Pepe Chapuza había leído por su cuenta algo sobre los cuaterniones (o cuaternios de Hamilton) y llegó a clase inmerso en el hiperespacio...
Profe, mire. Los cuaternios son unos números hipercomplejos que tienen una parte real y tres imaginarias, de ahí el nombre de cuaternio. Por ejemplo 3 + 5i − 4j + 7k donde i, j y k son las unidades imaginarias puras de los cuaternios. (1, i, j y k se denominan rotores básicos.)
Interrumpí a Pepe. No podía irrumpir con esos conceptos tan "hipercomplejos"... sin hacer siquiera un dibujo en la pizarra...
Así que dibujó en la pizarra y prosiguió...
Mire, profe.
Podemos imaginarnos que i, j y k son los vectores I, J y K de una base canónica de un espacio vectorial tridimensional por lo que el cuaternio del ejemplo anterior sería algo así como v + V, donde v sería el número real 3 y V el "vector imaginario" ( 5, −4, 7 ) .
Le dejé proseguir con su imaginación y su falta de rigor...
La suma de dos cuaternios no tiene ningún misterio: (v+V) + (w+W)= (v+w) + (V+W) . (Solo hay que sumar los números por un lado y los vectores por otro.) Tampoco tiene misterios el producto de un escalar real por un cuaternio: u · (v + V) = u v + u V . Así, si la parte real fuera 0, tenemos el espacio vectorial tridimensional que mencioné antes: el de los cuaternios imaginarios puros.
Sin embargo el misterioso producto de cuaternios ha de seguir las reglas de los rotores básicos:
i·i = j·j = k·k = −1 i·j = − j·i = 1·k = k j·k = − k·j = 1·i = i k·i = − i·k = 1·j = j
¿Se da cuenta? El producto de los rotores básicos unas veces funciona como el producto de números complejos y otras como el producto vectorial de vectores... ( I×J = K )
Le pedí que no siguiera... Para que pudiéramos seguirlo habría que practicar... ¡Venga!
( 3 + (5, −4, 7) ) · ( 2 + (1, 6, 8) ) = ¿?
SOLUCIÓN
Nina Guindilla escribió así los cuaternios: ( 3 + 5i − 4j + 7k ) · ( 2 + i + 6j + 8k )
Mire, profe.
Para la parte real tenemos 3·2 + 5i·i − 4j·6j + 7k·8k = 6 − 5 + 24 − 56 = −31 .
Para el rotor básico i, 3·i + 5i·2 − 4j·8k + 7k·6j = (3+10−32−42)i = −63i .
Para el rotor básico j, 3·6j − 4j·2 + 5i·8k + 7k·i = (18−8−40+7)j = −23j .
Y para el rotor básico k, 3·8k + 7k·2 +5i·6j − 4j·i = (24+14+30+4)k = 72k .
Por lo tanto el producto es −31 −63i −23j +72k = −31 + (−63, −23, 72)
Teniendo en cuenta que ni el producto de cuaternios ni el producto de matrices poseen la propiedad conmutativa, se podría escribir la solución (con mucho cuidado) de la siguiente manera:
El ejemplo estaba resuelto, ahora faltaba una fórmula general para el producto...
RESOLUCIÓN
Yoyo Gaviota tomó la palabra:
Mire, profe. Con el ejemplo que ha calculado Nina la fórmula está cantada...
(v+V) · (w+W) = (v w − V●W) + (vW + wV + V×W)
donde, para evitar confusiones, he utilizado ● para indicar el producto escalar y × para el producto vectorial...
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