Había planteado tres cuestiones no tan inocentes como aparentaban...
¿Cuántos puntos comunes tienen dos rectas (no coincidentes)?
¿Cuántos puntos comunes tienen una recta y una circunferencia?
¿Cuántos puntos comunes tienen dos circunferencias (no coincidentes)?
Pepe Chapuzas nos habló de las intersecciones...
Mire, profe.
Dos rectas no tienen intersección si son paralelas, en caso contrario son secantes y tienen un punto de corte.
Un punto y una recta pueden tener 0, 1 o 2 puntos de intersección según su posición relativa y se denominan exteriores, tangentes o secantes respectivamente.
Exactamente lo mismo podemos decir de dos circunferencias: pueden tener 0, 1 o 2 puntos comunes...
Le contesté a Pepe que su respuesta era demasiado... "trivial". La respuesta que se pedía dependía del "medio ambiente geométrico"...
Danos tu opinión...
SOLUCIÓN
Nina Guindilla razonaba bien con coordenadas y ecuaciones...
Mire, profe. Los matemáticos son personas raras. No les gusta distinguir casos, no les gustan las excepciones... Se divierten diciendo que dos rectas diferentes siempre tienen un punto común en el plano proyectivo... O que una recta y una circunferencia siempre se cortan aunque sea en puntos imaginarios...
El plano proyectivo se puede considerar como el plano euclídeo al que se le ha añadido una recta ideal en el infinito (horizonte o línea de tierra) formada por infinitos puntos ideales (puntos en el infinito o puntos de fuga)... En el plano proyectivo un punto tiene tres coordenadas homogéneas P(X, Y, Z) lo que quiere decir que estas no son únicas para tal punto ya que también valen P(kX, kY. kZ) si k ≠ 0. Los puntos en el infinito del plano proyectivo tienen Z = 0. Los demás puntos (con Z ≠ 0) son del plano euclídeo y tienen coordenadas cartesianas P(X/Z, Y/Z) .
Dos rectas paralelas del plano euclídeo...
r : ax + by + c = 0
s : ax + by + d = 0
se podrían escribir
r : aX/Z + bY/Z + c = 0
s : aX/Z + bY/Z + d = 0
y tendrían estas ecuaciones proyectivas homogéneas...
r : aX + bY + cZ = 0
s : aX + bY + dZ = 0
que cortan a la recta del infinito w : Z = 0 en el punto que cumple aX + bY = 0 esto es, en el punto ideal W(–b, a, 0) . Así, las rectas paralelas r y s se cortan en el punto W . La respuesta a la primera pregunta ahora sería: dos rectas (no coincidentes) siempre tienen un punto común.
En el caso de una recta y una circunferencia...
r : ax + by + c = 0
q : (x–d)2 + (y–e)2 + f = 0
tenemos una ecuación de segundo grado que tendrá 0, 1 o 2 soluciones dependiendo de si el discriminante es negativo, nulo o positivo... Pero si admitimos coordenadas complejas, entonces siempre hay dos soluciones, ya sean reales o imaginarias, distintas o coincidentes (dobles). La respuesta a la segunda pregunta ahora sería: una recta y una circunferencia siempre tienen dos puntos comunes.
Nina se había adentrado en geometrías diferentes... Quedaba por resolver la tercera pregunta... ¿Qué pasa con dos circunferencias?
RESOLUCIÓN
Yoyó Peluso unió las dos geometrías que había utilizado Nina (añadiendo puntos ideales y puntos imaginarios y admitiendo coordenadas homogéneas complejas) para responder a la tercera pregunta... ¿Cuántos puntos comunes tenían dos circunferencias (no coincidentes)?
p : (x–a)2 + (y–b)2 + c = 0
q : (x–d)2 + (y–e)2 + f = 0
Mire, profe. Las circunferencias son cónicas... y dos cónicas (no coincidentes) pueden tener hasta cuatro puntos de corte...
Si queremos evitar excepciones... ¿qué cuatro puntos de corte pueden tener dos circunferencias no coincidentes?
Veamos. Si restamos las ecuaciones de p y q ...
(x–a)2 + (y–b)2 + c – (x–d)2 – (y–e)2 – f = 0
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 + c – x2 + 2dx – d2 – y2 + 2ey – e2 – f = 0
(2d–2a) x + (2e–2b) y + (a2 + b2 + c – d2 – e2 – f) = 0
obtenemos la ecuación de una recta (el eje radical). Esta recta corta a cada circunferencia en dos puntos (como expuso Nina)... Y son puntos comunes a las dos circunferencias... ¡Ya tenemos dos puntos comunes! ¿Dónde estarán los otros dos?
Para pasar a coordenadas homogéneas, las ecuaciones de las circunferencias quedarían
p : (X/Z–a)2 + (Y/Z–b)2 + c = 0
q : (X/Z–d)2 + (Y/Z–e)2 + f = 0
y por tanto
p : (X–aZ)2 + (Y–bZ)2 + cZ2 = 0
q : (X–dZ)2 + (Y–eZ)2 + fZ2 = 0
La intersección de las circunferencias con la recta del infinito Z = 0 son puntos que tienen que satisfacer X2 + Y2 = 0 , esto es, los puntos ideales imaginarios U(i, 1, 0) y V(–i, 1, 0) . ¡Estos puntos son comunes a todas las circunferencias del plano y por eso se llaman puntos cíclicos! Y por tanto son los otros dos puntos comunes... ¡Dos circunferencias no coincidentes tienen siempre 4 puntos comunes en esta geometría!
Solo añadí que si las circunferencias son concéntricas, entonces el eje radical es la recta ideal del infinito y los puntos cíclicos son puntos comunes dobles...
Por otro lado Yoyó todavía nos sorprendió...
Mire, profe. Una recta que pase por un punto cíclico es ¡perpendicular a sí misma! Mire, la recta t : x – iy + c = 0 tiene vector director u = (i, 1) y pasa por el punto cíclico U(i, 1, 0). Y el producto escalar v · v = (i, 1)·(i, 1) = i·i + 1·1 = –1+1 = 0 . ¡Una recta autoperpendicular!
(En realidad se denomina recta isótropa.)
