491. SOLUCIÓN de 191. La revolución de las parábolas

    Había mandando calcular varios volúmenes de sólidos de revolución y de rebote Pepe Chapuzas "mandó" el siguiente problema... No me pareció difícil pero sí interesante:

    Sea la gráfica de la función y=x² entre los puntos (0,0) y (a,a²), es decir, un arco de parábola. Y consideremos, por un lado, el sólido de revolución que se genera al girar este arco alrededor del eje de abscisas y, por otro lado, el sólido de revolución que se genera al girar el mismo arco pero ahora alrededor del eje de ordenadas... Calcúlese el valor de a para que los volúmenes de los dos sólidos sean iguales.

    Estaba claro que el arco por sí solo no generaba sólidos sino superficies y así se lo hice saber a Pepe. Pepe entonces dibujó las superficies, les puso tapas circulares y las "rellenó"...

    ¿Cuánto vale a?
    ¿Y si la función fuera y=x³?
    ¿Y si la función fuera y=xⁿ?
    ¿Cuánto vale el límite de a cuando n tiende a infinito?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla empezó con la fórmula de los sólidos de revolución...

    Profe, mire. Si igualo los dos volúmenes obtengo el valor de a = 5/2.
    De forma análoga se procede para y=x³ ...

    Ahora tenemos a = (21/5)^1/2. Y para y=xⁿ ...

    Con lo que a = (n(2n+1)/(n+2))^1/(n–1).
    Para calcular el límite de a cuando n tiende a infinito voy a resolver la indeterminación ∞⁰ con la regla de L'Hôpital. (Tomando logaritmos la indeterminación es ∞/∞.)

ln lim a = lim ln(n(2n+1)/(n+2))^1/(n–1) =

= lim ((ln(n)+ln(2n+1)–ln(n+2))/(n–1)) =

= lim (1/n+2/(2n+1)–1/(n+2)) = 0.

    Por lo tanto lim a = e⁰ = 1.

    Detalla los pasos de Nina... ¿Se puede utilizar la regla de L'Hôpital para calcular límites de sucesiones?