Profe, mire. La dimensión está relacionada con los exponentes... Me explico... Un cuadrado es de dimensión 2 y un cubo es de dimensión 3. Por eso en estas potencias los exponentes se leen así: al cuadrado y al cubo.
Visto de otra manera, las dimensiones son logaritmos: en un cuadrado D = log3 9
= 2 y en un cubo D = log3 27 = 3. En un segmento sería D = log3 3 = 1 y en un punto D = log3 1 = 0.
Mire cómo se obtiene el conjunto de Cantor... Dividimos un segmento en tres tercios, borramos el tercio central y quedan dos segmentitos... Dividimos ambos segmentos en tres tercios, borramos sendos tercios centrales y quedan cuatro segmentos... Y repetimos el proceso infinitas veces...
¿Se da cuenta? La dimensión del conjunto de Cantor sería D = log3 2 = 0,6309.
¡Pepe Chapuza había calculado una dimensión fractal! ¿Quién busca otro fractal y calcula su dimensión?
SOLUCIÓN
Nina Guindilla nos mostró el fractal de Vicsek:
Profe, mire. Dividimos un cuadrado en nueve novenos, suprimimos cuatro y quedan cinco cuadrados. Y repetimos el proceso indefinidamente. Por cierto, se puede suprimir los cuatro cuadrados de dos maneras diferentes para obtener el fractal de Vicsek:
En cualquier caso, su dimensión fractal es D = log3 5 = 1,4650.
¿Algún fractal más?
RESOLUCIÓN
Yoyó Gaviota explicó la esponja de Menger.
Mire, profe. Si en un cubo de Rubik suprimimos 7 cubitos (el cubito interior y los cubitos centrales de las 6 caras) y repetimos el proceso con los 20 cubitos que quedan, y así indefinidamente, conseguimos un fractal llamado esponja de Menger. Su dimensión fractal es D = log3 20 = 2,7268.
Profe, mire. No es fácil visualizar una esponja de Menger, pero sus caras (bases y lados) son alfombras de Sierpiński: dividimos un cuadrado en nueve cuadraditos, suprimimos el central y repetimos el proceso con los que quedan indefinidamente...
La dimensión fractal de la alfombra de Sierpiński es D = log3 8 = 1,8928.
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