jueves, 3 de noviembre de 2016

677. Porismas... RESOLUCIÓN

    Había mandado buscar a mis alumnos la definición de porisma. Tenían que encontrar además ejemplos. Pepe Chapuzas trajo la siguiente definición:

    Un porisma es un teorema que afirma, sobre cierto problema, que si se dan las condiciones para que exista una solución, entonces existen infinitas soluciones similares.

    Evidentemente necesitábamos ejemplos para entender esto...

    Mire, profe. El porisma de Steiner afirma que si una circunferencia es interior a otra circunferencia de modo que se puede encajar una cadena de circunferencias tantentes entre ellas, entonces existen infinitas cadenas de circunferencias tangentes que también se pueden encajar. Y todas estas cadenas tienen el mismo número de circunferencias... En el dibujo aparecen dos cadenas diferentes de 9 circunferencias encajadas entre las dos dadas...
    Busca otros porismas...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla encontró el porisma de Poncelet:
    Mire, profe. Si una circunferencia es interior a otra circunferencia de modo que podemos encajar un polígono circunscrito en la pequeña e inscrito en la grande (polígono bicéntrico), entonces existen infinitos polígonos (bicéntricos) encajados de la misma manera. Y todos estos polígonos (bicéntricos) tienen el mismo número de lados... En el dibujo se han representados tres triángulos entre las dos circunferencias dadas.
   
    En ambos porismas tiene que haber una relación entre los radios de las circunferencias iniciales, la distancia entre sus centros y el número de elementos encajados (circunferencias de las cadenas de Steiner o lados de los polígonos de Poncelet). ¿Qué relación? 

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. Si R es el radio de la circunferencia grande, r el de la pequeña y d es la distancia entre sus centros entonces tenemos para el porisma de Poncelet las siguientes relaciones con triángulos (teorema de Euler) y con cuadriláteros (teorema de Fuss)...

Teorema de Euler: 1/r = 1/(R+d) + 1/(R–d).             Teorema de Fuss: 1/r2 = 1/(R+d)2 + 1/(R–d)2.
    ¡Bonitos teoremas ha encontrado Yoyó Peluso! Solo tengo que matizar que hay muchos teoremas que reciben el nombre de Euler. Este es su teorema geométrico... 

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