1563. Fórmulas de adición (3.ª parte)

     Profe, mire cómo se pueden obtener el seno y el coseno de la suma de dos ánulos con los números complejos...

    Tomo dos giros consecutivos de ángulos A y B radianes y considero sus versores  cis A  y  cis B . Como  cis  es un antilogaritmo tendremos  cis (A+B) = cis A · cis B . ¿Lo ve? He matado dos pájaros de un tiro...

    ¿Quién explica lo que quiso decirme Pepe?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla nos aclaró lo sucedido...

    Mire, profe. Dejando de lado lo de matar pájaros..., resulta que para Z radianes

cos Z + i sen Z  =  cis Z  =  exp (iZ) 

que es el antilogaritmo neperiano (potencia de base e), por lo que

cos (A+B) + i sen (A+B)  =  cis (A+B)  =

=  exp (i (A+B))  =  exp (iA + iB)  =  exp (iA) · exp (iB)  =

=  cis A · cis B  =  (cos A + i sen A) · (cos B + i sen B)  =

=  (cos A · cos B − sen A · sen B) + i (sen A · cos B + cos A · sen B) 

y separando la parte real de la parte imaginaria tenemos las fórmulas de adición.

    Bien hecho y dicho. Nina añadió que con  cis  se podía escribir la fórmula de De Moivre así:  cis (nZ) = (cis Z) ⁿ . 

    Y yo propuse como ejercicio las fórmulas para  sen (A+B+C)  y  cos (A+B+C) ...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota calculó las fórmulas con  cis :

    Profe, mire.

cos (A+B+C) + i sen (A+B+C)  =

=  cis (A+B+C)  =  cis A · cis B · cis C  =

=  (cos A + i sen A) · (cos B + i sen B) · (cos C + i sen C)  =

=  (cos A cos B cos C − sen A sen B cos C − sen A cos B sen C − cos A sen B sen C) +

+ i (sen A cos B cos C + cos A sen B cos C + cosA cos B sen C − sen A sen B sen C)