venga! ¡A hacer las cuentas! Calcula los volúmenes de los quesos y las áreas de las lonchas y comprueba lo que se cuenta en el cuento. ¿Es correcto el razonamiento de Pepe?

    El cuento, no obstante, no había terminado. El final lo contó durante el siguiente chaparrón.

    Fui a ver a Tic y a Tac de nuevo y me habían preparado una sorpresa. En agradecimiento me obsequiaban con sendos regalitos de madera que habían tallado ellos mismos. Me hizo mucha ilusión. El de Tic era un tetraedro regular de 2 cm de arista. Y el de Tac era un elipsoide de ecuación π x² + π y² + 2 z² ≤ 1. Además me aseguraron que los dos objetos tenían el mismo volumen a pesar de ser tan diferentes. No sabían calcularlo aún pero, si el artificio de las lonchas era válido, los volúmenes tenían que coincidir... 

    Demuéstralo. Observa el dibujo y calcula las áreas de las secciones (lonchas) y los volúmenes. Y me lo cuentas todo.

56. Amistades y parentescos numéricos

    Profe, ¿si dos números son primos entre sí, entonces tienen abuelos comunes?

    Este era el humor de Pepe Chapuzas... Cuando cesaron las risas de los alumnos me dirigí a Pepe para comentarle que entre los números naturales no solo había "parentescos" sino también "amistades". Que dos números eran amigos si uno era igual a la suma de los divisores propios del otro. Que, por ejemplo, los números 220 ♥ 284 eran amigos porque 220=1+2+4+71+142 por un lado y por otro 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110. Y que además había números llamados perfectos porque eran amigos de sí mismos como el 6=1+2+3 o el 28=1+2+4+7+14, o sea, 6 ♥ 6 y 28 ♥ 28...

    En vista de los ejemplos define qué es un divisor propio.
    Comprueba la "amistad" de las siguientes "parejitas": 1184 ♥ 1210, 2620 ♥ 2924, 5020 ♥ 5564 y 6232 ♥ 6368.
    Comprueba la "perfección" de los siguientes "numeritos": 496 ♥ 496 y 8128 ♥ 8128.
    Nos vemos...

55. ¡"Menudas" potencias!

    Estaba un día en clase relatando la archiconocida leyenda del premio que recibió Susa, el inventor del ajedrez, por tan ingenioso juego. Mejor dicho, del premio que no recibió, porque este consistía en 1 grano de trigo por la primera casilla del tablero, 2 por la segunda, 4 por la tercera, 8 por la cuarta, 16 por la quinta, y así, duplicando y duplicando hasta la última casilla... Teniendo en cuenta que hay 64 casillas en el tablero, la cantidad se podría calcular con las fórmulas de las progresiones geométricas si no fuera porque salía una cantidad descomunal. ¡No había tanto trigo en el mundo...! En la pantalla de la calculadora no cabía si no era en notación científica, que no dejaba de ser una aproximación. Entonces Pepe Chapuzas irrumpió con una interesante cuestión...

    Profe, ¿se podría averiguar la última cifra de este gigantesco número sin tener que calcularlo de forma exacta? ¿Cuál es esa misteriosa cifra que no se puede ver ni siquiera en las calculadoras?

    No me quedó más remedio que improvisar una clase sobre la última cifra de las potencias (con números naturales). Empecé con ...0^N  = ...0, lo cual significaba que las potencias de los números que acababan en 0 también acababan en 0 como se comprobaba fácilmente. Y lo mismo le pasaba a los números ...1, ...5 y ...6. Así que propuse que investigaran cómo acababan las potencias de los números ...4, ...9, ...2, ...3, ...7 y ...8, en este orden. Al momento Pepe garabateó los grafos correspondientes al darse cuenta del comportamiento cíclico de las últimas cifras de las sucesivas potencias de un número...

    Interpreta y explica los diagramas de Pepe.
    Comprueba que no hay ningún número cuyo cuadrado acabe en 2, 3, 7 u 8.
    Comprueba que ...N = ...N⁵ = ...N⁹, es decir, que la última cifra de cualquier número coincide con la última cifra de su quinta potencia y con la última cifra de su novena potencia.
    Teniendo en cuenta lo anterior calcula la última cifra de las potencias 679⁶⁷⁹ y 537⁵³⁷.
    Calcula la última cifra del premio de Susa.

54. Un problema con mucho arte

    Pepe Chapuzas había pintado un cuadro abstracto para un concurso. Luego me confesó que era un problema de Mates pero como se le estropeó el dibujo (lo manchó de zumo) lo aprovechó reutilizándolo. Aquí podéis ver cómo le quedó la chapuza. El enunciado del problema aún estaba por detrás de la lámina.

    Los círculos son tangentes entre sí y sus radios miden 6, 7 y 8 centímetros respectivamente. Los vértices del triángulo son los centros de los círculos. Calcula el área del triángulo y los senos de sus tres ángulos.

    Pepe se había preparado los datos para que el área saliera un número natural y los senos fueran números racionales. Calcúlalo todo y envíame los resultados.

53. ¡Frío, frío! ¡Caliente, caliente!

    Pepe Chapuzas ha inventado una versión algo diferente del juego de "frío-frío caliente-caliente", solo que en vez de esconder una cosa para que otro la encuentre, ahora se trata de inventar una historia para que los demás adivinen en qué parte del planeta ha sucedido. Puso el siguiente ejemplo:

    Se veía venir. Dos caballeros tan pendencieros no podían acabar sino batiéndose en duelo. Se pusieron espalda contra espalda y avanzaron 20 pasos en línea recta y en sentidos contrarios, ambos hacia el norte, antes de disparar.

    Un compañero interrumpió a Pepe. "Lo del norte" no le convencía en la historia. Pepe le aseguró que la historia era "verídica". Otro compañero añadió que era un ejemplo "bélico". Pepe argumentó que las pistolas eran "de agua" y que ni siquiera funcionaron.

    ¡Juega tú! ¿Por qué no funcionaron las pistolas? ¿En qué lugar ocurrió la escena? ¡Frío, frío! ¡Caliente, caliente!   

52. La superbici de Pepe Chapuzas

    Iba a proponer en clase un problema de velocidades con bicicletas... Un alumno pesimista me dijo que sería muy difícil porque era de bicis y solamente habíamos hecho de motos... Otro estaba encantado porque era un problema más ecológico ya que las bicis no contaminaban al contrario que las motos... Al fin, cuando cesaron las interrupciones, pude dictar el enunciado... Se trataba de una etapa ciclista de ida y vuelta. Consistía en subir y bajar un puerto de montaña por la misma carretera. El objetivo era hacer una velocidad media de 20 km/h en la etapa. Durante la subida el ciclista había conseguido una velocidad media de 10,01 km/h. La cuestión era a cuánta velocidad debía bajar para conseguir el objetivo.

    El alumno pesimista comentó que faltaban datos. El alumno ecologista (que, según su madre, quería arreglar el mundo menos su habitación...) contestó, sin hacer cálculos, que tendría que bajar, más o menos, a 30 km/h. Entonces saltó Pepe Chapuzas:

    Profe, tendría que bajar a más de 1000 km/h.

    Ya os podéis imaginar el revuelo que se formó en la clase. Pero el caso es que Pepe no estaba bromeando... Había acertado otra vez, aunque no sé cómo diablos lo hizo de cabeza.

    Realiza los cálculos y dame la solución exacta.

51. Las paradojas de la sandía

    Un día veo a Pepe Chapuzas con una sandía abierta expuesta al sol y le pregunté que qué chapuza estaba haciendo. Su respuesta no me sorprendió en absoluto. Sabía que sería algún "experimento científico"...

    Profe, estaba comprobando si lo que dice mi vecina es verdad... Según ella, una sandía al sol se enfría, por paradójico que parezca. Dice que es por efecto de la evaporación del agua... Pero se me ha roto el termómetro así que la prueba tendrá que esperar otro día... y otra sandía.

    Es cierto que yo también había oído esa creencia popular de la sandía abierta al sol, pero nunca la había tomado en serio. Entonces recordé otra "paradoja" de las sandías al sol que comenté en clase al día siguiente en forma de problema... Empecé informando de que casi toda la masa de una sandía era líquido (básicamente agua), ¡nada menos que el 99%! Comenté que Pepe se había dejado una sandía de 8 kilos a pleno sol y que se había evaporado parte de su agua de modo que al final el líquido suponía solamente el 96% de la masa total. Terminé preguntando cuánto pesaría entonces la sandía... No había terminado de formular la pregunta y Pepe ya tenía la mano alzada. Le di la palabra...

    Profe, la sandía no me la dejé al sol sino que me la llevé a casa, pero si me la hubiera dejado, y con los datos del problema, ya no pesaría más de 2 kilos y medio...

    Los compañeros rompieron a reír mofándose de Pepe... Pero Pepe no se había equivocado. Demostró tener mejor intuición que sus compañeros...

   Haz los cálculos y comprueba que Pepe tenía razón...

50. Fracciones casi egipcias.

    Una dificultad que tenemos los profes al mandar deberes es que Internet, mejor dicho Google, ofrece a menudo la solución a golpe de "clic". A veces pido a mis alumnos que propongan ejercicios no "googleables". Pepe Chapuzas, que siempre intuye el quid de la cuestión, es un hacha. Le basta con modificar un ejercicio clásico como el de las fracciones egipcias para que la solución no aparezca inmediatamente en la pantalla del ordenador:

    Una fracción egipcia es la descomposición de una fracción en suma de varias fracciones unitarias distintas. (Una fracción unitaria tiene 1 en el numerador). Por ejemplo: 3/10 = 1/5 + 1/10 = 1/4 + 1/20. Es fácil localizar fracciones egipcias en Internet, así que propongo llamar "fracciones casi egipcias" a las descomposiciones que incluyan la resta. Por ejemplo: 3/10 = 1/2 – 1/5 = 1/3 – 1/30.

    Ejercicio: Busca fracciones egipcias y casi egipcias equivalentes a las siguientes fracciones:
 

49. Medio problema de ajedrez

    Estábamos en clase poniendo ejemplos de números naturales. Llegado el turno de Pepe Chapuzas puso como ejemplo el número de jugadas en una partida de ajedrez. Y es que el ajedrez es una de las muchas grandes pasiones de Pepe. Pero era un ejemplo con trampa, porque al día siguiente trajo el siguiente reto:

    Juegan blancas y dan jaque mate en media jugada...

     En seguida sus compañeros protestaron, diciendo que no era posible media jugada porque el número de jugadas era un número entero y no fraccionario. Se habían olvidado de que hay alguna jugada de ajedrez donde se pueden mover dos piezas... y ya no doy más pistas... ¡A jugar!

48. La casa de Zero y los logaritmos

    Aquí tenéis un relato que encontré en el cuaderno de Pepe Chapuzas. Por supuesto termina con un ejercicio de Mates...

    Hola. Me llamo Zero y os voy a hablar de mi casa y de los seres tan complejos que la habitan. Todos los habitantes tenemos unas zonas predeterminadas en la casa... Empecemos con el desván. En el desván está prohibido entrar. Yo creo que allí moran fantasmas, espectros y otros seres imaginarios. Ellos no pueden salir ni nosotros, los seres reales, entrar. El desván es el lugar más misterioso de la casa... Un lugar interesante también es la pecera. En la pecera viven los únicos animales de la casa. Me refiero, ya se entiende, a los únicos animales irracionales. Los racionales, es decir, los humanos, no nos metemos en peceras... Un lugar curioso es el relicario. El relicario es un armarito con fracciones de humanos. No es broma. Entre las reliquias hay huesos quebrados de santos... Pero sigamos. Las zonas más cómodas de la casa nos están reservadas a los humanos enteros. Somos muy diferentes unos de otros y estamos separados. Unos por su carácter son más bien positivos y naturales y se alojan en el ala derecha, mientras que los otros, los negativos, se ubican en la izquierda. Yo siempre estoy en medio y para todos soy una nulidad. Un día invitamos a unos logaritmos y se quedaron a dormir... ¿A ver si adivinas a dónde fue a parar cada uno?

 

47. Quien la sigue la consigue...

    En las pruebas de inteligencia y en los pasatiempos matemáticos suele aparecer el test de lógica conocido como "siga la serie". Es una de las actividades favoritas de Pepe Chapuzas. El otro día propuso este reto a sus compañeros. Bueno, en realidad eran dos en uno:

    Completa las dos series teniendo en cuenta que las dos soluciones representan la misma cantidad. Sigue las series...

    Pues eso, sigue las series. Dame la respuesta, razonada por supuesto, como comentario y recuerda que quien la sigue... la consigue.

46. La raíz cuadrada de una matriz cuadrada

    A Pepe Chapuzas le gustan los juegos de palabras. Pero en Mates, disfruta con ellos... viendo la cara de perplejidad de sus compañeros. Además suele hacer preguntas enrevesadas a destiempo. Ayer saltó con esta...

    Profe, si A fuera el cuadrado de una matriz cuadrada B, es decir, si A = B·B = B², entonces A sería también una matriz cuadrada pero ¿la matriz cuadrada B sería la raíz cuadrada de la matriz cuadrada A? Si esto es así, yo he encontrado varias raíces cuadradas de I₂, la matriz identidad de orden 2. Mire:

    Le contesté que sí, que se llamaban raíces matriciales, pero que había que tener cuidado porque había matrices cuadradas que no tenían raíces cuadradas, había otras que tenían una cantidad finita y, finalmente, había matrices cuadradas que tenían infinitas raíces cuadradas. Pepe me miró incrédulo. Ahora la cara de perplejidad era la suya pero no hizo ningún comentario. Se quedó pensativo...

    Comprueba, si no lo has hecho todavía, que todas las matrices del ejemplo de Pepe son raíces cuadradas de  I₂.
    Calcula todas las raíces cuadradas de I₂.
    Encuentra alguna matriz de orden 2 que no tenga raíces cuadradas.

    ¡Ánimo! ¡No es difícil!

45. La tabla peródica de los poliedros (Chapuzón de verano)

    Para el verano, entre otros, mandé hacer un trabajo sobre los poliedros regulares, también llamados sólidos platónicos, y la mayoría de mis alumnos como es habitual buscó la información directamente en la Wikipedia. Sin embargo Pepe Chapuzas hizo un trabajo original (demasiado original) y que reproduzco a continuación:

LA TABLA PERIÓDICA DE LOS POLIEDROS

    Platón tenía 5 poliedros regulares (el tetraedro, el octaedro, el cubo, el icosaedro y el dodecaedro) para los 4 elementos de la materia (el fuego, el aire, la tierra y el agua), así que tuvo que echar mano del misterioso éter para poder elaborar su preciosa teoría de los átomos poliédricos.

    Si Platón hubiera sabido que los elementos no eran precisamente esos, y que había más de un centenar, ¡quién sabe qué poliedros habría escogido para elaborar la teoría...!
    Pero... ¿cuántos elementos hay? Los últimos elementos químicos en ser bautizados, el copernicio (Cn), el flerovio (Fl) y el livermorio (Lv), ocupaban desde hace años las casillas 112, 114 y 116 de la tabla periódica... Un inciso: eso de llamar periódica a la tabla de los elementos químicos me parece una chapuza. En Mates, un período es una cantidad fija, sin embargo en la tabla "periódica" los "períodos" van creciendo: 2, 8, 18 y 32. Es más bien una tabla "escalonada" como se aprecia en la tabla de Janet... En fin, no voy a cambiar ahora el título de mi trabajo...

      Encontré la tabla de Janet en Internet... Con esta tabla escalonada se explican a veces la regla de llenado de orbitales (s, p, d y f) y las configuraciones electrónicas de los átomos en su estado fundamental. Janet, en su tabla, coloca el bloque f a la izquierda y el bloque s a la derecha, separando al helio (He) del grupo de los gases nobles. Como hay 4 escalones y cada escalón tiene 2 "períodos", en esta tabla hay cabida para 120 elementos. ¿Necesitaríamos al menos 120 poliedros?

    120 es un número que me gusta porque es el factorial de 5, es decir, 5! = 5·4·3·2 = 120. (No se olvide de estos números: 5, 4, 3 y 2). Creo que Platón se habría detenido también en 120 poliedros dignos de llamarse elementales o atómicos... con tal de que no fueran "demasiado irregulares". Lo mínimo que se les podría exigir es que tuvieran por caras polígonos regulares y que fueran convexos, esto es, sin entrantes. Busqué en Internet poliedros así y descubrí que existían, además de los 5 sólidos de Platón, también los 13 de Arquímedes, los 92 de Johnson y las series infinitas de prismas y antiprismas. También leí que los poliedros de Platón, Arquímedes y Johnson estaban formados exclusivamente por polígonos de 3, 4, 5, 6, 8 y 10 lados (advierta que 6, 8 y 10 son los dobles de 3, 4 y 5). ¡Es como si los demás polígonos estuvieran "prohibidos"! Pues bien, con los polígonos "permitidos" tenemos que añadir 5 prismas y 5 antiprismas... ¿Sumamos? 5 + 13 + 92 + 5 + 5 = 120. ¡Ya tenemos los 120 poliedros! Y lo que es mejor (o peor), ¡tenemos una excusa para elaborar una nueva teoría platónica!: ¡la teoría chapuzónica (si se me permite)!

    Me lo temía profe: me he obsesionado. ¡Si hasta sueño con las configuraciones electrónicas y con la escalera de Janet, en vertical y en horizontal, llena de sólidos de Johnson...! Tendría que tener más cuidado con los trabajitos que nos manda...
    Además, los nombres de los poliedros son horrorosos: ortobicúpulas, hebesfenomegacoronas, etc. Menos mal que Johnson catalogó sus sólidos del (J-1) al (J-92). Los demás poliedros se pueden determinar por los polígonos que se juntan en un vértice: el cubo sería el (4.4.4) porque en cada vértice hay 3 cuadrados. Espero no perder el juicio... 

    Emparejar 120 poliedros con 120 elementos químicos me parecía una tarea imposible pero alguna "pista" me impulsó a comenzar... ¿Qué tenían de peculiar los elementos de cada escalón? Los del primer escalón solo tenían orbitales s y solo los del cuarto escalón tenían orbitales f... ¿Sabe que empiezo a ver algún parecido entre orbitales y poliedros?... No sé...
    ¿Qué relación podría haber entre poliedros y orbitales? ¡Seguro que ninguna! Pero sigamos... Mire, si contamos los poliedros que contienen pentágonos y decágonos regulares (sin olvidarnos del icosaedro cuyos pentágonos regulares están ocultos) salen 64..., ¡como el número de casillas del cuarto escalón de Janet!... Por otro lado tenemos "familias" de 2, de 3 y hasta de 4 poliedros: por ejemplo, la familia de las pirámides (triangular, cuadrada y pentagonal) sería una familia de 3 poliedros.

     Se acuerda todavía de los números 5, 4, 3 y 2, ¿verdad?... Pensé que si el cuarto escalón estaba relacionado de algún modo con el número 5 (o sea, con pentágonos y decágonos), el tercer escalón lo estaría con el 4 (cuadrados y octágonos), el segundo con el 3 (triángulos y hexágonos) y, siguiendo la "lógica", el primero con el 2 (aristas y cuadrados). ¿Cuadrados otra vez?... A lo que vamos, cada familia tendría un miembro (un poliedro) en cada escalón... e intercalando dos familias se llenaría una columna de la tabla de Janet, es decir, un grupo de elementos.

   No era muy optimista..., pero buscando y rebuscando encontré que "casualmente" había ni más ni menos que 12 familias de 3 poliedros para los 36 elementos del bloque p (el bloque p es donde se encuentra la "muralla china" entre metales y no metales). Ya he dibujado 4 familias. Aquí están las otras 8:

    Y también había 4 familias de 4 poliedros para los 16 elementos del bloque s. A decir verdad, había poliedros que encajaban en diferentes familias, como el prisma triangular (3.4.4), que bien podría estar entre las cúpulas, y el girobifastigium (J-26), entre las girobicúpulas. No me preocupaba esto pues también había elementos que podían acoplarse bien en distintos grupos, como el hidrógeno (H) o el ya mencionado helio (He)... 

    Para el bloque f, el de las 28 tierras raras, necesitaba poliedros sin familia... ¡Y siguen cuadrando las cuentas!: ahí estaban las rotondas ...

... y los rombicosidodecaedros (el nombrecito se lo debemos a Kepler), ¡justamente 28 entre todos! Algunos de estos poliedros son tan parecidos que se necesita fijarse bien para distinguirlos...

    Finalmente para el bloque d, el de los 40 elementos de transición, solo encontré 11 familias de 2 miembros: me quedaban muchos poliedros sueltos... Para colmo, por su forma algunos de ellos eran..., como decirlo..., "singulares". No sabía si reír o llorar...    

    Entonces me acordé de que en este bloque d (y en el bloque f) había 20 elementos químicos "excepcionales" porque no seguían la regla de llenado de orbitales. Sus configuraciones electrónicas eran anomalías en sus grupos... ¡Eureka!... Solo había que colocar poliedros "singulares" en casillas de elementos "excepcionales"... Y ya lo habrá adivinado: ¡así solo hacían falta 11 familias! ¡Esto era de locos!...

       Solo había una "pega"... En el tercer escalón se había colado un poliedro intruso: el disfenoide romo (J-84), que no tenía ni cuadrados ni octágonos..., pues bien, se lo adjudiqué al paladio (Pd), una rareza en toda regla de la tabla periódica, pues era el único elemento que no tenía electrones en su nivel externo: su configuración era [Kr] 4d ¹⁰ en vez de la esperada [Kr] 4d ⁸ 5s ²...
    Así, fui dejando caer poco a poco los poliedros en la tabla, distribuyéndolos por filas y columnas, dejando volar mi intuición..., y teniendo en cuenta que esta teoría carecía de base científica, y que cualquier parecido con la realidad... sería pura coincidencia. (Aunque nunca se sabe).   ;-)

    Me quedé sin palabras. Para completar este chapuzón, Pepe incluyó una lámina final con la ubicación "exacta" de los poliedros en la tabla periódica. ¡Extraña tabla...! Aun así, el trabajo me parecía una especie de malabarismo matemático... y una manera curiosa de abordar el precioso mundo de los poliedros.

    Contesta a las siguientes preguntas:

    - Hay siete poliedros de Pepe que no tienen simetría especular. ¿Qué significa esto? ¿De qué poliedros se trata?
    - Hay un poliedro de Johnson que tiene todos sus ángulos sólidos (picos) congruentes. ¿Qué significa esto? ¿Cuál es?
    - ¿Cómo son los poliedros de Catalan? ¿Cuántos hay? ¿Qué relación tienen con los poliedros de Pepe?
    - Busca dados de rol en Internet. Como verás se trata de poliedros diversos. ¿Qué poliedros son?
    - ¿Qué es un deltaedro? ¿Cuántos deltaedros hay en la colección de Pepe?
    - ¿Qué elementos químicos tienen configuraciones electrónicas anómalas según Pepe? ¿Todos los autores coinciden en estos?
    - ¿Cómo colocarías los poliedros de Pepe en la tabla de Janet?

44. L'Hôpital al límite (Bachillerato)

    Profe, mire este límite. Como el seno y el coseno son funciones acotadas, cuando x tiende a infinito me sale la indeterminación  ∞ / ∞  que en teoría podría resolverse con la regla de L'Hôpital. Pero si aplico la regla de L'Hôpital y me pongo a derivar funciones obtengo de nuevo la misma indeterminación. Al cabo de cuatro intentos me sale la fracción del principio con lo que no llego a ninguna parte... ¡Qué chapuza de regla se inventó L'Hôpital!

     Pepe Chapuzas está poniendo a prueba la regla de L'Hôpital. ¿Falla algo? Razona la respuesta y calcula el límite. Espero tu respuesta.

43. Coloreando mapas

    "Profe, no he conseguido colorear el mapa de Chapuzalandia con 4 colores, y pido ayuda a la clase."

    El último día hablé en clase del teorema de los 4 colores que demostraron K. Appel y W. Haken en 1976 con ayuda de ordenadores. Comenté que el teorema afirmaba que todo mapa se puede colorear con solo 4 colores de modo que las regiones fronterizas tengan colores distintos. Resulta que Pepe Chapuzas ubica sus historias en el país imaginario de Chapuzalandia, cuyo mapa es tan complicado que parece imposible colorearlo así.

    Échale una mano a Pepe. Si lo consigues me mandas la solución por correo electrónico.

42. Portadas con humor

    En las portadas del cuaderno de Pepe Chapuzas se entrevé su humor. Esta es la del tema de números irracionales...

    Inventa o busca algún dibujo que te resulte gracioso para ilustrar algún tema del curso y me envías la imagen, indicando la fuente, por correo electrónico.    

41. Triángulos pitagóricos

   Un día, como tantos otros en clase de Mates, volvió a aparecer el teorema de Pitágoras, y en particular, el triángulo pitagórico de lados 3, 4 y 5. Recordé que un triángulo rectángulo era pitagórico si los tres lados medían números naturales, y que precisamente este, el de lados 3,4 y 5, era bien conocido y utilizado en la antigüedad, porque la denominada cuerda de doce nudos se utilizaba para trazar ángulos rectos mucho antes de que naciera Pitágoras:

    Miré a Pepe Chapuzas, que siempre tiene alguna pregunta que hacer..., y no me equivoqué.

    Profe, ¿existe algún plano que determine tres triángulos pitagóricos con los planos coordenados?

    Le contesté que había infinitos y que el primero fue descubierto por un matemático alemán llamado Paul Halcke en 1719.

    Halla la ecuación canónica (o segmentaria) del plano que descubrió Halcke. Como datos te doy las hipotenusas de los tres triángulos pitagóricos.

    ¡Ánimo! Espero la solución.

40. Las recetas de Pepe Chapuzas...

    Profe, gracias a las calificaciones, si algo hemos aprendido a hacer bien, por la cuenta que nos trae, ha sido calcular las medias:

    Pepe Chapuzas no solo ha dado en el clavo sino que con el concepto de media ha asimilado algunas fórmulas de Estadística, Combinatoria y Probabilidad como se observa en las siguientes "recetas" apuntadas en su cuaderno:

    COVARIANZA. Calcular la media de los productos menos el producto de las medias:

    NÚMERO TRIANGULAR. Calcular la media aritmética entre un número y su cuadrado:

    PROBABILIDAD TOTAL. Calcular la media ponderada de las verosimilitudes...

    Y como estas hay un montón en el "recetario" chapucero de su cuaderno. Te propongo tres actividades:

    1. Escribe una "receta" para calcular la desviación típica y simplifica su fórmula al estilo de Pepe Chapuzas.
    2. ¿Por qué los número de fichas del dominó (28) y del dominó cubano (55) son números triangulares? ¿Por qué crees que se llaman triangulares estos números?
    3. ¿Cuáles son los "pesos" en el teorema de la probabilidad total desde el punto de vista de Pepe Chapuzas?

    Envíame las respuestas en un documento por correo electrónico. Nos vemos.

39. El Templo de las Luces

    Así llamaban al templo porque tenía una luz por cada día del año. Las luces, que no se fundían nunca, estaban numeradas del 1 al 365 (366 los años bisiestos) y cada una tenía un pulsador. Cuando se apretaba el pulsador, esa luz se encendía si estaba apagada o se apagaba si estaba encendida.
    El templo se inauguró el primer día del año con el encendido de todas las luces.
    El segundo día del año se apretaron los pulsadores de las luces 2ª, 4ª, 6ª, 8ª, 10ª, etc.
    El tercer día del año se apretaron los pulsadores de las luces 3ª, 6ª, 9ª, 12ª, 15ª, etc.
    El cuarto día del año se apretaron los pulsadores de las luces 4ª, 8ª, 12ª, 16ª, 20ª, etc.
    El quinto día del año se apretaron los pulsadores de las luces 5ª, 10ª, 15ª, 20ª, 25ª, etc.
    Y así sucesivamente cada día del año...
    ¿Cuántas luces y cuáles quedarán encendidas el último día del año?

    Este Pepe Chapuzas y sus retos...
    Resuélvelo. Espero tu comentario con la solución correcta.

38. Misterios de la derivada

    Profe, cuando hablamos de "esfera" unas veces nos referimos a la esfera maciza y otras a la superficie esférica. Para el equivalente en dos dimensiones tenemos dos palabras: círculo y circunferencia. Creo que los matemáticos tienen muy poca imaginación... o son unos chapuzas. Por cierto, si derivamos el área del círculo respecto del radio nos sale la longitud de la circunferencia, y si derivamos el volumen de la esfera nos sale su área. ¿Es una casualidad? Yo no lo creo...

    Le contesté a Pepe Chapuzas que no era una casualidad, y que cuando supiera algo más de las derivadas lo entendería perfectamente.
    Busca en Internet una explicación y le desvelas a Pepe este misterio.

37. Sopa de guarismos

    Pepe Chapuzas disfruta resolviendo pasatiempos matemáticos, pero más cuando es él quien los prepara para sus compañeros. Aquí tenéis el último que se ha ingeniado:

    Busca números capicúas en la siguiente sopa. (Por supuesto no valen los que tienen solo una cifra ni los que estén contenidos en otro número capicúa más largo). ¿Cuántos hay?

    ¡A por los capicúas! ¡Y no olvidéis que pueden aparecer en horizontal, en vertical y en diagonal!

36. Números para una exposición

    Profe, he recopilado números de distintos lugares y de distintas épocas, y estoy haciendo un álbum. Mire estos:

    Me gustó la idea de Pepe Chapuzas y le animé para hacer una exposición en el aula, a lo que accedió encantado. La exposición fue todo un éxito, pero al segundo día algún compañero "bromista" se llevó los títulos de las láminas y Pepe, molesto, se negó a poner títulos nuevos.
    Busca en Internet y pon tú los títulos, indicando de qué sistemas de numeración se trata y las cantidades que representan.

35. El gato del tangram

    Pepe Chapuzas es un virtuoso del tangram. No se le resiste ninguna figura. En su cuaderno de papel cuadriculado siluetea chapuceramente sus favoritas, como la del gato tumbado.

    El otro día se conmovió con la biografía de G. A. Pick, matemático austríaco de origen judío que murió en el campo de concentración nazi de Theresienstadt (hoy Terezin, Chequia), y como homenaje ha propuesto a sus compañeros que calculen, con la fórmula de Pick, el área que ocupa en su cuaderno el gato del tangram.
    Busca en Internet la fórmula de Pick y calcula esta área teniendo en cuenta que la separación entre puntos es de 1cm y que los puntos del borde de la figura no se ven.
   

34. De hexaminós y octamantes

    Profe, mire la página de los poliedros regulares... ¡Qué feos que son los desarrollos del hexaedro y del octaedro del libro de este año! Los del año pasado me gustaban más.


HEXAMINÓ                                  OCTAMANTE

    No sé si Pepe Chapuzas se refería al color o al tamaño... Pues ni lo uno ni lo otro, se refería a la forma, es decir, a la disposición de los cuadrados y de los triángulos. Entonces le comenté que los desarrollos del hexaedro eran hexaminós (recortables reversibles con 6 cuadrados adosados) y que los desarrollos del octaedro eran octamantes (recortables reversibles con 8 triángulos equiláteros adosados).
    Aunque hay muchos hexaminós y octamantes diferentes, solamente 11 hexaminós son desarrollos del hexaedro y solamente 11 octamantes son desarrollos del octaedro. Descubre estos desarrollos y dibújalos, ¡a ver si los consigues todos!, y envíamelos por correo electrónico. (¡Ojo! Solo hay 11 de cada. Al ser reversibles, se les puede dar la vuelta y obtenemos sus simétricos, que no cuentan).

33. Los secretos de las estrellas

    Los dibujos del cuaderno de Pepe Chapuzas no son solo ornamentales. Son reglas nemotécnicas o, como dice Pepe, son estrellas con secreto. Mirad las tres estrellas de la contraportada... Y oíd la explicación de Pepe...

    La primera me da el orden de los sostenidos (fa do sol re la mi si) y los bemoles (si mi la re sol do fa) en las armaduras musicales a partir de la escala. La segunda me clasifica los colores en primarios (rojo amarillo azul) y secundarios (verde violeta naranja) a partir del arco iris (sin el añil). La tercera me da el orden de las antiguas esferas celestes (Luna Mercurio Venus Sol Marte Júpiter Saturno) a partir de los días de la semana.

    Busca una estrella y descubre su secreto.

32. ¡Buena puntería! ;-)

    A Pepe Chapuzas también le gustan las novelas policíacas. Lo mejor es que a veces se inventa un relato para detectives matemáticos. Y si no os lo creéis aquí os presento su último caso:

    Siempre me llamó la atención aquella pared agujereada del mesón... El mesonero cuenta una historia diferente cada día sobre el origen de los enigmáticos agujeros para entretener a una fiel clientela tan expectante como incrédula... Esa tarde, al parecer, los famosos agujeros los produjeron las balas que acabaron con el Cojo... Al final, resultó que el Cojo era un triángulo escaleno de malísima reputación... El caso fue que una noche, en un ajuste de cuentas, al Cojo le descerrajaron cuatro tiros en sus puntos notables: el baricentro, el ortocentro, el incentro y el circuncentro... La historia acabó en discusión entre el público acerca de cuál agujero correspondía a cada "centro"...

    Haz de detective matemático y danos una opinión justificada del asunto.

31. El ojo de Horus

    A Pepe Chapuzas le interesan muchas y variadas disciplinas. Por ejemplo, la Música y la Egiptología. Y en cuanto encuentra una relación matemática la anota (más bien la dibuja) en su cuaderno. En este sentido su cuaderno es un tesoro. Os muestro algo que me llamó la atención.

    Indagad en Internet y averiguad qué relación hay entre las partes del ojo de Horus y las figuras musicales.

30. Reto navideño

    Pepe Chapuzas ha propuesto un reto para Navidad. Pero por ser Navidad dice que es voluntario:

    Descompón en factores primos los números de este árbol de Navidad. El primero, claro, no se puede, y el último lo pongo aquí porque es muy difícil: 999999999 = 3 x 3 x 3 x 3 x 37 x 333667. Para los demás se puede consultar la lista de números primos de la Wikipedia.

    Ánimo, y que no te den las uvas. Y que aunque sea voluntario, el que lo haga tendrá regalito de Navidad...