1669. Haces ortogonales (2ª parte)

     Profe, mire. ¿Cuál sería un haz ortogonal al haz de parábolas de eje vertical con vértice en el origen de coordenadas?

    Pepe Chapuza hizo un dibujo chapucero y parecía que una solución era un haz de elipses. ¿Tú que crees?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla partió de las ecuaciones de las parábolas en cuestión...

    Profe, mire. Una parábola de ecuación y = ax² tiene pendientes dy/dx= 2ax. Las pendientes ortogonales serán dy/dx = −1/(2ax) = −x/(2y) ya que a = y/x², esto es, 2ydy = −xdx. Integrando los dos miembros tenemos y² = −x²/2 + b, esto es, x²/2 + y² = b, que es una elipse de excentricidad √2/2.

    Nina propuso hallar un haz ortogonal al haz de hipérbolas equiláteras con asíntotas en los ejes de coordenadas... También hizo un dibujo chapucero... intuitivamente... 

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota razonó así... 

    Mire, profe. La hipérbola de ecuación y = a/x tiene pendientes dy/dx = −a/x². Las pendientes ortogonales serán dy/dx = x²/a = x/y ya que a = xy, esto es ydy = xdx. Integrando se obtiene y²/2 + b = x²/2, esto es, x² − y² = 2b, que es una hipérbola equilátera con asíntotas en las bisectrices de los cuadrantes.