Mire, profe. Las ocho y cuarto no es una hora sino un punto de la recta real: 8 + 1/4 = 33/4 . Mejor dicho, un punto del eje de abscisas: P (33/4, 0) ... Y estábamos planteando cuál sería el punto Q de la parábola f(x) = x2 más próximo a P ...
No podía creérmelo, pero ya se sabe... Una vez planteado el reto, no quedaba más remedio que resolverlo...
SOLUCIÓN
Nina Guindilla minimizó la distancia:
Profe, mire. La distancia desde el punto (33/4, 0) hasta un punto de la parábola (t, t2) se puede calcular con el teorema de Pitágoras:
√ ( (t – 33/4)2 + (t2)2 ) = √( t2 – 33/2 · t + 332/42 + t4 )
r ' (t) = 4t3 + 2t – 33/2 = 0
t3 + 1/2 · t = 33/8
(La solución minimiza la distancia porque la segunda derivada r " (t) = 12t2 + 2 > 0 .)
La fórmula de Cardano para resolver la ecuación t3 + 3p t = 2q es
Aquí, p = 1/6 y q = 33/16 . Introduciendo los datos en una calculadora obtenemos
t = 3√( 33/16 + √(332/162+1/63) ) + 3√( 33/16 – √(332/162+1/63) ) = 3/2
Comprobamos la solución con la regla de Ruffini:
discriminante = 62 – 4·4·11 = – 140 < 0
El punto más próximo es Q(3/2, 9/4) .
Nina controla la optimización, pero... ¿se podrá calcular Q sin optimizar?
RESOLUCIÓN
Yoyó Peluso planteó el problema de otra manera:
Mire, profe. Si Q (t, t2) es el punto de la parábola f(x) = x2 más próximo a P (33/4, 0) , entonces P estará en la recta normal de la parábola que pasa por Q . La ecuación de dicha recta será:
n(x) = f(t) – (x–t) / f '(t)
n(x) = t2 – (x–t) / (2t)
n(x) = t2 – x / (2t)+1/2
n(x) = t2 – (x–t) / (2t)
n(x) = t2 – x / (2t)
Por tanto
0 = t2 – 33/(8t) + 1/2
0 = t3 + t/2 – 33/8
que es la misma ecuación que encontró Nina...
Dejamos al lector la justificación de este método...
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