1551. El beso de la circunferencia

    Mire, profe. Ya nos ha dicho que la recta que mejor se aproxima a una curva en un punto es la recta tangente a la curva en ese punto..., pero una circunferencia se aproximaría mejor, ¿no es cierto?

    Ya estaba Pepe Chapuzas "sacando punta al compás"... Le dije que la circunferencia que mejor se aproxima a una curva en un punto (no de inflexión) se llama osculatriz...

    ¿Oscu... cómo?

    Prorrumpió Pepe... Le aclaré que osculatriz significaba que daba ósculos, esto es, besos... Antes de que nadie pidiera explicaciones por tan curioso nombre solicité que se calculara el centro y el radio de la circunferencia osculatriz...

    Estás invitado a participar...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla habló...

    Profe, mire. 
    La recta tangente a una curva en un punto tiene que cumplir dos condiciones: debe pasar por el punto y debe tener la misma pendiente que la curva en ese punto. Esto implica a la función que determina la curva y a su derivada. Pero la circunferencia osculatriz tiene que cumplir una tercera condición: en ese punto debe tener la misma curvatura que la curva... y ello implica a la segunda derivada...
    Si llamamos  u  al vector de posición de un punto de la curva, nada nos impide suponer que el parámetro del que depende es el tiempo. Así, la derivada de  u  es la velocidad  v  y la segunda derivada es la aceleración  w . Llamemos  c  al vector de posición del centro de la circunferencia osculatriz y  r  al radio...

    La primera condición se puede expresar de la siguiente manera

|u–c| = r

(u–c)² = r²

    Esta igualdad es más que una igualdad, porque si derivamos se mantiene la igualdad, y si derivamos de nuevo... la igualdad persiste... Veamos... Derivando...

2 (u–c) · v  =  0

(u–c) · v  =  0

    Esto quiere decir que el vector tangente a la curva es perpendicular al radio de la circunferencia en el punto común, lo cual es equivalente a la segunda condición. Si llamamos  n  al vector normal a la curva en ese punto (girando  v  un ángulo de 90º) tendremos que  c–u = s n  (*) para cierto escalar  s  ya que  c–u  y  n  han de ser paralelos. Derivando otra vez...

v v + (u–c) w = 0

 (c–u) · w = v²

    

   La aceleración centrípeta es la proyección de  w  sobre  c–u , es decir   (c–u) · w : |c–u|  =   =  v² : r . Esto quiere decir que el radio de curvatura de la curva coincide con el radio de la circunferencia, lo cual es equivalente a la tercera condición... Además, de (*) tenemos que  s n · w = v²  por lo que  s = v² : (n·w)  =  n² : (n·w)  y por tanto  c = u + n² n : (n·w)  nos ubica el centro de la circunferencia osculatriz... Y su radio será  r = |n|³ : |n·w|

    Añadió Nina que el lugar geométrico de los centros de las circunferencias osculatrices de los puntos de una curva se denominaba evoluta de dicha curva. Acto seguido pedí que se buscara la evoluta de una parábola y de una elipse... 

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso dibujó una elipse y su evoluta. Resulta que la evoluta de una elipse es una astroide...

    También calculó la ecuación de la evoluta de la parábola  y = x² ... 

    Mire, profe. 

u = ( t , t² )

v = ( 1 , 2t )

n = ( –2t , 1 )

w = ( 0 , 2 )

n² : (n·w) = (1 + 4t²) : 2 = 1/2 + 2t²

c = ( x , y ) = ( t , t² ) + (1/2 + 2t²) ( –2t , 1 )

x = t – t – 4t³ = – 4t³

t = – ³√(x/4)

y = t² + 1/2 + 2t² = 1/2 + 3t²

y = 1/2 + ³√(27x²/16)

    Para finiquitar agregué que la evoluta de una curva era también la envolvente de las rectas normales a la curva... En el razonamiento de Nina  (u–c) · v  =  0  es la ecuación normal de la recta normal y  v v + (u–c) w = 0  la ecuación que se obtiene al derivar...