292. Una razón irracional

    Profe, mire. El cuadrado de un número par es un número par y el cuadrado de un número impar es un número impar. La prueba es muy sencilla... Si un número es par, entonces termina en 0, 2, 4, 6 u 8 y su cuadrado terminará en 0, 4, 6, 6 o 4 respectivamente. Y si es impar, entonces termina en 1, 3, 5, 7 o 9 y su cuadrado terminará en 1, 9, 5, 9 o 1 respectivamente...

    Pepe Chapuzas estaba orgulloso de haber deducido algo... que todo el mundo sabía...
    Aprovechando su "demostración" le hablé de la irracionalidad de √2. Le recordé que √2 era el valor de la razón entre la diagonal y el lado de un cuadrado como ya habíamos visto con el teorema de Pitágoras. ¡Era una razón irracional! Y añadí que esto se podía demostrar por reducción al absurdo, es decir, suponiendo que √2 fuera racional y llegando a una contradicción... Pepe estuvo muy atento a la explicación: esto es lo que apuntó en su cuaderno...

    Si √2 fuera racional, se podría escribir como una fracción irreducible, o sea, √2 = a/b  (siendo a y b coprimos)... 
    Por lo tanto, elevando al cuadrado, a²/b² = 2, 
y despejando, a² = 2b²,    (*) 
por lo tanto a² sería par... y a también,
o sea, a = 2c, para cierto número natural c.
por tanto, a² = 4c²,    (**)
e igualando (*) y (**) tenemos 2b²  = 4c², y despejando, b²  = 2c², 
y por lo tanto b² sería par... y b también...
    Pero si a y b fueran ambos pares, no serían coprimos... y la fracción irreducible a/b sería una fracción reducible (se podría simplificar dividiendo por 2)... en evidente contradicción...
    Por todo ello, √2 no se puede escribir como una fracción irreducible... y no es un número racional... sino irracional....

    Ahora te toca a ti. Demuestra que √3 es un número irracional.

48. La casa de Zero y los logaritmos

    Aquí tenéis un relato que encontré en el cuaderno de Pepe Chapuzas. Por supuesto termina con un ejercicio de Mates...

    Hola. Me llamo Zero y os voy a hablar de mi casa y de los seres tan complejos que la habitan. Todos los habitantes tenemos unas zonas predeterminadas en la casa... Empecemos con el desván. En el desván está prohibido entrar. Yo creo que allí moran fantasmas, espectros y otros seres imaginarios. Ellos no pueden salir ni nosotros, los seres reales, entrar. El desván es el lugar más misterioso de la casa... Un lugar interesante también es la pecera. En la pecera viven los únicos animales de la casa. Me refiero, ya se entiende, a los únicos animales irracionales. Los racionales, es decir, los humanos, no nos metemos en peceras... Un lugar curioso es el relicario. El relicario es un armarito con fracciones de humanos. No es broma. Entre las reliquias hay huesos quebrados de santos... Pero sigamos. Las zonas más cómodas de la casa nos están reservadas a los humanos enteros. Somos muy diferentes unos de otros y estamos separados. Unos por su carácter son más bien positivos y naturales y se alojan en el ala derecha, mientras que los otros, los negativos, se ubican en la izquierda. Yo siempre estoy en medio y para todos soy una nulidad. Un día invitamos a unos logaritmos y se quedaron a dormir... ¿A ver si adivinas a dónde fue a parar cada uno?

 

27. Goniómetro, escuadra y cartabón

    En estas herramientas de dibujo se esconden tres números irracionales: π, √2 y √3.

    Para π = 3,14159265... los antiguos griegos utilizaban la aproximación 377/120 y los antiguos chinos 355/113. ¿Cuál era mejor?
    Pepe Chapuzas dice que ha encontrado las mejores aproximaciones de π, √2 y √3 con fracciones de números de tres cifras. ¿Quién se atreve a desafiar a Pepe?
   Os propongo la siguiente competición: Buscad las fracciones de Pepe. Ganarán los que más se aproximen.