1538. Con dos medianas perpendiculares. RESOLUCIÓN

    El reto que ha traído hoy Pepe Chapuzas es bellísimo...

    Mire, profe. Un triángulo isósceles tiene dos medianas perpendiculares... ¿Cuánto miden sus ángulos? (Pista: dos ángulos son iguales, jajaja.)   ;-) 

    Imagínate el triángulo porque Pepe no nos ha dejado ningún dibujo y... ¡A medir!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla dedujo...

    Profe, mire. La mediana sobre el lado desigual es perpendicular a este lado y por lo tanto no puede ser perpendicular a otra mediana, de lo que se deduce que las dos medianas perpendiculares han de ser las medianas sobre los lados iguales...

    Estas medianas perpendiculares son iguales y forman con el lado desigual una escuadra. Como el baricentro divide a las medianas en proporción  1:2  tenemos las proporciones indicadas en el dibujo. Por lo tanto los ángulos iguales miden  arctg 3  =  71.565051177078º  y el ángulo desigual mide  180º – 2 · 71.565051177078º  =  36.869897645844º .

    Nina propuso un problema similar...

    Un triángulo rectángulo tiene dos medianas perpendiculares... ¿Cuánto miden sus ángulos? (Pista: un ángulo mide 90º, jajaja.)   ;-)

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso dedujo...

    Profe, mire. Como los catetos son perpendiculares, las medianas sobre los catetos no pueden ser perpendiculares, así que una de las medianas perpendiculares ha de ser la mediana sobre la hipotenusa.

    Si nombramos los segmentos como en el dibujo tenemos (gracias a Pitágoras).

(2x)² + y²  =  (c/2)²             4x² + y²  =  c²/4

(2y)² + x²  =  (h/2)²             4y² + x²  =  h²/4

y sumando...

5x² + 5y²  =  h²/4 + c²/4

20·(x² + y²)  =  h² + c²

    Por otro lado...

(2x)² + (2y)²  =  1²                x² + y²  =  1/4

de donde 

h² + c² =  5

    Y como

1 + c²  =  h²

tenemos

1 + c² + c²  =  5

2·c²  =  4

c  =  √2

    Por lo tanto los ángulos agudos del triángulo son

arctg√2  =  54.735610317245º
90º – 54.735610317245º  =  35.264389682755º