488. SOLUCIÓN de 188. Filas y columnas

    Pepe Chapuzas estaba escribiendo la sucesión de los enteros no negativos (el 0 y los naturales) en una tabla. Los iba colocando en filas y columnas de la siguiente manera:

    Profe, mire. Cada entero no negativo tiene su sitio en esta tabla infinita. Y cada uno de ellos se puede localizar mediante sus coordenadas, esto es, sabiendo su fila y su columna. Así, el número 19 está en la fila 3 y en la columna 5. ¿Cuáles serían las coordenadas del número 55555? ¿Qué número se encuentra en la fila 100 y en la columna 100?

    Contesta a Pepe, pero sin hacer una tabla gigante...

SOLUCIÓN

    Profe, mire. Solo hay números en las casillas cuyas coordenadas son, o bien ambas pares, o bien ambas impares. Las demás casillas están vacías. Observe...
    Las coordenadas de 0 suman 0. (0+0=0.)
    Las coordenadas de 1, 2 y 3 suman 2. (0+2=1+1=2+0=2.)
    Las coordenadas de 4, 5, 6, 7 y 8 suman 4. Y así sucesivamente...
    Por otro lado, si nos fijamos en la fila 0 de la tabla (0, 1, 4, 9, 16...) vemos que se trata de los cuadrados de los enteros... Las coordenadas de N² son (0,2N) y las coordenadas de N²+K son (K, 2N–K) para cualquier K desde 1 hasta 2N. 
    Como el cuadrado anterior a 55555 es 235 tenemos 55555–235²=330 y 2·235–330 = 140, por lo que las coordenadas de 55555 son (330, 140), o sea, en la fila 330 y en la columna 140.
    En la fila 100 y en la columna 100, la suma de coordenadas es 2N = 100+100=200 por lo que N=100 y K=100, por lo tanto, en esa casilla se encontrará el número 100²+100 = 10100.

    Nina Guindilla se llevó su positivo...
    Averigua el número que se encuentra en la fila 371 y en la columna 81.