1639. Carrusel de cuádricas.

     Pepe Chapuzas me regaló un tiovivo en miniatura que giraba y todo. No os podéis imaginar qué cosas estaban dando vueltas montadas en él: las cuádricas...

    Profe, mire. Las cónicas son muy sosas y solo hay de tres tipos: las cerradas (elipses y circunferencias), las abiertas de una rama (parábolas) y las de dos ramas (hipérbolas). La familia de las cuádricas es mucho más interesante... Mire cómo se divierten en el carrusel...

    Le recordé a Pepe que, las cónicas y las cuádricas eran, le gustara o no, parientes.

    Busca qué son las cuádricas y nos lo cuentas.

SOLUCIÓN

    Mire, profe. Las cuádricas son superficies curvas emparentadas con las cónicas, que son líneas curvas. El parentesco entre las dos familias se conoce porque ambas responden a ecuaciones de segundo grado... En el carrusel de Pepe veo un elipsoide naranja, un hiperboloide hiperbólico verde, un cono rosa y un paraboloide elíptico azul. Estarán esperando en la cola un hiperboloide elíptico, un cilindro elíptico, un cilindro hiperbólico, un cilindro parabólico y un paraboloide hiperbólico.

    Nina Guindilla encontró finalmente estas cuádricas... En total nueve miembros.

    Nina comentó que las cuádricas podían ser de revolución pero que eran solo casos particulares...

    Profe, la esfera no es más que un elipsoide que salió redondo... Es la "perfecta" de la familia...

    Al igual que las cónicas, las cuádricas tienen ecuaciones reducidas. ¡Búscalas!

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota las trajo al día siguiente:

    Mire, profe...

    El elipsoide:  x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1 .

    El hiperboloide elíptico:  x²/a² + y²/b² − z²/c² = 1 .

    El hiperboloide hiperbólico:  x²/a² + y²/b² − z²/c² = −1 .

    El paraboloide elíptico:  x²/a² + y²/b² − z = 0 .

    El paraboloide hiperbólico:  x²/a² − y²/b² − z = 0 .

    El cono:  x²/a² + y²/b² − z²/c² = 0 .

    El cilindro elíptico:  x²/a² + y²/b² = 1 .

    El cilindro hiperbólico:  x²/a² − y²/b² = 1 .

    El cilindro parabólico:  x²/a² − y = 0 .

    Yoyó no se despidió sin mostrarnos la ecuación de la esfera.

    Profe, mire. En el "elipsoide redondo" se tiene que a=b=c.

    La esfera:  x²/a² + y²/a² + z²/a² = 1 , o mejor  x² + y² + z² = a² , donde a es el radio...

    En las otras cuádricas de revolución (respecto del eje z) se tiene que a=b, en elipsoides (esferoides), hiperboloides elípticos, hiperboloides hiperbólicos, paraboloides elípticos, conos y cilindros elípticos.

1638. Inversiones arriesgadas...

     Se estaba discutiendo sobre la naturaleza de 1/0, esto es, el inverso de cero. Unos afirmaban que era infinito y otros que era una indeterminación... Pepe Chapuza pensó en los límites... y se extralimitó...

    Mire, profe. Todo depende de cómo me acerque a 0... Si me acerco por la derecha el resultado es +∞, pero si lo hago por la izquierda entonces nos sale −∞. Pero también puedo acercarme de una forma más divertida: {+0,1; −0,01; +0,001; −0,0001; ...} y entonces la cosa se complica... Y si estamos en el plano complejo, nos podemos acercar a 0 por arriba, por abajo... y hasta en espiral, jugando al despiste...

    Curiosamente, en el plano complejo extendido el resultado es menos complejo: 1/0 = ∞. Aquí. el inverso de cero es infinito (sin signo)... Así que el plano complejo extendido es el "terreno" ideal para "invertir".

    Recordé que el plano complejo extendido consistía en añadir ∞ al conjunto de números complejos... No olvidemos que 1/∞ = 0..., o, como diría Pepe..., el inverso de infinito es cero.

    Investiga cómo se invierten las rectas en el plano complejo extendido...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla distinguió dos casos según la recta pasara o no por 0... Trabajó en forma trigonométrica: z = m cis θ, 1/z = 1/m cis −θ... Y utilizó la variable real ω ∈ (−π/2, π/2]...

    Profe, mire. En el plano complejo extendido todas las rectas pasan por el ∞, así que sus inversas pasan todas por el 0.

    a) Si la recta r con ángulo θ pasa por 0 será de la forma r ≡ {tgω cis θ}, por lo que al invertir nos quedaría 1/r ≡ {cotgω cis −θ} ≡ r̄. La inversa de la recta es su recta conjugada. El eje real y el eje imaginario se invierten es sí mismos...

    b) Si r no pasa por 0 y su punto de menor módulo es m cis θ, será r ≡ {m·secω cis θ+ω}, por lo que al invertir tenemos 1/r ≡ {1/m·cosω cis −θ−ω}, que es una circunferencia que pasa por 0. El diámetro de esta circunferencia es 1/m.

    Hay que advertir que tg(π/2) = sec(π/2) = ∞. No olvidemos el "terreno" donde estamos "invirtiendo"...

    Investiga ahora cómo se invierten las circunferencias...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota distinguió también dos casos...

    Mire, profe. La circunferencia c puede pasar o no por 0...

    a) Si c pasa por 0 y su punto de mayor módulo es M cis θ, será c ≡ {M·cosω cis θ+ω}, por lo que al invertir sale 1/c ≡ {1/M·secω cis −θ−ω}, que es una recta que dista 1/M de 0. Es el caso recíproco del apartado b) de Nina...

    b) Si c no pasa por 0 y si m cis θ y M cis θ son los puntos de menor y mayor módulo de c (si 0 es el centro y n es el radio de c tomamos m = −n, M = n y θ = 0), entonces para un punto z que recorre c se tiene que (M cis θ − z) / (m cis θ − z) = tgω cis π/2. Así, para los inversos...

(1/(M cis θ) − 1/z) / (1/(m cis θ) − 1/z) =

=  (z − M cis θ) / (z − m cis θ) · (m cis θ) / (M cis θ) =

= m/M·tgω cis π/2

por tanto, 1/c es otra circunferencia que tampoco pasa por 0 y cuyos puntos de menor y mayor módulo son 1/M cis −θ y 1/m cis −θ, respectivamente. La circunferencia unidad se invierte en sí misma y también las circunferencias con centro real si m·M = 1.

    Se deja al lector que compruebe los lugares geométricos...

1637. Tres planos en el espacio...

     Le había tocado a Pepe Chapuza dar la clase de la posición relativa de dos planos:

    Mire, profe. Es muy fácil saber cómo se encuentran dos planos en el espacio a partir de sus ecuaciones generales... Ambas ecuaciones forman un sistema que se puede escribir en forma matricial AX = B, donde A es la matriz (2x3) de coeficientes, X la matriz (3x1) de coordenadas y B la matriz (2x1) de términos independientes... Si A&B es la matriz (2x4) formada por las columnas de A y de B (matriz ampliada), tenemos tres posibilidades... (Vamos a utilizar el teorema de Rouché...)

    a) Si rg(A) = rg(A&B) = 1, el sistema es compatible con indeterminación de grado 2: los dos planos son coincidentes, es decir, tenemos dos ecuaciones del mismo plano.

    b) Si rg(A) = 1 y rg(A&B) = 2, el sistema es incompatible: los dos planos son paralelos y no tienen ningún punto en común.

    c) Si rg(A) = rg(A&B) = 2, el sistema es compatible con indeterminación de grado 1: los dos planos son secantes y su intersección es una recta.

    Podemos hacer una tabla:

    Los rangos de A y de A&B se calculan a simple vista: cuando el rango es 1 las filas son proporcionales... Si rg(A)=1, los vectores normales de los planos son paralelos; y si rg(A&B)=1, las ecuaciones de los planos son equivalentes...

    Estamos en condiciones para preparar la siguiente clase: la posición relativa de tres planos.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla empezó la clase:

    Profe, mire. Ahora las tres ecuaciones forman un sistema cuadrado AX = B, donde las matrices A, X y B son de dimensiones 3x3, 3x1 y 3x1, respectivamente. Por tanto la dimensión de A&B es 3x4... El caso es que hay ocho posiciones relativas de tres planos en el espacio pero solo hay cinco posibilidades con los rangos de A y A&B ya que la diferencia entre estos rangos es 0 o 1... Para distinguir todos los casos hay que recurrir a la proporcionalidad de las filas (que según Pepe se ve a simple vista) y es como si estudiáramos la posición de los planos por parejas. En la siguiente tabla se indica con un asterisco la ausencia de proporcionalidad de filas:

    La siguiente clase es de la posición relativa de dos rectas en el espacio... ¿Quién la prepara?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota dio la clase:

    Mire, profe. Si partimos de las ecuaciones paramétricas de las rectas tenemos un sistema. Podemos eliminar las coordenadas mediante igualación y nos queda AΛ=B, donde A es la matriz (3x2) de coeficientes, Λ es la matriz (2x1) de parámetros y B es la matriz (3x1) de términos independientes. A&B es de dimensión 3x3... Tenemos cuatro casos como se observa en la siguiente tabla:

    Ahora, rg(A)=1 indica que los vectores directores de las rectas son paralelos...

    Remarqué el hecho de que en la geometría espacio había una posibilidad que no ocurría en la geometría del plano, ¿verdad?

1636. El quinto postulado

     Estaba hablando de Euclides, el padre de la geometría, y de su obra Los Elementos. Decía que Euclides partía de cinco postulados (o axiomas) y a partir de ellos construía la geometría utilizando la lógica. Y comentaba que el quinto postulado, el de las paralelas, ha traído de cabeza a muchos matemáticos de muchos siglos... Unos porque quisieron "demostrarlo" y otros porque quisieron "negarlo"... Dejé que mis alumnos buscaran información... Pepe Chapuza encontró esto:

    Mire, profe. El quinto postulado afirmaba que en un plano, dados una recta r y un punto P que no fuera de r, había una única recta s que pasara por P y que no cortara a r.

    Esto era evidente: la paralela. ¿Merecía ser un postulado? El caso es que los que quisieron demostrarlo "fracasaron" y los que lo negaron "triunfaron"... Se construyeron geometrías distintas (no euclídeas) con un quinto postulado diferente. Si decimos que por P pasan más de una paralela a r tenemos la geometría hiperbólica y si decimos que por P no pasa ninguna paralela a r tenemos la geometría elíptica...

    Había que olvidarse de la evidencia... ¿Quién puede aportar a la clase más información?

SOLUCIÓN

    Mire, profe. La geometría hiperbólica también se denomina lobachevskiana y fue desarrollada por Gauss, Bolyai y Lobachevsky; la geometría elíptica también se denomina riemanniana y fue desarrollada por Cayley, Klein y Riemann.

    Nina Guindilla también nos reveló que en las geometrías no euclídeas no se cumple el teorema de Pitágoras... ¿Alguna otra cosa so se cumple en las geometrías no euclídeas?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota comento que muchas cosas son diferentes en las geometrías no euclídeas, por ejemplo, la suma de los ángulos de un triángulo...

    Mire, profe. En la geometría elíptica la suma es mayor que 180º: parece que los triángulos están hinchados; en la geometría hiperbólica la suma es menor que 180º: parece que los triángulos están pinchados... Jajaja...

1635. La dimensión fractal

     Profe, mire. La dimensión está relacionada con los exponentes... Me explico... Un cuadrado es de dimensión 2 y un cubo es de dimensión 3. Por eso en estas potencias los exponentes se leen así: al cuadrado y al cubo.

    Visto de otra manera, las dimensiones son logaritmos: en un cuadrado D = log₃ 9 = 2 y en un cubo D = log₃ 27 = 3. En un segmento sería D = log₃ 3 = 1 y en un punto D = log₃ 1 = 0.

    Mire cómo se obtiene el conjunto de Cantor... Dividimos un segmento en tres tercios, borramos el tercio central y quedan dos segmentitos... Dividimos ambos segmentos en tres tercios, borramos sendos tercios centrales y quedan cuatro segmentos... Y repetimos el proceso infinitas veces...

    ¿Se da cuenta? La dimensión del conjunto de Cantor sería D = log₃ 2 = 0,6309.

    ¡Pepe Chapuza había calculado una dimensión fractal! ¿Quién busca otro fractal y calcula su dimensión?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla nos mostró el fractal de Vicsek:

    Profe, mire. Dividimos un cuadrado en nueve novenos, suprimimos cuatro y quedan cinco cuadrados. Y repetimos el proceso indefinidamente. Por cierto, se puede suprimir los cuatro cuadrados de dos maneras diferentes para obtener el fractal de Vicsek:

    En cualquier caso, su dimensión fractal es D = log₃ 5 = 1,4650.

    ¿Algún fractal más?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota explicó la esponja de Menger. 

    Mire, profe. Si en un cubo de Rubik suprimimos 7 cubitos (el cubito interior y los cubitos centrales de las 6 caras) y repetimos el proceso con los 20 cubitos que quedan, y así indefinidamente, conseguimos un fractal llamado esponja de Menger. Su dimensión fractal es D = log₃ 20 = 2,7268.

    Profe, mire. No es fácil visualizar una esponja de Menger, pero sus caras (bases y lados) son alfombras de Sierpiński: dividimos un cuadrado en nueve cuadraditos, suprimimos el central y repetimos el proceso con los que quedan indefinidamente...

    La dimensión fractal de la alfombra de Sierpiński es D = log₃ 8 = 1,8928.

1634. De cuarto grado

     Cuando entré en clase me encontré en la pizarra dos polinomios de cuarto grado:

 

P(x) = 2x⁴+7x³+x²−9x+C

Q(x) = 2x⁴+2x³−9x²−4x+C

 

    El autor, evidentemente, era Pepe Chapuza...

    Profe, mire. Hay que encontrar las raíces de estos dos polinomios... Las únicas pistas que doy es que dos de esas raíces son comunes y que la constante C no es 0.

    Dejé de lado lo que tenía programado porque el problema de Pepe era más interesante...

SOLUCIÓN

    No tardó Nina Guindilla en encontrar las raíces comunes...

    Profe, mire. Las raíces comunes de P(x) y Q(x) son también raíces de

 

P(x)−Q(x) = 5x³+10x²−5x = 5x(x²+2x−1)

    Como el término independiente C≠0, entonces x=0 no es una raíz ni de P(x) ni de Q(x), y las raíces comunes serán x = −1 ± √2.

    Ahora había que hallar las raíces no comunes...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota ya lo tenía fácil...

    Profe, mire. El polinomio P(x) es divisible entre x²+2x−1, así que divido... 

    Así tenemos que C=3 y que sus raíces no comunes son x = −3/4 ± √33/4.

    Yoyó también calculó las raíces de Q(x) que faltaban... ¿Quiere calcularlas también el lector?

1633. Un piano averiado

     Pepe chapuzas estaba canturreando una melodía que no reconocíamos. Preguntado acerca de la musiquilla respondió que tenía un piano averiado...

    Mire, profe. Las teclas negras no funcionan y al tocar las teclas blancas (de izquierda a derecha) pasa esto: la primera tecla blanca es un do y suena, la siguiente no suena, la siguiente sí, las dos siguientes no, la siguiente sí, las tres siguientes no, la siguiente sí, las cuatro siguientes no, y así sucesivamente... ¿Cuáles de las siete notas musicales no suenan nunca en mi piano?

 

    Un compañero dijo que eso podía depender del número de teclas del piano, porque en un piano con muchas teclas sonarían más notas que en uno con pocas... Entonces Pepe precisó..

    Mire, profe. Mi piano tiene infinitas teclas...

    ¡A tocar el piano!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla no necesitaba tocar ningún piano ni canturrear ninguna melodía...

    Profe, mire. Cada ocho teclas blancas suena la misma nota (en distinta octava), así que tarde o temprano se repite la misma secuencia de notas..., solo tengo que descubrir el ciclo...

    Helo aquí: do, mi, la, mi, do, si y si; las notas que jamás suenan son re, fa y sol.

    Era un problema de congruencias modulares... Así que propuse un problema similar pero con un reloj averiado. Se puso en marcha a la 1 y dio la campanada, a la siguiente hora no dio campanadas, a la siguiente sí, a las dos siguientes no, a la siguiente sí, y así como las teclas del piano. ¿A qué horas no sonarían nunca las campanadas?

    ¡Dadle cuerda al reloj!

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota no necesitaba escuchar las campanadas...

    Mire, profe. Veamos la secuencia cíclica de horas que suenan...

1, 3, 6, 10, 3, 9, 4, 12, 9, 7, 6, 6, 7, 9, 12, 4, 9, 3, 10, 6, 3, 1, 12 y 12

    Jamás escucharemos las campanadas de las dos, de las cinco, de las ocho ni de las once...

1632. Integración compleja

     Profe, mire. Hemos aprendido que la integral indefinida es el conjunto de primitivas de una función... (F es una primitiva de f si f es la derivada de F). Y entre las primitivas inmediatas me llamó la atención la de la función f(x) = xⁿ (la potencia n-ésima): la fórmula de la derivada de la potencia n-ésima (f '(x) = n xⁿ⁻¹) nos permitiría obtener la de la primitiva si no fuera por una célebre excepción...

    Sin embargo, profe, para la excepción n = −1 hay primitivas que no están contempladas aquí... Por ejemplo:

    ¡Menuda chapuza! Está claro que F '(x) = 1/x pero en F(x) no hay una constante C sino dos diferentes: una a cada lado de la discontinuidad... Y eso les ocurre a otras funciones discontinuas...

    Había llegado peleón a clase Pepe Chapuza... Entonces comenté a toda la clase que si en los números reales no se podía ir de x = −1 a x = +1 sin pasar por x = 0 (donde se hallaba la discontinuidad) con los números complejos se podía dar un rodeo... aunque anduviéramos sobre números imaginarios...

    Y que incluso se podía dar una vuelta alrededor de la discontinuidad y regresar al punto de partida... Así que propuse investigar la integral de la potencia n-ésima xⁿ desde x = +1 hasta volver a x = +1 alrededor del círculo de centro x = 0 y radio r = 1 del plano complejo en sentido antihorario,.. Así nos asomábamos un poco a la integración compleja...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla empezó poniendo un poco de orden...

    Profe, mire. En el plano complejo se acostumbra a usar la letra z para la variable independiente... Los puntos de la circunferencia unidad en el plano complejo, recorridos en sentido positivo, son de la forma  z = e^it con 0 ≤ t ≤ 2π, puesto que  e^it = cos t + i sen t ; así que la integral se puede resolver mediante un cambio de variable... Se escribe así:

∮_C zⁿ dz = ʃ ₀^2π e^itn ie^it dt = ʃ ₀^2π ie^it(n+1) dt = (e^2πi(n+1)−1) / (n+1) = (1−1)/(n+1) = 0

    Nos hemos topado de nuevo con la excepción... Tiene que ser n ≠ −1. ¿Qué pasa en el caso de que n = −1?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota dio el asombroso e importantísimo resultado...

    Mire, profe. Si n = −1,  ʃ ₀^2π ie^it(n+1) dt = ʃ ₀^2π i dt = 2πi

1631. Sorpresas bajo la campana...

     Ya sabíamos que la campana de Gauss representaba la función de densidad de una distribución normal N(μ, σ) y que un área bajo la campana nos proporciona la probabilidad correspondiente a un conjunto de valores de la variable. Por ejemplo, P(μ<x<μ+σ) = 0,34134, que se puede calcular con la tabla de la normal estándar. (Están en x=μ el máximo y en x=μ±σ los puntos de inflexión de la campana.) A Pepe Chapuza se le ocurrió lo siguiente...

    Profe, mire. Hay muchas funciones que tienen una gráfica acampanada. Por ejemplo:

    ¿Cuánto mide el área bajo esta campana entre el máximo y el punto de inflexión de la derecha?

    ¡Tocad la campana! Os espera una sorpresa...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla empezó ubicando el máximo y los puntos de inflexión de f... 

    Profe, mire. En el máximo se anula la primera derivada y en los puntos de inflexión se anula la segunda derivada...

f (x) = (1+x²)⁻¹

f ' (x) = −2x (1+x²)⁻²

f " (x) = −2 (1+x²)⁻² + 8x² (1+x²)⁻³

    Obviamente, f ' se anula en x= 0. Y f " se anula si...

−2 (1+x²) + 8x² = 0

6x² −2 = 0

x = ±√3/3

    El área buscada es la del trapecio mixtilíneo...

ʃ ₀^√3/3 f(x) dx = arctg(√3/3) − arctg(0) = π/6

    ¡Qué sorpresa! ¡Bajo esta campana se encuentra π! 

    Adelanté que otra sorpresa aguardaba bajo la campana 1/√(1+x²) para 0<x<1/2. ¡A tocar la campana!

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota comentó que era una integral inmediata si se había visto antes la derivada de la función argsenh (argumento del seno hiperbólico)... 

ʃ ₀^1/2 g(x) dx = argsenh(1/2) − argsenh(0) = ln(1/2+√(1+1/4)) = ln(1/2+√5/2) = ln(φ)

   ¡Vaya sorpresa, profe! ¡Bajo esta campana está la razón áurea φ! ¡Es una campana de oro!

    Terminó Yoyó recordando la recíproca del seno hiperbólico...  Se deja al lector las recíprocas de las demás funciones hiperbólicas...

    Mire, profe. Si...

y = argsenh(x)

x = senh(y) = (e^y−e^−y)/2 = (e^2y−1)/(2e^y)

e^2y−2xe^y−1 = 0

e^y = x+√(1+x²)

y = ln(x+√(1+x²))