Pepe Chapuzas es un "trapecista": hace acrobacias con el trapecio. Esta mañana trajo este problema:
No se necesitan más datos... (El dibujo no es muy realista.)
SOLUCIÓN
Nina Guindilla lo resolvió de la siguiente manera...
Mire, profe.
La raíz cuadrada de 4 es 2.
La raíz cuadrada de 9 es 3.
La suma de 2 y 3 es 5.
El cuadrado de 5 es 25.
Esta es la solución: el área del trapecio es 25.
Nina había utilizado una fórmula que permitía calcular el área de un trapecio a partir de las áreas de los triángulos que las diagonales forman con las bases...
Ahora tocaba demostrarla...
RESOLUCIÓN
Yoyó Peluso demostró en primer lugar que los otros dos triángulos "C" y "D" tenían la misma área:
Mire, profe. Los triángulos "C+B" y "D+B" tienen la misma área porque tienen la misma base y la misma altura, por lo tanto, los triángulos "C" y "D" tienen la misma área. O sea...
C = D
A continuación demostró que C es la media proporcional de A y B .
Mire, profe. Consideremos la diagonal que separa "A+D" de "C+B" ... Como los triángulos "A" y "D" tienen la misma altura sobre la diagonal, esas áreas A y D serán proporcionales a los lados sobre la diagonal. Lo mismo podemos decir de las áreas de "C" y "B" y como los lados sobre la diagonal son comunes, tenemos...
A/C = D/B
Esto se cumple en cualquier cuadrilátero... pero aquí y ahora, con trapecios...
A·B = C·D = C·C = C2
C = √(A·B)
Lo que quedaba era sencillo...
Mire, profe. El área del trapecio será
A + B + C + D = A + B + 2√(A·B) = ( √A + √B )2
Si E es el área del trapecio, me gusta más la fórmula así:
√A + √B = √E
Aunque en realidad, profe. El problema de Pepe Chapuzas yo lo resolví de otra manera...
Como los triángulos "A" y "B" son semejantes y sus áreas miden 4 y 9 respectivamente, la razón de semejanza entre ellos será
√(B/A) = √(9/4) = 3/2 = 1,5
Y el área del trapecio medirá
(base + BASE) · (altura + ALTURA) / 2 =
= (base + 1,5 · base) · (altura + 1,5 · altura) / 2 =
= 2,5 · base · 2,5 · altura / 2 =
= 2,52 · base · altura / 2 =
= 2,52 · 4 =
= 25
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