1572. El sexto polícoro

    Profe, mire. ¿Sabe cuántos polítopos regulares convexos existen?

    Sin dimensiones solo hay uno: el punto.

    En una dimensión solo hay uno: el segmento.

    En dos dimensiones hay infinitos: los polígonos regulares convexos.

    En tres dimensiones hay cinco: los poliedros regulares convexos (los sólidos platónicos).

    En cuatro dimensiones hay seis: los polícoros regulares convexos.

    En una cantidad mayor de dimensiones hay tres polítopos regulares convexos...

    Con esta enumeración, Pepe Chapuza daba a conocer el concepto de polítopo... (Se trataba de ir generalizando sucesivamente añadiendo dimensiones...) Hasta el espacio tridimensional los controlábamos todos y a partir del espacio pentadimensional nos resultaba imposible de imaginar..., así que le pedí a Pepe que se centrara en el espacio tetradimensional y nos hablara de los seis polícoros.

    Mire, profe.. Si los poliedros tienen vértices (puntos), aristas (segmentos) y facetas (polígonos), los polícoros tienen además celdas (poliedros). Cinco de los polícoros están relacionados con los cinco poliedros platónicos. Si llamamos V, A, F y C al número de vértices, aristas, facetas y celdas tenemos

    1. El pentácoro, V=5, A=10, F=10, C=5. Las celdas son tetraedros. Es autodual.

    2. El teseracto u octácoro, V=16, A=32, F=24, C=8. Las celdas son cubos o hexaedros.

    3. El hexadecácoro, V=8, A=24, F=32, C=16. Las celdas son tetraedros. Es dual del anterior.

    4. El hecatonicosácoron. V=600, A=1200, F=720, C=120. Las celdas son dodecaedros.

    5. El hexacosícoro, V=120, A=720, F=1200, C=600. Las celdas son tetraedros. Es dual del anterior.

    Estaba claro que eran los análogos tetradimensionales del tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro respectivamente... Pero... ¿cuál era el sexto polícoro regular convexo?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla nos lo desveló...

    6. El icositetrácoro, V=24, A=96, F=96, C=24. Las celdas son tetraedros. Es autodual.

    Además, nos mostró en Internet unas proyecciones en el plano de los seis polícoros para que nos los imagináramos. (Difícil tarea en cuatro dimensiones... aunque no imposible... Al menos los más sencillos...) 

    Eso sí, con la enumeración completa de los seis polícoros regulares convexos era fácil conjeturar una fórmula de Euler para el espacio tetradimensional. ¿La adivinas? ¡A ver si aciertas con ella!

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota acertó: