666. De tercer grado. RESOLUCIÓN

    Propuse a mis alumnos estudiar el signo, la monotonía y la curvatura de un polinomio de tercer grado... Era muy sencillo porque solo había que derivar polinomios y resolver inecuaciones polinómicas sencillas... Cuando Pepe Chapuzas terminó el ejercicio propuso este mucho más interesante:

    Busca un polinomio de tercer grado con coeficientes enteros que tenga...

Una raíz en x = 4

Un extremo relativo en x = 2

Un punto de inflexión en x = 1

    Se puede hacer de diversas formas... y hay infinitas soluciones... Encuentra una.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla encontró la siguiente:

    Mire, profe. Si llamamos P(x) al polinomio, se tiene que P(4)=0, P'(2)=0 y P"(1)=0, y por lo tanto se puede calcular de la siguiente manera (como para obtener un polinomio de tercer grado integrando tres veces aparece el denominador 3! = 6, basta con añadir el factor 6 para que los coeficientes sean enteros):

    Estudia el signo, la monotonía y la curvatura de esta función.

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. Esto es como una comprobación de la solución de Nina. Tengo que averiguar los valores que anulan P(x) = x³–3x²–16, P'(x) = 3x²–6x = 3x(x–2) y P"(x) = 6x–6 = 6(x–1)... P"x) solo se anula en el dato del enunciado x = 1, P'(x) se anula en x = 0 además del dato del enunciado x=2 y P"(x) solo se anula en el dato del enunciado x = 4 porque (x³–3x²–16):(x–4) = x²+x+4 cuyo discriminante 1²–4·1·4 = –15 es negativo. (Esta división la he hecho con la regla de Ruffini.)

    En el siguiente diagrama estudio el signo de P, el signo de P' (monotonía de P) y el signo de P" (curvatura de P).

    Por tanto la función P... 
    Es positiva en (4, ∞), negativa en (–∞, 4) y nula en {4}.
    Es creciente en (–∞, 0) y (2, ∞), decreciente en (0, 2), y tiene un máximo relativo en {0} y un mínimo relativo en {2}.
    Es convexa en (–∞, 1) y cóncava en (1, ∞), y tiene un punto de inflexión en {1}.