218. Los primos de Pepe Chapuzas (2ª parte)

    Profe, mire. Los inversos de los números primos son números racionales y sus expresiones decimales son infinitas periódicas puras (excepto las de 1/2 y 1/5). Además el número de cifras del período (longitud del período) es siempre menor que el número primo (el denominador). ¿Sabría decirme cuál es el único primo que da lugar a un período de 1 cifra? ¿Y de 2 cifras? ¿Y de 3 cifras? ¿Y de 4 cifras?

    Pepe Chapuzas siempre me está poniendo a prueba...
    ¿Quién me echa una mano para contestar a Pepe de forma razonada?
    ¿Por qué la longitud del período es menor que el denominador?
    Investiga qué pasa con períodos de mayor longitud.

166. El quebrado traicionero

    Llama la atención que la suma de fracciones sea más difícil que la multiplicación... ¡Qué le vamos a hacer! Y todos los años pasa lo mismo... No se puede evitar... Tarde o temprano se cuela en algún examen algún "quebrado traicionero"... (Aquí tenéis un ejemplo).

    Como habréis imaginado, no era el examen de Pepe Chapuzas el que contenía tamaña chapuza... De hecho en los apuntes de Pepe encontré lo siguiente...

    Pepe indicaba que, en este razonamiento, los numeradores a y c eran números enteros y que los denominadores b y d eran números naturales, y había anotado que el "quebrado traicionero" (a+c)/(b+d) era una media ponderada de las fracciones a/b y c/d...

    Comprueba los cálculos de Pepe e interpreta el dibujo.

    ¿Qué ocurriría si algún denominador fuera negativo (o nulo)? Analiza todas las posibilidades...

    Encuentra todas las soluciones de a/b + c/d = (a+c)/(b+d).

    Si quieres profundizar más en el tema busca información sobre los círculos de Ford y la sucesión de Farey.

136. Diez en uno

    Profe, mire. He conseguido sumar dos fracciones de números naturales (de 2 cifras y de tres cifras) y el resultado es 1. Lo mejor es que he utilizado las diez cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) de la siguiente manera: (Cada letra representa una cifra distinta...)

    Busca alguna solución colocando cada cifra en su lugar y, si la encuentras, ¡dínosla! (Como pista os diré que en la solución de Pepe Chapuzas cada fracción es equivalente a 1/2).

110. Pescando fracciones unitarias

    Profe, mire. Podemos escribir la fracción unitaria 1/6 como suma de dos fracciones unitarias iguales: 1/6 = 1/12 + 1/12. Pero... ¿de cuántas formas se podría escribir 1/6 como suma de dos fracciones unitarias diferentes, es decir, 1/6 = 1/m + 1/n con números naturales m y n diferentes? (Para simplificar podemos suponer que m > n). Ya he pescado algunas soluciones pero no sé si las tengo todas...

    Os propongo esta duda de Pepe Chapuzas como ejercicio. Encuentra (o pesca) todas las soluciones.
    Además, calcula, para cualquier fracción unitaria 1/k, el mayor valor de m y el menor valor de n para que 1/k = 1/m + 1/n. (Con k, m y n números naturales, por supuesto).

108. "Simplifichapuzas"

    Un día llegué a clase y encontré a Pepe Chapuzas haciendo una parodia del profe de Mates. ;-)

    Hoy vamos a explicar lo que es una simplifichapuza. Una simplifichapuza es una simplificación de una fracción de números naturales en la que, a pesar de ser el resultado correcto, en el examen se saca un rosco perfecto... Aquí tenéis un buen ejemplo:

    Cuando se dieron cuenta de mi presencia estaban todos en plena carcajada...

    Busca otra "simplifichapuza" y si la encuentras me la envías. Nos vemos.

50. Fracciones casi egipcias.

    Una dificultad que tenemos los profes al mandar deberes es que Internet, mejor dicho Google, ofrece a menudo la solución a golpe de "clic". A veces pido a mis alumnos que propongan ejercicios no "googleables". Pepe Chapuzas, que siempre intuye el quid de la cuestión, es un hacha. Le basta con modificar un ejercicio clásico como el de las fracciones egipcias para que la solución no aparezca inmediatamente en la pantalla del ordenador:

    Una fracción egipcia es la descomposición de una fracción en suma de varias fracciones unitarias distintas. (Una fracción unitaria tiene 1 en el numerador). Por ejemplo: 3/10 = 1/5 + 1/10 = 1/4 + 1/20. Es fácil localizar fracciones egipcias en Internet, así que propongo llamar "fracciones casi egipcias" a las descomposiciones que incluyan la resta. Por ejemplo: 3/10 = 1/2 – 1/5 = 1/3 – 1/30.

    Ejercicio: Busca fracciones egipcias y casi egipcias equivalentes a las siguientes fracciones:
 

48. La casa de Zero y los logaritmos

    Aquí tenéis un relato que encontré en el cuaderno de Pepe Chapuzas. Por supuesto termina con un ejercicio de Mates...

    Hola. Me llamo Zero y os voy a hablar de mi casa y de los seres tan complejos que la habitan. Todos los habitantes tenemos unas zonas predeterminadas en la casa... Empecemos con el desván. En el desván está prohibido entrar. Yo creo que allí moran fantasmas, espectros y otros seres imaginarios. Ellos no pueden salir ni nosotros, los seres reales, entrar. El desván es el lugar más misterioso de la casa... Un lugar interesante también es la pecera. En la pecera viven los únicos animales de la casa. Me refiero, ya se entiende, a los únicos animales irracionales. Los racionales, es decir, los humanos, no nos metemos en peceras... Un lugar curioso es el relicario. El relicario es un armarito con fracciones de humanos. No es broma. Entre las reliquias hay huesos quebrados de santos... Pero sigamos. Las zonas más cómodas de la casa nos están reservadas a los humanos enteros. Somos muy diferentes unos de otros y estamos separados. Unos por su carácter son más bien positivos y naturales y se alojan en el ala derecha, mientras que los otros, los negativos, se ubican en la izquierda. Yo siempre estoy en medio y para todos soy una nulidad. Un día invitamos a unos logaritmos y se quedaron a dormir... ¿A ver si adivinas a dónde fue a parar cada uno?

 

31. El ojo de Horus

    A Pepe Chapuzas le interesan muchas y variadas disciplinas. Por ejemplo, la Música y la Egiptología. Y en cuanto encuentra una relación matemática la anota (más bien la dibuja) en su cuaderno. En este sentido su cuaderno es un tesoro. Os muestro algo que me llamó la atención.

    Indagad en Internet y averiguad qué relación hay entre las partes del ojo de Horus y las figuras musicales.

27. Goniómetro, escuadra y cartabón

    En estas herramientas de dibujo se esconden tres números irracionales: π, √2 y √3.

    Para π = 3,14159265... los antiguos griegos utilizaban la aproximación 377/120 y los antiguos chinos 355/113. ¿Cuál era mejor?
    Pepe Chapuzas dice que ha encontrado las mejores aproximaciones de π, √2 y √3 con fracciones de números de tres cifras. ¿Quién se atreve a desafiar a Pepe?
   Os propongo la siguiente competición: Buscad las fracciones de Pepe. Ganarán los que más se aproximen.