668. De tercer grado (2ª parte). RESOLUCIÓN

    Mire, profe. Cuando quitamos las equis de un polinomio de tercer grado (para la regla de Ruffini por ejemplo) me queda un "polinomio desnudo", que es como un vector de dimensión 4 o una matriz de dimensión 1x4. Es una cuestión de comas, paréntesis... y de recordar que si el polinomio es incompleto hay que rellenar con ceros... (También se rellenaría con ceros con un polinomio de menor grado.)

ax³ + bx² + cx + d ---> (a, b, c, d) vector

ax³ + bx² + cx + d ---> (a  b  c  d) matriz

    De hecho, una combinación lineal de polinomios de grado menor o igual que 3 es un polinomio de grado menor o igual que 3... Los coeficientes de un polinomio serían sus coordenadas respecto de la base {x³, x², x, 1}... Para "vestir" de nuevo al "polinomio desnudo" solo tengo que restituir las equis (mediante el producto escalar o el producto matricial)...

producto escalar ---> (a, b, c, d)·(x³, x², x, 1)

producto matricial ---> (a  b  c  d)·(x³  x²  x  1)^T

    Cuando Pepe Chapuzas se pone a relacionar objetos matemáticos...
    Escribe las siguientes transformaciones (lineales) del polinomio P(x) = ax³ + bx² + cx + d como el producto de la matriz P = (a  b  c  d) por una matriz cuadrada de orden 4. (Si es preciso, habría que evitar las discontinuidades evitables...)

A(x) = 5·P(x)

B(x) = P(x+1)

C(x) = x³·P(1/x)

D(x) = P'(x)

E(x) = P(2)

F(x) = (P(x)–P(1)):(x–1)

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla escribió las soluciones como "polinomios desnudos"...

    Profe, mire. Cada fila de la matriz 4x4 de la transformación está formada por la transformación de cada elemento de la base...
    Por ejemplo, A = (5a 5b 5c 5d) y A(x) = 5ax³ + 5bx² + 5cx + 5d. 

    Del mismo modo se obtiene B, que se parece al triángulo de Pascal...

    Y C convierte (a  b  c  d) en (d  c  b  a)...

    La derivación también es una transformación lineal...

    El valor numérico es una constante...

    Y con F se obtiene un cociente incremental...

    Calcula las matrices 4x4 que nos dan los polinomios Q(x) y R(x), cociente y resto de la división de P(x) entre x²+1.

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso hizo primero la división...

    Y luego escribió las matrices correspondientes al cociente...

    Y al resto...

667. Las derivadas sucesivas. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas resolvió la derivada n-ésima de f(x) = 1/x:

    Mire, profe...

f(x) = 1/x

f'(x) = –1/x²

f''(x) = 2/x³

f'''(x) = –6/x⁴

f^[n](x) = cos(nπ)n!/xⁿ⁺¹ 

    (Obsérvese que cos(nπ) = (–1)ⁿ.)

    Demuestra por inducción la fórmula de esta derivada n-ésima.
    Busca una fórmula para la derivada n-ésima de g(x) = senx.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla comprobó que la fórmula valía para el caso n=0... (La derivada 0-ésima es la propia función: f(x) = cos(0π)·0!/x⁰⁺¹ = 1/x.)

    Mire, profe. Si f^[n–1](x) = cos((n–1)π)(n–1)!/xⁿ, entonces... 

f^[n](x) = (f^[n–1])'(x) =

= –n·cos((n–1)π)(n–1)!/xⁿ⁺¹ =

= cos(nπ)n!/xⁿ⁺¹

    Para la función g(x) tenemos un comportamiento cíclico:

g(x) = senx

g'(x) = cosx

g''(x) = – senx

g'''(x) = – cosx

g''''(x) = senx

    Por lo que la derivada n-ésima se puede escribir al estilo de Pepe Chapuzas... 

g^[n](x) = cos(nπ/2)senx + sen(nπ/2)cosx = sen(x+nπ/2).

    Encuentra una fórmula para la derivada n-ésima del producto de dos funciones: (f·g)^[n].

RESOLUCIÓN

    Siempre comento en clase la controversia sobre el descubrimiento del cálculo infinitesimal (Newton versus Leibniz)... Yoyó Peluso recordó esto cuando le sorprendió el paralelismo entre la fórmula de la derivada n-ésima del producto de dos funciones (Leibniz) y la del desarrollo de una potencia de un binomio (Newton)... 

    Mire, profe... 

(f·g)' = f'·g + f·g'

(f·g)'' = f''·g + 2·f'·g' + f·g"

(f·g)''' = f'''·g + 3·f''·g' + 3·f'·g'' + f·g'''

(f·g)'''' = f''''·g + 4·f'''·g' + 6·f''·g'' + 4·f'·g''' + f·g''''

666. De tercer grado. RESOLUCIÓN

    Propuse a mis alumnos estudiar el signo, la monotonía y la curvatura de un polinomio de tercer grado... Era muy sencillo porque solo había que derivar polinomios y resolver inecuaciones polinómicas sencillas... Cuando Pepe Chapuzas terminó el ejercicio propuso este mucho más interesante:

    Busca un polinomio de tercer grado con coeficientes enteros que tenga...

Una raíz en x = 4

Un extremo relativo en x = 2

Un punto de inflexión en x = 1

    Se puede hacer de diversas formas... y hay infinitas soluciones... Encuentra una.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla encontró la siguiente:

    Mire, profe. Si llamamos P(x) al polinomio, se tiene que P(4)=0, P'(2)=0 y P"(1)=0, y por lo tanto se puede calcular de la siguiente manera (como para obtener un polinomio de tercer grado integrando tres veces aparece el denominador 3! = 6, basta con añadir el factor 6 para que los coeficientes sean enteros):

    Estudia el signo, la monotonía y la curvatura de esta función.

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. Esto es como una comprobación de la solución de Nina. Tengo que averiguar los valores que anulan P(x) = x³–3x²–16, P'(x) = 3x²–6x = 3x(x–2) y P"(x) = 6x–6 = 6(x–1)... P"x) solo se anula en el dato del enunciado x = 1, P'(x) se anula en x = 0 además del dato del enunciado x=2 y P"(x) solo se anula en el dato del enunciado x = 4 porque (x³–3x²–16):(x–4) = x²+x+4 cuyo discriminante 1²–4·1·4 = –15 es negativo. (Esta división la he hecho con la regla de Ruffini.)

    En el siguiente diagrama estudio el signo de P, el signo de P' (monotonía de P) y el signo de P" (curvatura de P).

    Por tanto la función P... 
    Es positiva en (4, ∞), negativa en (–∞, 4) y nula en {4}.
    Es creciente en (–∞, 0) y (2, ∞), decreciente en (0, 2), y tiene un máximo relativo en {0} y un mínimo relativo en {2}.
    Es convexa en (–∞, 1) y cóncava en (1, ∞), y tiene un punto de inflexión en {1}.

665. Una batalla extraordinaria. RESOLUCIÓN

    Aquella batalla fue extraordinaria. El 70% de los soldados perdió el cinturón, el 75% perdió el chaleco, el 80% perdió el casco y el 85% perdió la cantimplora. ¿Cuántos soldados, por lo menos, perdieron las cuatro "ces" (cinturón, chaleco, casco y cantimplora)?

    ¡Animo! Resuelve este retito que propuso Pepe Chapuzas el último día de clase.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla odiaba los ejemplos bélicos... Al menos este no tenía sangre...

    Mire, profe. Al menos el 70% + 75% – 100% = 45% de los soldados perdió el cinturón y el chaleco, y el 80% + 85% – 100% = 65% de los soldados perdió el casco y la cantimplora, por lo que al menos el 45% + 65% – 100% = 10% de los soldados perdió los cuatro objetos...

    ¿Cuál es la cantidad máxima de soldados que pueden regresar de la batalla sin perder ninguno de los cuatro objetos?
    ¿Si perder el cinturón, perder el chaleco, perder el casco y perder la cantimplora fueran sucesos independientes..., ¿cuántos soldados habrían perdido las cuatro "ces"?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso hizo un diagrama:

    Profe, mire. Si todos los que han perdido el cinturón han perdido el chaleco, si todos los que han perdido el chaleco han perdido el casco y si todos los que han perdido el casco han perdido la cantimplora, entonces los que no han perdido ninguno de los cuatro objetos son el 100% – 85% = 15%, y este es el porcentaje máximo.
    Si son sucesos independientes, el porcentaje de los que han perdido las cuatro "ces" sería 70%·75%·80%·85% = 35,7%.