lunes, 22 de enero de 2018

1503. El máximo local... RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas planteó el siguiente problema de optimización...

    Calcúlese el máximo relativo de la función  f (x)  =  14x10 – 60x7 + 105x4 – 1120x2 – 1260x .

    El enunciado era corto y claro... Además daba una pista: decía "máximo" en singular. ¡Solo había un máximo local! Pero... ¡de un polinomio de décimo grado!
    En fin, seguro que habrá prestidigitación de por medio... ¿Se atreve alguien?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla derivó la función  f  para calcular los puntos críticos:

    Mire, profe:
f ' (x)  =  140x9 – 420x6 + 420x3 – 2240x – 1260
    Anulando...
140x9 – 420x6 + 420x3 – 2240x – 1260  =  0
y dividiendo entre  140 ...
x9 – 3x6 + 3x3 – 16x – 9  =  0

    Esta ecuación tiene una solución entera  x = –1  que se puede obtener con la regla de Ruffini... pero no tiene más soluciones enteras...

    Para colmo, en este punto  x = –1 , la función  f  no alcanza un máximo sino un mínimo porque el valor de la segunda derivada es positivo:

f " (x)  =  140 (9x8 – 18x5 + 9x2 – 16)
f " (–1)  =  140 (9 + 18 + 9 – 16)  =  2800  >  0

    Nina necesitaba ya la prestidigitación...

    Profe, mire lo que hago con la ecuación:


x9 – 3x6 + 3x3 – 16x – 9  =  0
(x3–1)3 – 16x – 8  =  0
(x3–1)3  =  8 (2x+1)
x3–1  =  2 (2x+1)
(x3–1)/2  =  (2x+1)

    Consideramos la función  g(x) = (x3–1)/2 . Es una función estrictamente creciente y por lo tanto inyectiva. Esto quiere decir que la función  g  tiene inversa  g–1 , y... "casualmente" esa inversa es  g–1(x) = (2x+1) . Ahora bien, las gráficas de dos funciones inversas entre sí son simétricas respecto de la gráfica de la identidad  i(x) = x  (la bisectriz de los cuadrantes I y III), y por lo tanto, si  tienen algún punto común, será común también a esta bisectriz. Esto simplifica tremendamente la ecuación...
g(x) = g–1(x)
g(x) = i(x)
(x3–1)/2 = x
x3–2x –1 = 0

    Ya sabemos que  x = –1  es un valor crítico:

    Los otros son  x = (1 + 5) / 2 = φ  (la razón áurea) y  x = (1 – 5) / 2 = –1/φ .

    Nina ya había hecho lo gordo... Solo faltaba saber en cuál de los dos valores se alcanzaba el máximo local...
    Termínalo tú...

RESOLUCIÓN


    Yoyó Peluso calculó los valores de la segunda derivada para  x = φ  y  x = –1/φ . Para ello recurrió a la fórmula de las potencias de  φ :

φn = Fn+1 + Fφ

donde  F  representa la generalización de la sucesión de Fibonacci para cualquier entero  n . 


f " (φ)  =  140 (9φ8 – 18φ5 + 9φ2 – 16)  =
=  140 ( 9(FFφ) – 18(FFφ) + 9(FFφ) – 16 )  =
=  140 ( 9(34 + 21φ) – 18(8 + 5φ) + 9(2 + 1φ) – 16 )  =
=  140 ( (306 – 144 + 18 – 16) + (189 – 90 + 9)φ  )  =
=  140 ( 164 + 108φ )  >  0

    Por lo que en  x = φ  se alcanza otro mínimo local. Como  –1 < –1/φ < φ  y f es continua y derivable, no le queda más remedio que en  x = –1/φ  se alcance el máximo local que buscamos... Pero comprobémoslo:


f " (–1/φ)  =  140 (9φ–8 + 18φ–5 + 9φ–2 – 16)  =
=  140 ( 9(F–7 F–8 φ) – 18(F–4 F–5 φ) + 9(F–1 F–2 φ) – 16 )  =
=  140 ( 9(13 – 21φ) – 18(– 3 + 5φ) + 9(1 – 1φ) – 16 )  =
=  140 ( (117 + 54 + 9 – 16) + (– 189 + 90 – 9)φ  )  =
=  140 ( 164 – 108φ )  =  –1504,674  <  0

    El lector puede calcular si lo desea el valor del máximo y de los mínimos relativos...

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