176. Los globos del correo

    Pepe Chapuzas nos ha contado su último sueño. Lo que no nos había dicho es que hasta en sus sueños se han colado las Matemáticas...

    En Chapuzalandia se envía el correo en cestas que cuelgan de globos. Todos los globos son iguales (salvo el color). Y todas las cestas son iguales. Hay dos modelos de vehículos postales aéreos: la cesta que cuelga de 3 globos y la cesta que cuelga de 5 globos. El primer tipo de vehículo solo se eleva si la carga colocada en la cesta pesa menos de 32kg y el segundo tipo de vehículo solo se eleva si la carga colocada en la cesta pesa menos de 58kg. ¿Cuánto pesa la cesta vacía?

175. Inscrito y circunscrito

    En un examen de Trigonometría se pedía calcular el área de un triángulo. Pero Pepe Chapuzas la calculó sin usar las razones trigonométricas. Utilizó para ello la fórmula de Herón y eso que no la habíamos visto en clase... (El enunciado está en negro y la respuesta de Pepe en azul).

    Le pregunté a Pepe por la fórmula y la respuesta fue sorprendente...

    La fórmula de Herón es el límite cuando d tiende a 0 de la fórmula de Brahmagupta. Me explico. La fórmula de Brahmagupta nos da el área de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia a partir de sus cuatro lados, a, b, c y d. Si el lado d fuera tan diminuto como un punto, tendríamos un triángulo (que siempre está inscrito en su circunferencia circunscrita) y la fórmula se convierte en la de Herón. ¿Lo ve?

    Visto de esa manera Pepe tenía razón, pero aún quedaba otra sorpresa...

    Profe, mire. Hay cuadriláteros inscritos en una circunferencia y circunscritos en otra. (El cuadrado sería uno de ellos). Pues resulta que, para estos cuadriláteros, la fórmula de Brahmagupta se simplifica...

    Demuestra esta última fórmula.

174. Sumas de arcotangentes

    La enorme cantidad de fórmulas de la Trigonometría "impulsa" a los estudiantes a realizar "enormes" chuletas. Un día "incauté" a Pepe Chapuzas una "presunta" chuleta, que resultó ser unas "enigmáticas" sumas de arcotangentes:

     Profe, si le da la vuelta a la "chuleta" verá una "demostración" de la segunda suma...

    Lo que Pepe llamaba "demostración" no era otra cosa que un dibujo chapucero coloreado con rotuladores...

   Completa y explica la demostración de Pepe, realiza otra demostración para la primera suma (con dibujo) y busca otra suma de arcotangentes similar. ¡Buena suerte!

173. El mahjong

    Profe, mire. Todos los años tenemos que calcular probabilidades de sucesos relacionados con la baraja española, el dominó, los dados... ¿No podrían ser más originales los problemas (y los profes)?

    Le dije a Pepe Chapuzas que planteara él un problema a partir de un juego menos conocido y esta fue su propuesta:

    El mahjong es un juego de origen chino. Se juega con 144 fichas en su versión tradicional. Uno de los objetivos básicos del juego es conseguir ciertas combinaciones de tres fichas como el "pong" o el "chi". Investiga en qué consisten y contesta a la siguiente pregunta. Si cogemos tres fichas de un juego de mahjong al azar..., ¿qué sería más probable, un "pong" o un "chi"?

    Pues eso... Da la respuesta con explicaciones.

172. La copa de té

    Esta historia la encontré en un examen de Pepe Chapuzas. Me explicó que como había acabado tan pronto..., pues que se aburría..., y para matar el tiempo... En fin, aquí dejo que la leáis...

    En Chapuzalandia son tan finos que sirven el té en copa. En mi casa de té favorita las copas son cónicas y el interior de los conos tienen todos 10 cm de altura... Al camarero lo pongo siempre en un aprieto... Un día le dije que me sirviera la cantidad de té equivalente a la mitad de la capacidad de la copa... y otro día que me sirviera la cantidad de té que mojara la mitad de la superficie interior del cono de la copa... ¿Hasta qué altura tuvo que llenar en cada caso la copa de té?

    Responde a las preguntas, te guste o no el té...

171. A medias

    Profe, mire. En el primer examen saqué un 3,5 y en el segundo examen saqué un 7. ¿Me va a aprobar o a suspender? 

    Ya le había dicho a Pepe Chapuzas que iba a aprobar a aquellos que sacaran una media mayor o igual que 5. Lo que no había especificado era qué tipo de media iba a aplicar... Para ahorrarme el trabajo, Pepe me había calculado la media aritmética, la media cuadrática, la media proporcional (o geométrica), la media armónica y hasta la media heroniana de sus 2 calificaciones...

    Calcula tú también las 5 medias y dime en cada caso si tengo que aprobar o suspender a Pepe...

170. Cuadratura por disección

    Hace poco salió en clase el tema de las cuadraturas. Empezó todo con la cuadratura del círculo y acabó con la cuadratura por disección. Esta consiste en cortar una figura en varias piezas a modo de puzle o tangram de manera que se puedan recolocar y encajar todas las piezas para formar un cuadrado. Puse como ejemplo la cuadratura del triángulo equilátero de Dudeney:

    A Pepe Chapuzas le encantan los trabajos manuales, así que buscó más disecciones en Internet y empezó una colección de cuadraturas en cartulina... A saber: la del pentágono regular en 6 piezas, la del hexágono regular en 5 piezas, la del heptágono regular en 7 piezas, la del octágono regular en 5 piezas, la del dodecágono regular en 6 piezas, la de la estrella de David en 5 piezas, la de la cruz latina en 5 piezas, la de la cruz griega en 4 piezas y la de la cruz de Malta en 7 piezas.

    Investiga cómo se realizan estas u otras cuadraturas...
    Realiza alguna en cartulina especificando los detalles de la disección.

169. Parábolas para desorientados

    Estábamos corrigiendo ejercicios de parábolas. En unos el eje de la parábola era vertical y en otros era horizontal. Esto supone siempre una dificultad añadida para alumnos "desorientados"... Pepe Chapuzas, que suele andar bastante "orientado" ha propuesto el siguiente reto...

    Una parábola con eje vertical corta a otra parábola con eje horizontal en 4 puntos. Demuestra que hay una circunferencia que pasa por esos 4 puntos.

    Pepe dice que lo ha resuelto tomando como ejes de coordenadas los ejes de las parábolas... y que ya no da más pistas...

168. Un tren de círculos

    Echa un vistazo a este reto de Pepe Chapuzas. Aunque quizá tengas que echarle varios vistazos...

    El círculo amarillo tiene un área de 5 centiáreas y el círculo morado tiene un área de 1 centiárea. ¿Cuánto mide el ángulo verde?

167. Parábolas en la vida

    Pedí a mis alumnos que buscaran ejemplos de parábolas en sus vidas y las respuestas fueron las de siempre: trayectorias de balones de fútbol, chorros de agua en las fuentes..., incluso las antenas parabólicas fueron mencionadas. Para Pepe Chapuzas las Matemáticas forman parte de su vida por lo que su respuesta fue muy diferente: las parábolas de Apolonio, las parábolas de Arquímedes... Aprovechando la respuesta de Pepe propuse como tarea de casa que demostraran el siguiente resultado de Arquímedes...
    "Si s y t son dos rectas paralelas, s secante a una parábola en los puntos A y B, y t tangente a la parábola en el punto C, entonces el área del triángulo ABC es 3/4 del área encerrada entre la parábola y la recta secante".

    Se suponía que tenían que utilizar la integral definida y la regla de Barrow para resolver el ejercicio pero Pepe mostró cómo lo había descubierto Arquímedes...

    Investiga y resuelve el ejercicio de las dos maneras.

166. El quebrado traicionero

    Llama la atención que la suma de fracciones sea más difícil que la multiplicación... ¡Qué le vamos a hacer! Y todos los años pasa lo mismo... No se puede evitar... Tarde o temprano se cuela en algún examen algún "quebrado traicionero"... (Aquí tenéis un ejemplo).

    Como habréis imaginado, no era el examen de Pepe Chapuzas el que contenía tamaña chapuza... De hecho en los apuntes de Pepe encontré lo siguiente...

    Pepe indicaba que, en este razonamiento, los numeradores a y c eran números enteros y que los denominadores b y d eran números naturales, y había anotado que el "quebrado traicionero" (a+c)/(b+d) era una media ponderada de las fracciones a/b y c/d...

    Comprueba los cálculos de Pepe e interpreta el dibujo.

    ¿Qué ocurriría si algún denominador fuera negativo (o nulo)? Analiza todas las posibilidades...

    Encuentra todas las soluciones de a/b + c/d = (a+c)/(b+d).

    Si quieres profundizar más en el tema busca información sobre los círculos de Ford y la sucesión de Farey.

165. El quipu de Pepe Chapuzas

    Un día llegó Pepe Chapuzas con un objeto formado por cuerdas con nudos. Lo mostró a los compañeros (y a mí) indicando que se trataba de un quipu que estaba confeccionando. Aclaró que no era un quipu como los que utilizaban los incas para los registros de contabilidad sino que estaba coleccionando simplemente nudos diferentes...

    Profe, mire. Estoy clasificando los nudos según el número de veces que se cruza la cuerda... No hay nudos con 1 cruce ni con 2 cruces. Hay 1 nudo con 3 cruces, 1 nudo con 4 cruces, 2 nudos con 5 cruces y 3 nudos con 6 cruces. Estos 7 nudos los he puesto en la primera cuerda de mi quipu. En la segunda cuerda he puesto los 7 nudos que hay con 7 cruces... He visto en Internet que hay 21 nudos de 8 cruces, 49 de 9 cruces y 165 de 10 cruces... A partir de aquí el número de nudos es demasiado grande para mi quipu...

    La idea de Pepe me pareció interesantísima. Añadí que con las cifras que había dado Pepe se consideraban iguales un nudo y su imagen en el espejo... Concluí comentando que los nudos se identificaban con 2 números, el primero era el número (mínimo) de cruces para obtener el nudo y el segundo (que se escribe como subíndice) era solo un número de catálogo...

     Hasta 1974 se pensaba que había 166 nudos de 10 cruces. Ese año Kenneth Perko descubrió que 2 nudos catalogados como diferentes eran realmente el mismo nudo... Demuestra que los 2 nudos de Perko son en realidad el mismo nudo. La respuesta debe venir ilustrada con dibujos explicativos de la transformación de un nudo en otro. (Y no vale deshacer un nudo para rehacer el otro, por supuesto). Te aconsejo que juegues primero con una cuerda de verdad...

164. Los números ascendentes

    Profe, mire. En un número ascendente cada cifra es mayor que la anterior. Por ejemplo, el número 23578 es un número ascendente. Las preguntas son las siguientes. ¿Cuántos números ascendentes de 5 cifras hay? ¿Cuánto suman?

    A Pepe Chapuzas le gusta hacer de profe de Mates del profe de Mates...
    Ahora os toca hacer de alumnos... Responded razonadamente.

163. Suma de potencias

    Este reto de Pepe Chapuzas no parece muy complicado. Os lo reproduzco tal como apareció en el tablón de retos...

    Se le olvidó a Pepe escribir que había que resolver este reto sin calcular ni A ni B. Envíame la solución justificando todos los pasos. Un saludo.

162. Segundos por segundo

    Alguien en clase sacó el tema del día sideral (o sidéreo)... ¡Qué casualidad!, era Pepe Chapuzas...

    Profe, mire. Los días se producen por la rotación de la Tierra, pero he leído que una rotación de 360º  se completa en 23 horas, 56 minutos y 4 segundos, es decir, un día sideral, y no un día del calendario (día solar) que dura 24 horas como sabemos... (Ello es debido al movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol). ¿Qué ángulo (en grados, minutos y segundos) rota la tierra en 24 horas? Y si recordamos que la velocidad angular es el ángulo girado por unidad de tiempo,¿cuál sería la velocidad angular de la rotación terrestre expresada en segundos (ángulo) por segundo (tiempo)?

    Responde a Pepe. Además, calcula la velocidad (en metros por segundo) de un punto del ecuador a nivel del mar en su giro alrededor del eje de la Tierra.

161. Ortocentro fantasma

    Cuando Pepe Chapuzas se pone a divagar... Así se explayó en la última clase:

    Profe, ¡mire cuántas chapuzas! En la Geometría del triángulo, con la palabra "altura" a veces nos referimos a una cantidad, es decir, al número que indica la distancia entre un vértice y el lado opuesto a partir de una unidad (metro, pie...), y otras veces con la palabra "altura" nos referimos a la recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto... ¡Además las alturas ni siquiera tienen que ser verticales! ¿No cree que es un nombre muy confuso por no decir chapucero? 

    Y luego está lo del ortocentro, ya sabe, la intersección de las alturas... Yo pienso que algo que se denomina "centro" debería estar "dentro"... pero a veces el ortocentro cae "fuera" del triángulo... (Lo mismo le pasa al circuncentro). 
    Y para rematar la faena a la altura la llamamos h y al ortocentro H... Me dan ganas de escribir "haltura" y "hortocentro"... 
    Por cierto, ¿sabe lo que he descubierto? Le cuento. En casa tengo un tetraedro irregular y me puse a calcular sus "centros"... O sea, los puntos notables: el baricentro o centro de gravedad, el circuncentro o centro de la esfera circunscrita, el incentro o centro de la esfera inscrita y, finalmente, el ortocentro... Con los tres primeros no tuve problemas, pero con el último... Verá... Ahora, con el tetraedro, una altura es una recta que pasa por un vértice y es perpendicular a la cara opuesta... Pues bien, tomé dos alturas de mi tetraedro y ¡no se cortaban! ¿Se da cuenta? ¡Mi tetraedro no tiene ortocentro!

    Dejemos a Pepe con sus elucubraciones...
    Elige cuatro puntos del espacio al azar. ¿Determinan un tetraedro? En caso afirmativo elige dos alturas (rectas). ¿Se cortan? ¿Cómo debe ser un tetraedro para que sus alturas se corten? Mándame tus cálculos y tus deducciones.

160. Las raíces cuadrada y cúbica a mano (2ª parte)

    Profe, las raíces cuadradas no se han hecho siempre así, ¿verdad? ¿Cómo se hacían antes de las cifras arábigas?

    Conté que con las cifras arábigas viajaron, y nos llegaron, muchos de los algoritmos que utilizamos hoy, como el de la raíz cuadrada, conocido como algoritmo de Al-Banna. Y que antes, para las raíces cuadradas, se utilizaban otros métodos como el de Herón...
    Comenté que con el método de Herón, para extraer la raíz cuadrada de A, se calculaba el límite de la sucesión recursiva: X_n+1=(X_n+A/X_n)/2, donde X₁ era cualquier valor "cercano" a la raíz buscada... Rectifiqué enseguida porque en realidad no se calculaba el límite, sino X₃ o X₄ según la precisión requerida... Y puse como ejemplo la raíz cuadrada de 14. Empecé con X₁ = 4, entonces X₂ = (4+14/4)/2 = 3,75 y por tanto X₃ = (3,75+14/3,75)/2 = 3,741666... lo que me daba una exactitud de ¡cuatro decimales! (Añadí que en la época de Herón no se operaba con decimales sino con fracciones).
    A Pepe Chapuzas le encantó en "nuevo" método y encontró, quién sabe dónde, un método para las raíces cúbicas... Esto encontré en su cuaderno:

    La raíz cúbica del número A es el límite de la sucesión X_n+1=(2X_n+A/X_n²)/3.

    Extrae la raíz cúbica de 14 calculando cuatro términos de esta sucesión...

    Por cierto, ¿sabías que el símbolo de raíz es una erre? ¡Es la inicial de raíz!

159. La raíces cuadrada y cúbica a mano

    Habíamos explicado el algoritmo tradicional para extraer raíces cuadradas (algoritmo de Al-Banna) y habíamos mandado unos ejercicios. Cuando los terminamos de corregir en la pizarra, Pepe Chapuzas preguntó por qué se hacía así. Hice una "explicación gráfica" para mostrar de dónde salía cada número:

    Se trataba de calcular el lado de un cuadrado cuya área (superficie) medía 14 áreas (decámetros cuadrados). El resultado era 37 metros... Pepe entendió muy bien el procedimiento porque al día siguiente me enseñó en su cuaderno un algoritmo para extraer raíces cúbicas con un ejemplo numérico que reproduzco a continuación... El algoritmo venía acompañado de un dibujo...

    Ahora había que calcular el lado de un cubo cuyo volumen era de 14 litros. El resultado era 24 centímetros...

    ¿Te atreves a dar una explicación detallada de estos algoritmos a partir de los dibujos?
    Extrae (a mano) las raíces cuadrada y cúbica de 77 con tres decimales.

158. El ábaco de Napier (o Neper)

    Profe, mire. Me han regalado un ábaco japonés (soroban) para mi colección. También tengo un ábaco maya (nepohualtzintzin), un ábaco chino (suanpan) y un ábaco ruso (schoty). ¡Ve que son diferentes!

    Pepe Chapuzas había empezado una interesante colección de ábacos. Cada ábaco iba acompañado de una precisa información: de dónde procedía, de qué materiales estaba hecho y cómo se usaba...
    Le comenté que Napier había inventado un ábaco para multiplicar que habría sido todo un éxito de no ser por la invención, poco tiempo después, de los logaritmos... Añadí que lo curioso de esta historia es que los logaritmos también los inventó Napier..., y que del ábaco para multiplicar solo existía un ejemplar que se conservaba, por raro que parezca, ¡en el Museo Arqueológico de Madrid...!
    Entonces Pepe me dijo que si solo había uno en todo el mundo, él se iba a fabricar otro, con lo cual llegaría a poseer ¡uno de los dos "únicos" ábacos de Napier que quedaban! Tuve que aclararle a Pepe que, en realidad, el ábaco del museo no era un ábaco de "bolas" como los de su colección..., y que no era uno sino dos... pues había un ábaco de bastones, de los que se fabricaron (y se conservaban) muchísimos en todo el mundo, y un ábaco de regletas, que sí era "único"...
    A los pocos días Pepe trajo una caja que contenía "el segundo ábaco de Napier"... Lo había hecho de cartulina. ;-)

    Profe, mire. He averiguado que hay muchas clases de ábacos de regletas. Además del ábaco de regletas de Napier, de los que "ahora" solo hay "dos" en el mundo, están, por ejemplo, los ábacos de regletas para multiplicar y dividir de Genaille y Lucas, y los ábacos de regletas para sumar y restar de Kummer y Troncet... Son muy fáciles de construir... y más fáciles todavía de usar. Yo me he fabricado los tres... Le explico a continuación el funcionamiento del primero: las regletas de Napier...
    Las regletas de Napier sirven para multiplicar 2 números de varias cifras. Verá que hay regletas de dos tipos: las hay verticales y con números para el primer factor, y horizontales y con agujeros para el segundo factor. Cada regleta representa 1 cifra (pero sirve para 2 cifras diferentes como veremos)... Por lo tanto hay 10 modelos de regletas diferentes... 5 verticales y 5 horizontales... como estas:

    La cantidad de regletas necesarias para abarcar todas las posibilidades depende del tamaño de los factores... Así, si queremos un ábaco para multiplicar números de N cifras, se necesitarán N regletas de cada modelo... La longitud de las regletas también depende de N pues cada regleta está formada por N cuadrados iguales... En mi ábaco hay en total 70 regletas, de 7 cuadrados cada una, para poder multiplicar números de hasta 7 cifras...
    Aquí le muestro los cuadrados para formar las regletas verticales. A estas regletas se les puede dar la vuelta y así aprovechamos las dos caras... Cada cara sirve para una cifra. ¿Ve? El cuadrado correspondiente a esa cifra se repite 7 veces en la cara de la regleta en cuestión...

    Y aquí están los cuadrados para las regletas horizontales. También hay dos cuadrados para cada modelo de regleta horizontal. A estas regletas no se les da la vuelta, pero se pueden girar 180º. ¿Entiende?, los 5 cuadrados de abajo son simétricos de los de arriba... Si se da cuenta, las cifras se han emparejado de la misma manera que antes... por comodidad. (Las parejas de cifras suman 1 u 11).

    Y ahora un ejemplo... (No se representan las regletas enteras). Si queremos multiplicar 7561 por 834, colocamos primero las regletas verticales del primer factor...

    Y encima las horizontales del segundo factor, tal como se muestra en la siguiente figura... Finalmente sumamos con llevadas los números de cada carril diagonal que se ha formado entre las líneas rojas... ¡Este es el resultado, es decir, el producto!

    La solución era la correcta: 6305874.
    Pepe incluyó en su caja las regletas de Genaille y Lucas y una calculadora como las de Kummer y Troncet... Sin lugar a dudas Pepe tenía un ábaco "único" en su caja...

    Investiga cómo funcionan los ábacos japoneses, las regletas de Genaille-Lucas, las calculadoras de Kummer-Troncet y los bastones de Napier... Elige y fabrica uno de ellos y nos explicas su funcionamiento con detalle (y con ejemplos).

157. Los rombos de Penrose (2ª parte)

    Pepe Chapuzas me mandó el siguiente mensaje por correo electrónico:

    Profe, mire. Me picó la curiosidad que me dijera que los rombos que dibujé en mi mandala eran rombos de Penrose. He investigado en Internet y he descubierto que Penrose descubrió que con estos rombos se pueden componer mosaicos que cubren todo el plano. Y que si sólo se permiten a las teselas juntarse en un vértice si forman figuras como las que le adjunto, entonces los mosaicos son aperiódicos, lo cual significa que no se pueden obtener repitiendo un patrón finito de teselas mediante traslaciones ...

     Después me contaba que en su mandala las teselas se juntaban en figuras no permitidas, etc., etc...
     La curiosidad de Pepe no tiene límites... Le respondí a Pepe que Penrose había descubierto muchos mosaicos aperiódicos. Que el más famoso se componía a partir de 2 deltoides, que denominó "dart" y "kite", en el que solo se permitían a las teselas juntarse en un vértice si formaban figuras como las que le adjunté...

    Creo que Pepe siguió investigando... Al día siguiente trajo dos cartulinas con sendos mosaicos, uno con rombos y el otro con deltoides...

    Como ves, las 7 figuras de deltoides tienen nombre. ¿Qué nombres le pondrías tú a las 7 figuras de rombos?
    Busca en Internet 8 mosaicos periódicos indicando el patrón que se repite en cada caso.
    Busca en Internet algún otro mosaico aperiódico.
    Mándame tus respuestas por correo electrónico...