jueves, 9 de marzo de 2023

1694. Gráficas y áreas. (2.ª parte)

     Nos recordaba Pepe Chapuza cómo la regla de Barrow nos permitía calcular áreas bajo curvas...

    Mire, profe. Esta es el área bajo un arco de parábola...


    Es una integral inmediata. Esta otra se hace por partes:


    Recuerdo que trabajamos con radianes...

    ¿Cómo se hace una integral definida con cambio de variable?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla hizo esta:

    Mire, profe. Como ve, no hay que deshacer el cambio de variable, solo hay que calcular los nuevos límites de integración. 

    ¿Y si la función está definida a trozos?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota hizo esta...

    Mire, profe. La integral definida nos da la resta de las áreas bajo la gráfica (sobre el eje de abscisas) menos las áreas sobre la gráfica (bajo el eje de abscisas). En realidad, el área sería 104.

    Queda para el lector hacer un esbozo de las gráficas y de las áreas que estamos calculando.

miércoles, 8 de marzo de 2023

1693. Gráficas y áreas

    Pepe Chapuza estaba impartiendo una clase acerca del cálculo de áreas mediante la integral definida... Empezó con "profe, mire" pero le recordé que ahora el profe era él y que tenía que explicar a sus compañeros que ahora eran sus alumnos...

    Vamos a ver la interpretación geométrica de la integral definida: cuál el significado del número que obtenemos al integrar.

    Si la función es positiva la integral definida nos proporciona el área de la región limitada por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas verticales indicadas por los límites de integración.


    Si la función es negativa y a < b, la integral definida  ʃ ab f(x) dx  sale negativa y el área se calcula de cualquiera de estas tres maneras   – ʃ ab f(x) dx  = ʃ ba f(x) dx = | ʃ ab f(x) dx | . Yo prefiero la tercera.

    Si la función cambia de signo, la integral definida  ʃ ab f(x) dx  nos da la resta de las áreas que quedan por encima del eje de abscisas menos las que quedan por debajo. En este ejemplo ...
... el área total se calcula así:  ʃ au f(x) dx | + ʃ uv f(x) dx | + ʃ vw f(x) dx | + ʃ wb f(x) dx | .

    Si las gráficas de dos funciones f y g se cortan en dos puntos de abscisas a y b ...
... entonces el área encerrada es  ʃ ab f(x) dx  –  ʃ ab g(x) dx |  =  ʃ ab (f(x) – g(x)) dx | . Ponemos las barras de valor absoluto para no tener que averiguar cuál función está encima y cuál debajo, ni cuál límite de integración está a la izquierda y cuál a la derecha.

    Para recintos complicados, se separa el área en regiones como las anteriores y se integra por separado: es la estrategia de "divide y vencerás". 

    Y propuso el área encerrada entre las parábolas  x = y2  e  y = x2 . 


    Y también el área encerrada entre las gráficas de  f(x) = x3 – 4x + 6  y  g(x) = x2 + 5x – 3  para la que no hizo ningún dibujo...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla no se arredró...

    Profe, mire. La primera parábola se corresponde con la función  y = x . Para calcular las abscisas de los puntos de corte resolvemos la ecuación

x = x2
x = x4
x4 – x = 0
x (x3 – 1) = 0
x = 0         x = 1
    Por lo tanto el área encerrada es

 ʃ 01 (x – x2) dx  = 2x3/2/3 – x3/3 ]01  =  2/3 – 1/3  =  1/3 u2

    Para la segunda área primero calculo las abscisas de los puntos de corte...

x3 – 4x + 6  =  x2 + 5x – 3 
x3 – x2 – 9x + 9  =  0

    Por lo tanto el área encerrada es

ʃ-31 (x3 – x2 – 9x + 9) dx |  +  ʃ 13 (x3 – x2 – 9x + 9) dx |  =
=  x4/4 – x3/3 – 9x2/2 + 9x ]-3|  +  x4/4 – x3/3 – 9x2/2 + 9x ]13 |  =
=  1/4 – 1/3 – 9/2 + 9 – 81/4 – 9 + 81/2 + 27 |  +  | 81/4 – 9 – 81/2 + 27 – 1/4 + 1/3 + 9/2 – 9 |  =  ...

    Nina propuso hallar el área encerrada del dibujo
SOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota miró las intersecciones...

    Profe, mire. Calculamos las abscisas de los tres puntos de corte

1/x = 4    ==>   x = 1/4
1/x = x2   ==>   x = 1
x2 = 4    ==>   x = 2

    Por lo tanto el área encerrada es

 ʃ 1/41 (4 – 1/x) dx  +  ʃ 12 (4 – x2) dx  =
=  4x – ln |x| ]1/41  4x – x3/3 ]12  =
=  4 – 0 – 1 + ln(1/4) + 8 – 8/3 – 4 + 1/3  =  ...

    Dejamos al lector que termine los cálculos...

martes, 7 de marzo de 2023

1692. Seis grados de libertad.

     Comenté que el movimiento de un sólido rígido tenía seis grados de libertad y Pepe Chapuza se tomo la libertad de especificar...

    Profe, mire. En un navío tenemos tres ejes: el de eslora (de proa a popa), el de manga (de estribor a babor) y el de calado (de bao a quilla). Cada eje puede ser de traslación y de giro, así que cualquier movimiento del navío se puede descomponer en tres traslaciones y tres giros, de ahí los seis grados de libertad... En el eje de eslora tenemos una traslación (avance o retroceso) y un giro (escora); en el eje de manga tenemos una traslación (ronza) y un giro (arfada); y en el eje de calado tenemos una traslación (ascenso o descenso) y un giro (deriva). Los tres ejes pasan por el centro de masas...

    ¿Puede alguien hacer un dibujo ilustrativo?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla navegó y dibujó...


    Mire, profe los giros se denominan de otra manera en los aviones.

    ¿Qué vocabulario se usa en aeronáutica?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota pilotó...

    Profe, mire. En la aviación se utiliza alabeo en vez de escora, guiñada en vez de deriva y cabeceo en vez de arfada...

viernes, 3 de marzo de 2023

1691. Polos y polares...

    Profe, mire. En el plano proyectivo existen unas interesantes biyecciones llamadas dualidades entre el conjunto de puntos y el conjunto de rectas... Las dualidades más famosas son las polaridades, en las que si se corresponden un punto P con una recta p, la recta p se llama polar de P y el punto P se llama polo de p. La polaridad más sencilla se define de la siguiente manera:

    O ↔ o : donde O es el origen de coordenadas y o es la recta ideal del infinito.
    I ↔ i : donde I está en o e i pasa por O. Se cumple que OI ⟂ i.
    P ↔ p : donde P no es un punto de los anteriores ni p es una recta de las anteriores. Se cumple que dist(O, P)·dist(O, p) = 1, que OP ⟂ p y que O no está entre P y p.


    Un caso particular: Si dist(O, P) = dist(O, p) = 1, entonces P es un punto de p.

    Pepe Chapuza nos acababa de presentar a los polos y a las polares. Pedí a mis alumnos que demostraran los siguientes resultados duales:

    "Si el polo P de una recta p está en la polar q de un punto Q, entonces Q está en p; si la polar q de un punto Q pasa por el polo P de una recta p, entonces p pasa por Q".

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla disfruta con la geometría...

    Mire, profe. Los dos enunciados son equivalentes y se argumentan de la misma manera... Sean respectivamente R y S los puntos de p y q más próximos a O. Como se tiene que dist(O, P)·dist(O, R) = dist(O, Q)·dist(O, S) = 1, hay una circunferencia c que pasa por P, Q, R y S respecto de la cual la potencia de O es 1. Como P está en q, el ángulo PSQ es recto, el segmento PQ es una diagonal de c, el ángulo PRQ es recto y Q está en p.

    Nina ha supuesto que P y S son diferentes (si coinciden los resultados serían obvios). Se deja al lector que argumente los resultados en caso de involucrar a los puntos I u O y a las rectas i u o.

    También pedí a mis alumnos que demostraran estos otros resultados duales:

    "Los polos de las rectas de un haz forman una recta; las polares de los puntos de una recta forman un haz".
RESOLUCIÓN

    Mire, profe. Basta con probar que dados P ↔ p y Q ↔ q, si T es el punto común de p y q, y si t es la recta que pasa por P y Q, entonces  T ↔ t. Pero esto es fácil... Si T está en p y en q, entonces P y Q están en la polar de T, por lo tanto la polar de T es t. Recíprocamente, si t pasa por P y Q, entonces p y q se cortan en el polo de t, por lo tanto el polo de t es T.

    Al terminar, Yoyó Gaviota comentó lo siguiente:

    Profe, mire. La dualidad permite relacionar teoremas... El teorema de Ceva y el teorema de Menelao son duales. También son duales el teorema de Pascal y el teorema de Brianchon. El teorema de Desargues es autodual...