503. SOLUCIÓN de 203. Los números metálicos

    Un día hablé de los cuadriláteros cíclicos (o inscribibles en una circunferencia) y del teorema de Tolomeo (que afirma que en un cuadrilátero cíclico, el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos). Al día siguiente comprobé que a Pepe Chapuzas le interesó la lección...

    Profe, mire. Estaba jugando con la mesa camilla (aprovechando que es circular y sin que me viera mi madre) comprobando el teorema de Tolomeo... En seguida me di cuenta de que todos los rectángulos eran cíclicos y entonces el teorema de Tolomeo se conviertía en el teorema de Pitágoras:

    Tuve que recordarle a Pepe que no se jugaba con las mesas camillas. En fin, solo a Pepe Chapuzas se le puede ocurrir eso de jugar con los teoremas... Añadí a su observación que también los trapecios isósceles eran cíclicos...

    Juega con los cuadriláteros cíclicos y demuestra que dos ángulos opuestos son siempre suplementarios.
    Utiliza el teorema de Tolomeo para calcular la diagonal de un pentágono regular de lado 1. (Si haces bien los cálculos obtendrás el llamado número de oro.)

    Busca información sobre el número de oro, que es el más famoso de los números metálicos...
    Busca información sobre el número de plata, el número de bronce y otros números metálicos...
    Haz un bonito trabajo con toda esta información y me lo envías por correo electrónico.

SOLUCIÓN

    Los cuadriláteros cíclicos llamarón la atención de Nina Guindilla...

    Profe, mire...

    a) Sabemos que un ángulo inscrito en un círculo mide la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco. Como los ángulos centrales correspondientes a dos ángulos opuestos del cuadrilátero cíclico suman 360º (abarcan toda el círculo), dichos ángulos opuestos sumarán la mitad, o sea, 180º, o sea, que son suplementarios.
    b) En el rectángulo rojo (del pentágono regular) tenemos d2 = d + 1 aplicando el teorema de Tolomeo, o sea, d2 – d – 1 = 0. Esta ecuación de segundo grado tiene una solución positiva d = (1+√5)/2. ¡Este es el número de oro!
    c) El número de plata es 1+√2, el número de bronce es (3+√13)/2, el número de níquel es (1+√13)/2 y el número de platino es 1+√3...

    Nina, en su trabajo, averiguó que los números metálicos son soluciones de ecuaciones de segundo grado con coeficientes enteros. ¿Cuáles?

502. SOLUCIÓN de 202. Los onceavos de pi

    Mis alumnos estaban aprendiendo a manejar sus calculadoras. Tenían que realizar cálculos con razones trigonométricas, radianes, etc. La calculadora de Pepe Chapuzas era un poco antigua y en un ejercicio dio el siguiente resultado...

    Pepe me dijo que sospechaba que se habían producido errores de redondeo y que la solución podría ser 0.5 pero que no podía asegurarlo. Dejé que le diera vueltas a la cabeza y debió de darle algunas porque al día siguiente me lo confirmó:

    Profe, 0.5 es la respuesta verdadera. Las calculadoras son tan útiles como chapuceras... Mire este dibujo de un endecágono regular de lado 1... Con los vectores está claro, ¿verdad? Y pasa lo mismo con cualquier polígono regular que tenga un número impar de lados... Si n es un número natural:

    No podía ponerle pegas. Estaba muy claro. ¿O no?

    Explica el dibujo de Pepe.
    Opera sin calculadora:

SOLUCIÓN

    Profesor, lo que ha hecho Pepe es una suma vectorial. El endecágono tiene 1 unidad de lado y por eso los vectores son unitarios (cosθ, senθ). Los ángulos están bien calculados (a partir del ángulo exterior del endecágono 2π/11) y la suma de los cosenos es la suma de las primeras componentes de los vectores que es, evidentemente, 1/2 (medio lado). El razonamiento es válido para cualquier polígono con una cantidad impar de lados...

    Nina Guindilla prosiguió...

    Para el siguiente cálculo dibujo un heptágono regular:

    Por lo que la suma ahora es -1/2.

    Obtén este resultado a partir del anterior utilizando ángulos suplementarios.

    Encuentra resultados parecidos pero con suma de senos...

501. SOLUCIÓN de 201. ¡Lanza los dados! (2ª parte)

    Llevé a clase un dado y un problema. El dado estaba numerado del 1 al 6 y parecía normal, pero estaba trucado de modo que la probabilidad de cada resultado era inversamente proporcional a dicho resultado. En estas condiciones se consideraban los sucesos A={1,6} y B={2,3,4}. ¿Cuál de ellos es más probable?
    Pepe Chapuzas contestó correctamente sin calcular las probabilidades...

    Ahora te toca a ti, es tu turno...

SOLUCIÓN

    Mire, profe. Las probabilidades de las caras son inversamente proporcionales a 1, 2, 3, 4, 5 y 6, esto es, directamente proporcionales a 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 y 1/6, es decir, a 60, 30, 20, 15, 12 y 10 (he multiplicado por 60). Las probabilidades de A y B serán proporcionales a 70 (60+10) y 65 (30+20+15) respectivamente, por lo tanto la probabilidad del suceso A es mayor.

    Nina contestó bien. Calcula de todos modos las probabilidades de A y B.

500. SOLUCIÓN de 200. ¡Lanza los dados!

    Profe, mire. En el insti no nos dejan jugar ni a las cartas ni a los dados... Y luego nos preguntan probabilidades de cartas y de dados... ¡Bonita contradicción!

    Pepe Chapuzas tenía un poco de razón, pero solo un poco... Creo que se mosqueó cuando propuse un problema en el que había que calcular la probabilidad de que al lanzar tres dados los resultados estuvieran en progresión (aritmética o geométrica).

    Calcula tú también esta probabilidad (pero sin jugar a los dados).

SOLUCIÓN

    Mire, profe. Vamos a contar los casos favorables... 
    Progresiones aritméticas de diferencia 1: 

1 2 3

2 3 4

3 4 5

4 5 6

    Progresiones aritméticas de diferencia 2:

1 3 5

2 4 6 

    Progresiones geométricas de razón 2:

1 2 4

    De cada una de estas progresiones hay 3!=6 casos. En total 6·7 = 42 casos.
    Hay que añadir todavía las sucesiones constantes, que se pueden considerar progresiones aritméticas de diferencia 0 o geométricas de razón 1:

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

5 5 5

6 6 6

    En total hay 42+6 = 48 casos favorables y 6·6·6 = 216 casos posibles, por lo que la probabilidad pedida es  48/216 = 0,222222...

    Después de resolver este problemita, Nina Guindilla propuso hacer lo mismo pero con 4 dados de rol de 10 caras que estaban numeradas del 0 al 9... ¡Inténtalo!
   

499. SOLUCIÓN de 199. El póster

    Calcula el área comprendida entre la circunferencia circunscrita y la circunferencia inscrita en un triángulo de lados 13cm, 13cm y 10cm respectivamente.

    Este problema apareció en un póster que decoraba el aula. Lo firmaba Pepe Chapuzas.
    ¿A qué esperas? Calcúlala y llévate un positivo.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla conocía las fórmulas del área (A) de un triángulo a partir de sus lados (a, b y c) y de los radios (R y r) de sus circunferencias circunscrita e inscrita...

A = a·b·c:R:4

A = (a+b+c)·r:2
 

    Profe, mire. Como el triángulo es isósceles, la altura sobre el lado desigual se puede calcular con el teorema de Pitágoras: √(13²–5²) = √(169–25) = √144 = 12cm. Así que el área del triángulo mide A = 12·5 = 60cm². Con lo que los radios de las circunferencias miden...

R = a·b·c:A:4 = 13·13·10:60:4 = 169/24

r = 2·60:(13+13+10) =10/3

    Por lo tanto el área amarilla mide πR²–πr² = 120,87cm².

    Obtén una demostración de las dos fórmulas del área de un triángulo que ha utilizado Nina.

498. SOLUCIÓN de 198. Cubos cortados

    No todos los problemas de Matemáticas implican cálculos con números. Este reto de Pepe Chapuzas pone a prueba la imaginación espacial, aunque siempre puedes echar mano de un trozo de queso y un cuchillo...

    Profe, he cortado varios cubos con un plano y las secciones tienen forma de triángulo, cuadrilátero, pentágono o hexágono. ¿Podría conseguirse alguna sección con forma de polígono regular? ¿Cómo?

    Comprueba que hay secciones de los cuatro tipos de polígonos que dice Pepe e investiga si pueden ser regulares... Y no te cortes...

SOLUCIÓN

    Nina tenía la suficiente visión espacial como para resolver esta cuestión sin necesidad de cortar queso...

    Mire, profe. Si truncamos un pico obtenemos un triángulo. Si se hace con esmero sale equilátero...

    Con una sección paralela a una cara sale un cuadrado... pero no es la única manera...

    Un pentágono es posible pero no puede ser regular porque siempre tendrá lados paralelos...

    Finalmente, un hexágono regular es posible solo si el plano de corte pasa por 6 puntos medios de aristas... y por el centro del cubo...

    Investiga y comenta las secciones de un octaedro regular (con o sin queso). ¿A qué estás esperando?

497. Solución de 197. Empieza la función

    Lo último que habíamos explicado en clase era el concepto de función. Pedí a mis alumnos que buscaran ejemplos e inventaran ejercicios con esos ejemplos... Esta fue la propuesta de Pepe Chapuzas:

    Profe, mire. Sean  f  la función que aplicada a un número natural nos devuelve la suma de sus dígitos pares y  g  la que nos devuelve la suma de sus dígitos impares. Por ejemplo f(45923)=4+2=6 y g(45923)=5+9+3=17. El ejercicio es el siguiente...

SOLUCIÓN

    Profe, mire. "Solo" hay que sumar las cifras pares y las cifras impares de todos los naturales hasta mil. "Solo" hay que averiguar cuántos unos hay, cuántos doses, cuántos treses, cuántos cuatros, etc. Se me ocurre una idea: como los ceros no influyen en la suma puedo considerar las variaciones con repetición de 10 elementos tomados de 3 en 3. El 7 sería 007 y así estarían todos los números menos el último (1000). La cifra 8 aparecería 100 veces como centena, 100 veces como decena y 100 veces como unidad, o sea, 300 veces. Eso mismo le ocurre a las demás cifras. (El 1 aparecería una vez como unidad de millar.) Por lo tanto la suma de las cifras pares sería (2+4+6+8)·300 = 20·300 = 6000 y la suma de las cifras impares (1+3+5+7+9)·300+1 = 25·300+1 = 7501.

    ¡Bravo por Nina Guindilla! (Aunque lo de las variaciones con repetición sobraba.)

    ¿Para cuántos números naturales N menores que 1000 se cumple que g(g(N))=2?

495. SOLUCIÓN de 195. Hay que llegar hasta mil...

    Profe, mire. Yo pensaba que la racionalización no servía para nada. Total, con la calculadora da igual que los radicales estén en el denominador... Sin embargo el siguiente ejercicio se puede resolver la mar de rápido racionalizando...

    Pepe Chapuzas me mostró el ejercicio en su cuaderno de "autotareas". Había que calcular el número de fracciones de esta serie que se necesitaban para llegar a 1000. ¿Cuántas son?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla empezó a racionalizar y enseguida se dio cuenta del asunto...

    Profe, mire. Si hay N fracciones, al racionalizar tenemos:

 – √1 + √2 – √2 + √3 – √3 + √4 – √4 + √5  ... = √(N+1) – 1 = 1000. 

    Por lo tanto N = 1001²–1 = 1002000. ¡Un millón dos mil fracciones!

    ¿Cuántas fracciones se necesitan para llegar a mil ahora?

494. SOLUCIÓN de 194. En busca de la fórmula

    La última clase la habíamos dedicado a la búsqueda de fórmulas. Los alumnos tenían que buscar o inventar problemas cuyas soluciones no fueran números sino fórmulas. Este es el que propuso Pepe Chapuzas...

    Este triángulo no se ha podido dibujar entero porque es muy grande... Está formado por muchas filas... Exactamente N filas. ¿Cuánto vale la suma de todos los números del triángulo?

    Obtén una fórmula que dependa de N y envíamela explicando cómo la has hallado.

SOLUCIÓN

    Mire, profe. En la fila N-ésima aparece N veces el número 2^N–1. Empecé sumando las filas y no llegué demasiado lejos, así que empecé a sumar columnas...

    En cada columna tenemos los términos de una progresión geométrica de razón 2, por lo que su suma es coser y cantar...

(2^N–1)+(2^N–2)+(2^N–4)+...+(2^N–2^N–1) = N·2^N–(2^N–1) = (N–1)·2^N+1.

    Nina Guindilla encontró la fórmula.
    ¿Cuánto vale el producto de todos los números del triángulo?

493. SOLUCIÓN de 193. ¡A volar!

    El último día de clase Pepe Chapuzas llegó a emocionarme...

    Profe. ¡Gracias por enseñarme a volar!

    Le devolví el cumplido comentándole que era muy fácil enseñar a volar a los chicos que nacen con alas... Se despidió con un regalo de los suyos: un problemita de Geometría...

    Si la suma de las áreas de los círculos anaranjados es 1 metro cuadrado, ¿cuál es el área del círculo verde?

    Es más fácil de lo que parece. Al fin y al cabo es un regalo...
    ¡Echa a volar!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla nació con alas... de mariposa. Mirad cómo vuela alto y deprisa...

    Profe, mire. Como hay 10 círculos naranjas iguales, cada círculo tiene un área de 10 dm²
y por lo tanto un radio de √(10/π) dm. Los centros de los círculos naranjas son los vértices de un decágono regular, con lo que el radio del decágono medirá

√(10/π)·cosec18º = √(10/π)·(√5+1).

    Y el radio del círculo verde medirá

√(10/π)·(√5+1) – √(10/π) = √(10/π)·√5.

    Y por lo tanto el área del círculo verde medirá

π·(√(10/π)·√5)² = 50 dm².

    ¡El área verde es la mitad del área naranja!

 

    Justifica todos los pasos (o aleteos) de Nina.

492. SOLUCIÓN de 192. El gran panal

   ¡Otro reto de Pepe Chapuzas en el que las abejas son las protagonistas!

    Mis abejas tardan 1 año en construir el gran panal... Van construyendo las celdillas tal como se muestra en la figura... Al cabo de 365 días... ¿Cuántas aristas tendrá el borde del panal? ¿Cuántas celdillas tendrá todo el panal?

    Reselve el reto. Espero que tardes en resolver este reto menos tiempo que las abejas en hacer el gran panal...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla contó las aristas del borde y las celdillas que tenía el panal los primeros días y "descubrió" sendas fórmulas con las que resolvió el reto:

    Número de aristas en el borde: 6, 18, 30, 42, 54, ... , 12n–6 ...
    Número de celdillas: 1, 7, 19, 37, 61, ... , 3n²–3n+1 ...
    El día 365º habrá 12·365–6 = 4374 aristas en el borde y 3·365²–3·365+1 = 398581 celdillas.

    Efectivamente se trataba de un gran panal...
    Demuestra las fórmulas "descubiertas" por Nina utilizando el principio de inducción matemática...

491. SOLUCIÓN de 191. La revolución de las parábolas

    Había mandando calcular varios volúmenes de sólidos de revolución y de rebote Pepe Chapuzas "mandó" el siguiente problema... No me pareció difícil pero sí interesante:

    Sea la gráfica de la función y=x² entre los puntos (0,0) y (a,a²), es decir, un arco de parábola. Y consideremos, por un lado, el sólido de revolución que se genera al girar este arco alrededor del eje de abscisas y, por otro lado, el sólido de revolución que se genera al girar el mismo arco pero ahora alrededor del eje de ordenadas... Calcúlese el valor de a para que los volúmenes de los dos sólidos sean iguales.

    Estaba claro que el arco por sí solo no generaba sólidos sino superficies y así se lo hice saber a Pepe. Pepe entonces dibujó las superficies, les puso tapas circulares y las "rellenó"...

    ¿Cuánto vale a?
    ¿Y si la función fuera y=x³?
    ¿Y si la función fuera y=xⁿ?
    ¿Cuánto vale el límite de a cuando n tiende a infinito?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla empezó con la fórmula de los sólidos de revolución...

    Profe, mire. Si igualo los dos volúmenes obtengo el valor de a = 5/2.
    De forma análoga se procede para y=x³ ...

    Ahora tenemos a = (21/5)^1/2. Y para y=xⁿ ...

    Con lo que a = (n(2n+1)/(n+2))^1/(n–1).
    Para calcular el límite de a cuando n tiende a infinito voy a resolver la indeterminación ∞⁰ con la regla de L'Hôpital. (Tomando logaritmos la indeterminación es ∞/∞.)

ln lim a = lim ln(n(2n+1)/(n+2))^1/(n–1) =

= lim ((ln(n)+ln(2n+1)–ln(n+2))/(n–1)) =

= lim (1/n+2/(2n+1)–1/(n+2)) = 0.

    Por lo tanto lim a = e⁰ = 1.

    Detalla los pasos de Nina... ¿Se puede utilizar la regla de L'Hôpital para calcular límites de sucesiones?

490. SOLUCIÓN de 190. Un teorema ninguneado

    Profe, ya me he aprendido el teorema del seno y el teorema del coseno. ¿Por qué no nos enseña el teorema de la tangente?

    En clase pensaron que Pepe Chapuzas estaba bromeando. Quizá lo estuviera... pero el caso es que existe un teorema de la tangente igual de útil que los teoremas del seno y del coseno, y sin embargo es un teorema ninguneado en los planes de estudio... Así que lo escribí en la pizarra... Si a y b son lados de un triángulo y A y B son sus ángulos opuestos respectivamente entonces...

   Pepe ha propuesto resolver el siguiente problema utilizando solamente el teorema de la tangente:

    De un triángulo conocemos dos lados a=277mm y b=123mm, y el ángulo comprendido C=43º30'. Calcula los otros dos ángulos A y B del triángulo.

    Resuelve el problema de Pepe Chapuzas y demuestra el teorema de la tangente. ¡Ánimo!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla demostró el teorema antes de aplicarlo. ¡Había que ir sobre seguro! En su cuaderno estaba bien explicado...

    Partimos del teorema del seno: 

a : sen A = b : sen B

a : b = sen A : sen B

    Y aplicamos las reglas de la proporcionalidad:

(a + b) : (a – b) = (sen A + sen B) : (sen A – sen B) =

    Y aplicamos las fórmulas de transformación de sumas en productos:

= (2·sen((A+B):2)·cos((A–B):2)) : (2·cos((A+B):2)·sen((A–B):2)) =

    Y ya está: 

=  tg((A+B):2) : tg((A–B):2)

    Calculemos ahora: 

(A+B)/2 = (180º–C)/2 = 68º15',

a + b = 277+123 = 400mm y

a – b = 277–123 = 154mm.

    Y aplicando el teorema de la tangente:

(A–B)/2 = arctg (tg 68º15' · 154 : 400) = 43º58'48".

    Por lo tanto: 

A = 68º15' + 43º58'48" = 112º13'48" y

B =  68º15' – 43º58'48" = 22º16'12".

    Comprueba y detalla todos los pasos de la demostración y de los cálculos de Nina...

     

489. SOLUCIÓN de 189. Los aros de Johnson

    Profe, mire. Mis 3 mejores amigos y yo hemos estado jugando con nuestros aros. Los 4 aros son exactamente iguales. Bueno, los de mis amigos son azules y el mío es rojo, pero los 4 tienen el mismo diámetro... Mis amigos se cansaron enseguida del juego y dejaron sus aros en el suelo. Parecían ser circunferencias de un problema geométrico porque, casualmente, las 3 circunferencias se cortaban en 4 puntos, aunque solo 1 de los 4 puntos era común a las 3 circunferencias (era 1 punto triple) y cada 1 de los otros 3 puntos era común a solo 2 circunferencias (eran puntos dobles)... Entonces se me ocurrió poner mi aro rojo sobre los de mis amigos despacito y... ¡Encajaba!... Mi aro pasaba por los 3 puntos dobles... Ahora los 4 puntos eran triples... ¿Lo ve? Si hubiera sido más grande o más pequeño mi aro no habría encajado... Y no fue casualidad, he comprobado que "siempre" encajan...

    Sí, sería por casualidad, pero Pepe Chapuzas había redescubierto el teorema de los círculos de Johnson.

    Mándame un enunciado y una demostración de este teorema...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla encontró el enunciado de los círculos de Johnson: 

    Si tres circunferencias (las azules) son iguales y se cortan en un punto triple (de las tres circunferencias) y en tres puntos dobles (de dos circunferencias), entonces la circunferencia que pasa por los tres puntos dobles (la roja) es igual a las otras.

    De la demostración solo hizo un esbozo:

    1) Si D, E y F son los centros de las circunferencias azules, se demuestra fácilmente que la circunferencia que pasa por D, E y F es igual a las otras.
    2) Si A, B y C son los puntos de intersección dobles, se demuestra que los vectores AB y ED son equipolentes, y de forma análoga AC y FD.
    3) Se deduce fácilmente entonces que los triángulos ABC y DEF son iguales y por lo tanto también son iguales sus circunferencias circunscritas, con lo que el teorema quedaría demostrado el teorema.

    Si completas la demostración y te llevarás un positivo...

488. SOLUCIÓN de 188. Filas y columnas

    Pepe Chapuzas estaba escribiendo la sucesión de los enteros no negativos (el 0 y los naturales) en una tabla. Los iba colocando en filas y columnas de la siguiente manera:

    Profe, mire. Cada entero no negativo tiene su sitio en esta tabla infinita. Y cada uno de ellos se puede localizar mediante sus coordenadas, esto es, sabiendo su fila y su columna. Así, el número 19 está en la fila 3 y en la columna 5. ¿Cuáles serían las coordenadas del número 55555? ¿Qué número se encuentra en la fila 100 y en la columna 100?

    Contesta a Pepe, pero sin hacer una tabla gigante...

SOLUCIÓN

    Profe, mire. Solo hay números en las casillas cuyas coordenadas son, o bien ambas pares, o bien ambas impares. Las demás casillas están vacías. Observe...
    Las coordenadas de 0 suman 0. (0+0=0.)
    Las coordenadas de 1, 2 y 3 suman 2. (0+2=1+1=2+0=2.)
    Las coordenadas de 4, 5, 6, 7 y 8 suman 4. Y así sucesivamente...
    Por otro lado, si nos fijamos en la fila 0 de la tabla (0, 1, 4, 9, 16...) vemos que se trata de los cuadrados de los enteros... Las coordenadas de N² son (0,2N) y las coordenadas de N²+K son (K, 2N–K) para cualquier K desde 1 hasta 2N. 
    Como el cuadrado anterior a 55555 es 235 tenemos 55555–235²=330 y 2·235–330 = 140, por lo que las coordenadas de 55555 son (330, 140), o sea, en la fila 330 y en la columna 140.
    En la fila 100 y en la columna 100, la suma de coordenadas es 2N = 100+100=200 por lo que N=100 y K=100, por lo tanto, en esa casilla se encontrará el número 100²+100 = 10100.

    Nina Guindilla se llevó su positivo...
    Averigua el número que se encuentra en la fila 371 y en la columna 81.

487. SOLUCIÓN de 187. Una habitación equilátera

    Profe, mire. El suelo de mi habitación es un triángulo equilátero. Y hay un punto en el suelo que dista, respectivamente, 3, 4 y 5 metros de las paredes. ¿Qué longitud tiene una pared?

   Dudo mucho que la habitación de Pepe Chapuzas tenga la forma y las dimensiones que dice, pero en cualquier caso, calcula el lado del triángulo. Espero tu solución...

SOLUCIÓN

    Le dije a Nina Guindilla que podía utilizar el teorema de Viviani para resolver el reto de Pepe. Nina buscó lo que afirmaba este teorema y esta fue su respuesta: 

    Con el teorema de Viviani se puede calcular la altura del triángulo: 3+4+5 = 12m. El lado del triángulo medirá 12·sec30º = 12·2:√3 = 13,8564m.

    Busca el enunciado y una demostración del teorema de Viviani y nos lo cuentas todo...

486. SOLUCIÓN de 186. El radio del posavasos

    Encontré a Pepe Chapuzas tomando un zumo en la cafetería del instituto. Con un bolígrafo estaba garabateando algo en un posavasos circular de papel. Cuando terminó su zumo (y sus garabatos) me mostró el posavasos. El dibujo ilustraba el reto que había escrito por detrás...

    Calcula el radio del posavasos de Pepe y nos cuentas cómo lo has hecho.

SOLUCIÓN

 

    Para calcular el radio del posavasos Nina lo "garabateó" aún más...

    Mire, profe. Si aplico el teorema de Pitágoras al radio de abajo tenemos r² = 2,5² + (5–x)², mientras que el radio de arriba mide r = 2,5·√3 + x, por lo tanto tenemos la siguiente ecuación: 2,5² + (5–x)² =  (2,5·√3 + x)². Aunque no lo parezca, esta ecuación es de primer grado y su solución me permite calcular el radio del posavasos. Cojo la calculadora y... ¡Sorpresa! ¡El radio también mide 5cm!

 

    Realiza los cálculos que no ha escrito Nina Guindilla. Busca una manera más sencilla de resolver este reto.

485. SOLUCIÓN de 185. El regalo de la caja

    Pepe Chapuzas trajo una caja al instituto... pero no tenía ningún regalo en su interior. De hecho no tenía "interior" porque era un ortoedro "macizo". El "regalo" consistía en la propia "caja"... Se trataba de uno de sus ya famosos retos...

    Esto que traigo es un ortoedro cuyas dimensiones (alto, ancho y largo) están en progresión geométrica. Su volumen es de 8 decímetros cúbicos y su superficie es de 32 decímetros cuadrados. ¿Cuánto suman las longitudes de sus aristas? (Por supuesto en decímetros lineales).

    Acepta el regalo de Pepe y regálanos la solución.

SOLUCIÓN

    Para Nina Guindilla, el ladrillo de Pepe era lo menos parecido a un regalo...

    Profe, mire. Si las dimensiones están en progresión geométrica, entonces una de ellas, el término central, medirá 8^1/3 = 2dm. Y si R es la razón de la progresión las otras dimensiones medirán 2·R y 2:R. La superficie del ladrillo es 2·2·2·R+2·2·2:R+2·2·R·2:R = 32dm². Multiplicando por R y dividiendo por 8 tenemos la ecuación de segundo grado R²–3R+1=0. Como el coeficiente principal y el término independiente coinciden las soluciones son inversas, (3+√5)/2 y (3–√5)/2, y me dan las otras dimensiones del ortoedro, 3+√5 y 3–√5. La suma de las longitudes de las aristas será por lo tanto 4·(3+√5)+4·2+4·(3–√5) = 32dm.

    Comprueba que las soluciones de Nina son inversas. Demuestra que en una ecuación de segundo grado, si el coeficiente principal y el término independiente coinciden entonces las soluciones son inversas.

484. SOLUCIÓN de 184. Cinco divisores

    Profe, mire. Hay números naturales que tienen una cantidad par de divisores naturales y otros que tienen una cantidad impar. Por ejemplo, el 3 tiene 2 divisores (el 1 y el 3) y el 4 tiene 3 divisores (el 1, el 2 y el 4). ¿Sabría decirme cuál es el menor número natural que tiene 5 (y solo 5) divisores naturales?

    No le contesté a Pepe Chapuzas. Dejé que lo pensaran en clase y ahora dejo que lo pienses tú. Averigua de qué número se trata...
    ¿Sabrías decirme qué números naturales tienen una cantidad impar de divisores?

SOLUCIÓN: 

    Mire, profe. Resolver este reto es como organizar un baile, ya que los divisores de un número van emparejados… Por ejemplo, 30 tiene una cantidad par de divisores, exactamente 8 divisores: 30 = 1x30 = 2x15 = 3x10 = 5x6. Al baile del 30 van 4 parejas… Sin embargo, un número cuadrado tiene una cantidad impar de divisores, como 36 que es el cuadrado de 6, que tiene 9 divisores: 36 = 1x36 = 2x18 = 3x12 = 4x9 = 6². El 6 es un divisor desemparejado (o emparejado consigo mismo, lo que a la hora de bailar viene a ser lo mismo)…

    Volviendo al reto, la solución tiene que ser un número cuadrado. Veamos:
    1 = 1² solo tiene 1 divisor.
    4 = 1x4 = 2² tiene 3 divisores.
    9 = 1x9 = 3² tiene 3 divisores.
    16 = 1x16 = 2x8 = 4² tiene 5 divisores... ¡Aquí está la solución!

    Como vemos, a Nina Guindilla se le da bien organizar bailes...
    Nina Había empezado una tabla donde aparecía el mínimo número natural N que tiene exactamente D divisores naturales... Completa la tabla:

D	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	…
M	1	3	4	6	16