Mire, profe. Sea ABC un triángulo, G su baricentro y D y E los simétricos de A y B respecto de G. Calcula la excentricidad de la cónica que pasa por A, B, C, D y E.
Pepe Chapuzas sabía que cinco puntos determinaban una cónica... Lo que pedía parecía bastante complicado...
Pepe dio como datos A (–10, 1) , B (2, –5) y C (2, 10) . ¿Te animas?
SOLUCIÓN
Nina Guindilla comentó que con complejos no era tan complejo... Se refería a los números complejos, claro...
Profe, mire:
A = –10 + i B = 2 – 5i C = 2 + 10i
G = (A+B+C)/3 = –2 + 2i
D = 2G – A = 6 + 3i E = 2G – B = –6 + 9i
Hay una afinidad que transforma el triángulo ABC en un triángulo equilátero A'B'C'... Esta afinidad transformará G en G' (el baricentro de A'B'C') y D y E en D' y E' (los simétricos de A' y B' respecto de G')... Hay una circunferencia con centro en G' que pasa por A', B', C', D' y E' (cinco de los seis vértices de una estrella de David).
Tal circunferencia se transformará mediante la recíproca de esa afinidad en una elipse con centro en G y que pasaría por A, B, C, D y E. Esa elipse es la cónica cuya excentricidad buscamos... Esa elipse es la circunelipse de Steiner del triángulo ABC...
Nina iba en serio...
El triángulo ABC es el triángulo medial del triángulo UVW donde
U = B+C–A = 14 + 4i V = A+C–B = –10 + 16i W = A+B–C = –10 – 14i
La circunelipse de Steiner de ABC es la inelipse de Steiner de UVW...
Perdonamos a Nina la chapuza de dibujo:
Por el teorema de Marden los focos P y Q de esta elipse son los puntos críticos del polinomio complejo
p(z) = (z–U)(z–V)(z–W) =
= z3 – (U+V+W) z2 + (UV+UW+VW) z – UVW =
= z3 + (6–6i) z2 + (36–72i) z + (–4616–1016i)
que derivando...
p'(z) = 3 z2 + (12–12i) z + (36–72i)
y anulando...
3 z2 + (12–12i) z + (36–72i) = 0
y simplificando...
z2 + (4–4i) z + (12–24i) = 0
y ajustando...
(z + 2 – 2i)2 – (2–2i)2 + (12–24i) = 0
(z + 2 – 2i)2 = –12 + 16i
(z + 2 – 2i)2 = 4 + 16i + 16i2
(z + 2 – 2i)2 = (2+4i)2
Los focos son...
P + 2 – 2i = 2 + 4i ==> P = 6i
Q + 2 – 2i = – 2 – 4i ==> Q = – 4 – 2i
Nina iba muy en serio...
Mire, profe. La distancia focal es
2c = |Q–P| = |–4–8i| = √80 = 4√5
Para calcular el eje mayor nos sirve A, B, C, D o E.
2a = |A–P| + |A–Q| = |–10–5i| + |–6+3i| = √125 + √45 = 8√5
Y la excentricidad de la elipse es... c/a = 1/2 .
Nina iba realmente muy en serio...
Para rematar la faena... ¿Quién quiere calcular la ecuación general de esta elipse?
RESOLUCIÓN
Yoyó Peluso prefería navegar por la realidad del plano real a volar por la complejidad del plano complejo... La ecuación general de una cónica era
px2 + qy2 + rxy + sx + ty + u = 0
Yoyó tenía las coordenadas de cinco puntos de la cónica... ¡pero no iba a plantear un sistema homogéneo de cinco ecuaciones con seis incógnitas!
Mire, profe. Los focos de la elipse son P (0,6) y Q (–4,–2), y el eje mayor mide 2a = 8√5 , por lo tanto, la ecuación de la elipse será (llamando Z (x,y) a un punto genérico de la elipse):
dist (P, Z) + dist (Q, Z) = 2a
√( x2 + (y–6)2 ) + √( (x+4)2 + (y+2)2 )
= 8√5
√( x2 + y2 –12y +36 ) = 8√5 – √( x2 + 8x + 16 + y2 + 4y + 4 )
x2 + y2 –12y +36 = 320 + x2 + 8x + 16 + y2 + 4y + 4 – 16√5 √( x2 + 8x + 16 + y2 + 4y + 4 )
16√5 √( x2 + y2 + 8 x + 4 y + 20 ) = 8 x + 16 y + 304
2√5 √( x2 + y2 + 8 x + 4 y + 20 ) = x + 2 y + 38
20 x2 + 20 y2 + 160 x + 80 y + 400 = x2 + 4 y2 +4 xy + 76 x + 152 y + 1444
19x2 + 16 y2 – 4 xy + 84 x – 72 y – 1044 = 0
Yoyó no había acabado...
Profe, mire. Sin los focos se podía haber hecho de otra manera:
La recta que pasa por A(–10,1) y B(2,–5): x + 2y + 8 = 0
La recta que pasa por C(2,10) y D(6,3): 7x + 4y – 54 = 0
La recta que pasa por A(–10,1) y C(2,10): 3x – 4y + 34 = 0
La recta que pasa por B(2,–5) y D(6,3): 2x – y – 9 = 0
La cónica que pasa por A, B, C, D... y por E(–6,9):
m (x + 2y + 8) (7x + 4y – 54) + n (3x – 4y + 34) (2x – y – 9) = 0
cumplirá
m (–6 + 2·9 + 8) (7·(–6) + 4·9 – 54) + n (3·(–6) – 4·9 + 34) (2·(–6) – 9 – 9) = 0
– 120 m + 60 n = 0
n = 2m
y para m=1 y n=2
(x + 2y + 8) (7x + 4y – 54) + 2 (3x – 4y + 34) (2x – y – 9) = 0
19x2 + 16 y2 – 4 xy + 84 x – 72 y – 1044 = 0
Queda para el lector la justificación de todos los pasos...
