354. SOLUCIÓN de 54. Un problema con mucho arte

    Pepe Chapuzas había pintado un cuadro abstracto para un concurso. Luego me confesó que era un problema de Mates pero como se le estropeó el dibujo (lo manchó de zumo) lo aprovechó reutilizándolo. Aquí podéis ver cómo le quedó la chapuza. El enunciado del problema aún estaba por detrás de la lámina.

    Los círculos son tangentes entre sí y sus radios miden 6, 7 y 8 centímetros respectivamente. Los vértices del triángulo son los centros de los círculos. Calcula el área del triángulo y los senos de sus tres ángulos.

    Pepe se había preparado los datos para que el área saliera un número natural y los senos fueran números racionales. Calcúlalo todo y envíame los resultados.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla adivinó que Pepe no iba a ganar el concurso...

    Profe, mire. El área de un triángulo de lados a, b, c y semiperímetro s=(a+b+c)/2 se puede calcular con la fórmula de Herón:

    Es fácil comprobar que s–a, s–b y s–c son los radios de los círculos (6cm, 7cm y 8cm), y como s=6+7+8=21cm, tenemos que s(s–a)(s–b)(s–c)=21·6·7·8=7056, y el área será la raíz cuadrada de 7056 que es 84 centímetros cuadrados.
    Por otro lado tenemos otra fórmula mucho más conocida para el área de un triángulo:

   Con lo que podemos calcular los senos a partir de los lados a=15cm, b=14cm y c=13cm.

senA=2·84:14:13=12:13

senB=2·84:15·13=56:65

senC=2·84:14:15=4:5

    Para rematar este problema "con mucho arte" calcula el área de la región morada del cuadro de Pepe.

353. SOLUCIÓN de 53. ¡Frío, frio! ¡Caliente, caliente!

    Pepe Chapuzas ha inventado una versión algo diferente del juego de "frío-frío caliente-caliente", solo que en vez de esconder una cosa para que otro la encuentre, ahora se trata de inventar una historia para que los demás adivinen en qué parte del planeta ha sucedido. Puso el siguiente ejemplo:

    Se veía venir. Dos caballeros tan pendencieros no podían acabar sino batiéndose en duelo. Se pusieron espalda contra espalda y avanzaron 20 pasos en línea recta y en sentidos contrarios, ambos hacia el norte, antes de disparar.

    Un compañero interrumpió a Pepe. "Lo del norte" no le convencía en la historia. Pepe le aseguró que la historia era "verídica". Otro compañero añadió que era un ejemplo "bélico". Pepe argumentó que las pistolas eran "de agua" y que ni siquiera funcionaron.

    ¡Juega tú! ¿Por qué no funcionaron las pistolas? ¿En qué lugar ocurrió la escena? ¡Frío, frío! ¡Caliente, caliente!   

SOLUCIÓN
 
    ¡Se pusieron espalda contra espalda en el polo sur! Por eso avanzaron ambos hacia el norte... Y las pistolas de agua no funcionaron porque se congelaron...

    Nina Guindilla acertó, o como se dice en el juego de "frío-frío caliente-caliente", se quemó...(Algo extraño tratándose del polo sur.) Ahora le tocaba a ella inventar una historia:

    Mi mejor amiga se encuentra en mis antípodas: el punto de la Tierra diametralmente opuesto al lugar donde me encuentro... Si me encuentro en la capital de Nueva Zelanda, ¿Dónde está mi mejor amiga?

    ¡Frío, frío! ¡Caliente, caliente!

352. SOLUCIÓN de 52. La superbici de Pepe Chapuzas

    Iba a proponer en clase un problema de velocidades con bicicletas... Un alumno pesimista me dijo que sería muy difícil porque era de bicis y solamente habíamos hecho de motos... Otro estaba encantado porque era un problema más ecológico ya que las bicis no contaminaban al contrario que las motos... Al fin, cuando cesaron las interrupciones, pude dictar el enunciado... Se trataba de una etapa ciclista de ida y vuelta. Consistía en subir y bajar un puerto de montaña por la misma carretera. El objetivo era hacer una velocidad media de 20 km/h en la etapa. Durante la subida el ciclista había conseguido una velocidad media de 10,01 km/h. La cuestión era a cuánta velocidad debía bajar para conseguir el objetivo.

    El alumno pesimista comentó que faltaban datos. El alumno ecologista (que, según su madre, quería arreglar el mundo menos su habitación...) contestó, sin hacer cálculos, que tendría que bajar, más o menos, a 30 km/h. Entonces saltó Pepe Chapuzas:

    Profe, tendría que bajar a más de 1000 km/h.

    Ya os podéis imaginar el revuelo que se formó en la clase. Pero el caso es que Pepe no estaba bromeando... Había acertado otra vez, aunque no sé cómo diablos lo hizo de cabeza.

    Realiza los cálculos y dame la solución exacta.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla y Pepe Chapuzas solían pasear juntos en bicicleta. Ambos pensaban que su bici era la mejor... aunque no tan buena como la bicicleta del problema.

    Profe, mire. Como la subida y la bajada se hace por la misma carretera, la velocidad media (20 km/h) será la media armónica entre la velocidad de subida (10,1 km/h) y la de bajada (V). (La media armónica es el inverso de la media aritmética de los inversos...)

    No cabe duda de que era una superbici...

    Justifica el uso de la media armónica para resolver este problema.
    Busca otras aplicaciones de la media armónica...

351. SOLUCIÓN de 51. Las paradojas de la sandía

    Un día veo a Pepe Chapuzas con una sandía abierta expuesta al sol y le pregunté que qué chapuza estaba haciendo. Su respuesta no me sorprendió en absoluto. Sabía que sería algún "experimento científico"...

    Profe, estaba comprobando si lo que dice mi vecina es verdad... Según ella, una sandía al sol se enfría, por paradójico que parezca. Dice que es por efecto de la evaporación del agua... Pero se me ha roto el termómetro así que la prueba tendrá que esperar otro día... y otra sandía.

    Es cierto que yo también había oído esa creencia popular de la sandía abierta al sol, pero nunca la había tomado en serio. Entonces recordé otra "paradoja" de las sandías al sol que comenté en clase al día siguiente en forma de problema... Empecé informando de que casi toda la masa de una sandía era líquido (básicamente agua), ¡nada menos que el 99%! Comenté que Pepe se había dejado una sandía de 8 kilos a pleno sol y que se había evaporado parte de su agua de modo que al final el líquido suponía solamente el 96% de la masa total. Terminé preguntando cuánto pesaría entonces la sandía... No había terminado de formular la pregunta y Pepe ya tenía la mano alzada. Le di la palabra...

    Profe, la sandía no me la dejé al sol sino que me la llevé a casa, pero si me la hubiera dejado, y con los datos del problema, ya no pesaría más de 2 kilos y medio...

    Los compañeros rompieron a reír mofándose de Pepe... Pero Pepe no se había equivocado. Demostró tener mejor intuición que sus compañeros...

   Haz los cálculos y comprueba que Pepe tenía razón...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla tampoco sabía si la primera paradoja era cierta, pero había oído también que la sandía al sol se enfriaba por efecto de la evaporación... Por la segunda paradoja le pidió disculpas a Pepe por haberse reído. Estos son los cálculos que hizo:

    Antes:
                        Parte sólida + parte líquida ------ 100% ------------ 8 kg
                        Parte sólida --------------------------------1% ------------ 0,08 kg
    Después:
                        Parte sólida --------------------------------4% ------------ 0,08 kg
                        Parte sólida + parte líquida ------ 100% ------------ 2 kg

    La sandía pesaría solamente 2 kg.

    Busca problemas "paradójicos" y proponlos a tus compañeros...

350. SOLUCIÓN de 50. Fracciones casi egipcias

    Una dificultad que tenemos los profes al mandar deberes es que Internet, mejor dicho Google, ofrece a menudo la solución a golpe de "clic". A veces pido a mis alumnos que propongan ejercicios no "googleables". Pepe Chapuzas, que siempre intuye el quid de la cuestión, es un hacha. Le basta con modificar un ejercicio clásico como el de las fracciones egipcias para que la solución no aparezca inmediatamente en la pantalla del ordenador:

    Una fracción egipcia es la descomposición de una fracción en suma de varias fracciones unitarias distintas. (Una fracción unitaria tiene 1 en el numerador). Por ejemplo: 3/10 = 1/5 + 1/10 = 1/4 + 1/20. Es fácil localizar fracciones egipcias en Internet, así que propongo llamar "fracciones casi egipcias" a las descomposiciones que incluyan la resta. Por ejemplo: 3/10 = 1/2 – 1/5 = 1/3 – 1/30.

    Ejercicio: Busca fracciones egipcias y casi egipcias equivalentes a las siguientes fracciones: 

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla obtuvo las fracciones egipcias y casi egipcias sin necesidad de buscarlas en Internet:

    8/11 = 1/2 + 1/8 + 1/11 + 1/88 = 1/2 + 1/6 + 1/14 + 1/231 – 1/66

    2/9 = 1/5 + 1/45 = 1/2 + 1/18 – 1/3

    3/13 = 1/7 + 1/13 + 1/91 = 1/4 + 1/26 – 1/18 – 1/468

    5/12 = 1/3 + 1/12 = 1/2 – 1/12 

    4/7 = 1/2 + 1/14 = 1/3 + 1/4 + 1/42 – 1/28

    Estas descomposiciones no son únicas para cada fracción. Busca otras soluciones distintas para las cinco fracciones...

349. SOLUCIÓN de 49. Medio problema de ajedrez

    Estábamos en clase poniendo ejemplos de números naturales. Llegado el turno de Pepe Chapuzas puso como ejemplo el número de jugadas en una partida de ajedrez. Y es que el ajedrez es una de las muchas grandes pasiones de Pepe. Pero era un ejemplo con trampa, porque al día siguiente trajo el siguiente reto:

    Juegan blancas y dan jaque mate en media jugada...

     En seguida sus compañeros protestaron, diciendo que no era posible media jugada porque el número de jugadas era un número entero y no fraccionario. Se habían olvidado de que hay alguna jugada de ajedrez donde se pueden mover dos piezas... y ya no doy más pistas... ¡A jugar!

SOLUCIÓN

    En más de una ocasión he pillado a Nina Guindilla y Pepe Chapuzas jugando al ajedrez en el recreo...

    Profe, mire. El enroque es una jugada de ajedrez (la única) donde se mueven dos piezas. Primero se mueve el rey (2 casillas) hacia la torre y luego la torre salta sobre el rey y se coloca a su lado. Media jugada quiere decir por lo tanto medio enroque... Ya se ha movido el rey y ahora le toca a la torre... ¡Está claro que es jaque mate porque las negras no pueden enrocarse! 

    Dibuja la posición de las piezas antes y después de efectuar el enroque...

    Busca información acerca del juego del ajedrez y aclara...

    Hay dos tipos de enroque: el corto y el largo... ¿Cómo se anotan los enroques en las partidas?

    No siempre se puede realizar un enroque... ¿Qué condiciones son necesarias?

    ¿Por qué el enroque se llama enroque?

348. SOLUCIÓN de 48. La casa de Zero y los logaritmos

    Aquí tenéis un relato que encontré en el cuaderno de Pepe Chapuzas. Por supuesto termina con un ejercicio de Mates...

    Hola. Me llamo Zero y os voy a hablar de mi casa y de los seres tan complejos que la habitan. Todos los habitantes tenemos unas zonas predeterminadas en la casa... Empecemos con el desván. En el desván está prohibido entrar. Yo creo que allí moran fantasmas, espectros y otros seres imaginarios. Ellos no pueden salir ni nosotros, los seres reales, entrar. El desván es el lugar más misterioso de la casa... Un lugar interesante también es la pecera. En la pecera viven los únicos animales de la casa. Me refiero, ya se entiende, a los únicos animales irracionales. Los racionales, es decir, los humanos, no nos metemos en peceras... Un lugar curioso es el relicario. El relicario es un armarito con fracciones de humanos. No es broma. Entre las reliquias hay huesos quebrados de santos... Pero sigamos. Las zonas más cómodas de la casa nos están reservadas a los humanos enteros. Somos muy diferentes unos de otros y estamos separados. Unos por su carácter son más bien positivos y naturales y se alojan en el ala derecha, mientras que los otros, los negativos, se ubican en la izquierda. Yo siempre estoy en medio y para todos soy una nulidad. Un día invitamos a unos logaritmos y se quedaron a dormir... ¿A ver si adivinas a dónde fue a parar cada uno?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla controla bien los logaritmos, así que no tuvo ninguna dificultad en contestar a la pregunta...

    a) No existen logaritmos de números negativos en el conjunto de los números reales... He indagado el asunto y resulta que log (–7) es un número imaginario por lo que tuvo que ir al desván de la casa de Zero.

    b) El valor de log 7 es irracional... ¡A la pecera!

    c) Este logaritmo es fácil: log 0,1 = –1. Este logaritmo se alojó en el ala izquierda...

    d) Si recordamos bien las potencias, sabremos que log √10 = 1/2 = 0,5. Este logaritmo se fue derechito al relicario...

    e) Este es el que más me gusta: log 99,999... = log 100 = 2... Se fue a dormir, claro está, al ala derecha.

    Para no desentonar, Zero se disfrazó de logaritmo... ¿De cuál?

347. SOLUCIÓN de 47. Quien la sigue la consigue...

    En las pruebas de inteligencia y en los pasatiempos matemáticos suele aparecer el test de lógica conocido como "siga la serie". Es una de las actividades favoritas de Pepe Chapuzas. El otro día propuso este reto a sus compañeros. Bueno, en realidad eran dos en uno:

    Completa las dos series teniendo en cuenta que las dos soluciones representan la misma cantidad. Sigue las series...

    Pues eso, sigue las series. Dame la respuesta, razonada por supuesto, como comentario y recuerda que quien la sigue... la consigue.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla disfruta con los retos de "siga la serie"... El primero lo resolvió rápido... No podemos decir lo mismo del segundo...

    Profe, mire. La primera serie está formada por las iniciales de los nombres de los primeros números naturales: Uno, Dos, Tres, Cuatro, Cinco, Seis, Siete, Ocho y... Nueve. La respuesta es N. Esto me dio una pista para la segunda serie... La segunda serie es una sucesión constante... ¡Sí! Está formada por nueves, ¡lo que cambia es la base de numeración! Nueve es 9 en base 10, 10 en base 9, 11 en base 8, 12 en base 7, 13 en base 6, 14 en base 5, 21 en base 4, 100 en base 3 y... 1001 en base 2. La solución es 1001.

    Prepara un reto de "siga la serie" para tus compañeros.

346. SOLUCIÓN de 46. La raíz cuadrada de una matriz cuadrada

    A Pepe Chapuzas le gustan los juegos de palabras. Pero en Mates, disfruta con ellos... viendo la cara de perplejidad de sus compañeros. Además suele hacer preguntas enrevesadas a destiempo. Ayer saltó con esta...

    Profe, si A fuera el cuadrado de una matriz cuadrada B, es decir, si A = B·B = B², entonces A sería también una matriz cuadrada pero ¿la matriz cuadrada B sería la raíz cuadrada de la matriz cuadrada A? Si esto es así, yo he encontrado varias raíces cuadradas de I₂, la matriz identidad de orden 2. Mire:

    Le contesté que sí, que se llamaban raíces matriciales, pero que había que tener cuidado porque había matrices cuadradas que no tenían raíces cuadradas, había otras que tenían una cantidad finita y, finalmente, había matrices cuadradas que tenían infinitas raíces cuadradas. Pepe me miró incrédulo. Ahora la cara de perplejidad era la suya pero no hizo ningún comentario. Se quedó pensativo...

    Comprueba, si no lo has hecho todavía, que todas las matrices del ejemplo de Pepe son raíces cuadradas de  I₂.
    Calcula todas las raíces cuadradas de I₂.
    Encuentra alguna matriz de orden 2 que no tenga raíces cuadradas.

    ¡Ánimo! ¡No es difícil!

SOLUCIÓN

    Mire, profe. Plantear una ecuación matricial es plantear un sistema...

aa+bc = 1

ab+bd = 0

ac+cd = 0

bc+dd = 1

    Si d = –a, se verifican las ecuaciones segunda y tercera, y las ecuaciones primera y cuarta serían equivalentes, con bc = 1–aa.

    Si d y a no son opuestos, las ecuaciones segunda y tercera se verifican si b = c = 0, en tal caso las ecuaciones primera y cuarta se verifican si a = d = 1 o a = d = –1.

    Todas las matrices de Pepe cumplen una de las dos condiciones...

    Profe, además he encontrado una matriz que no tiene raíz cuadrada:

    Comprueba que efectivamente la matriz de Nina Guindilla no tiene raíces cuadradas.

    Comprueba que la siguiente matriz tiene exactamente 4 raíces cuadradas:

345. SOLUCIÓN de 45. La tabla periódica de los poliedros

    Para el verano, entre otros, mandé hacer un trabajo sobre los poliedros regulares, también llamados sólidos platónicos, y la mayoría de mis alumnos como es habitual buscó la información directamente en la Wikipedia. Sin embargo Pepe Chapuzas hizo un trabajo original (demasiado original) y que reproduzco a continuación:

LA TABLA PERIÓDICA DE LOS POLIEDROS

    Platón tenía 5 poliedros regulares (el tetraedro, el octaedro, el cubo, el icosaedro y el dodecaedro) para los 4 elementos de la materia (el fuego, el aire, la tierra y el agua), así que tuvo que echar mano del misterioso éter para poder elaborar su preciosa teoría de los átomos poliédricos.

    Si Platón hubiera sabido que los elementos no eran precisamente esos, y que había más de un centenar, ¡quién sabe qué poliedros habría escogido para elaborar la teoría...!
    Pero... ¿cuántos elementos hay? Los últimos elementos químicos en ser bautizados, el copernicio (Cn), el flerovio (Fl) y el livermorio (Lv), ocupaban desde hace años las casillas 112, 114 y 116 de la tabla periódica... Un inciso: eso de llamar periódica a la tabla de los elementos químicos me parece una chapuza. En Mates, un período es una cantidad fija, sin embargo en la tabla "periódica" los "períodos" van creciendo: 2, 8, 18 y 32. Es más bien una tabla "escalonada" como se aprecia en la tabla de Janet... En fin, no voy a cambiar ahora el título de mi trabajo...

      Encontré la tabla de Janet en Internet... Con esta tabla escalonada se explican a veces la regla de llenado de orbitales (s, p, d y f) y las configuraciones electrónicas de los átomos en su estado fundamental. Janet, en su tabla, coloca el bloque f a la izquierda y el bloque s a la derecha, separando al helio (He) del grupo de los gases nobles. Como hay 4 escalones y cada escalón tiene 2 "períodos", en esta tabla hay cabida para 120 elementos. ¿Necesitaríamos al menos 120 poliedros?

    120 es un número que me gusta porque es el factorial de 5, es decir, 5! = 5·4·3·2 = 120. (No se olvide de estos números: 5, 4, 3 y 2). Creo que Platón se habría detenido también en 120 poliedros dignos de llamarse elementales o atómicos... con tal de que no fueran "demasiado irregulares". Lo mínimo que se les podría exigir es que tuvieran por caras polígonos regulares y que fueran convexos, esto es, sin entrantes. Busqué en Internet poliedros así y descubrí que existían, además de los 5 sólidos de Platón, también los 13 de Arquímedes, los 92 de Johnson y las series infinitas de prismas y antiprismas. También leí que los poliedros de Platón, Arquímedes y Johnson estaban formados exclusivamente por polígonos de 3, 4, 5, 6, 8 y 10 lados (advierta que 6, 8 y 10 son los dobles de 3, 4 y 5). ¡Es como si los demás polígonos estuvieran "prohibidos"! Pues bien, con los polígonos "permitidos" tenemos que añadir 5 prismas y 5 antiprismas... ¿Sumamos? 5 + 13 + 92 + 5 + 5 = 120. ¡Ya tenemos los 120 poliedros! Y lo que es mejor (o peor), ¡tenemos una excusa para elaborar una nueva teoría platónica!: ¡la teoría chapuzónica (si se me permite)!

    Me lo temía profe: me he obsesionado. ¡Si hasta sueño con las configuraciones electrónicas y con la escalera de Janet, en vertical y en horizontal, llena de sólidos de Johnson...! Tendría que tener más cuidado con los trabajitos que nos manda...
    Además, los nombres de los poliedros son horrorosos: ortobicúpulas, hebesfenomegacoronas, etc. Menos mal que Johnson catalogó sus sólidos del (J-1) al (J-92). Los demás poliedros se pueden determinar por los polígonos que se juntan en un vértice: el cubo sería el (4.4.4) porque en cada vértice hay 3 cuadrados. Espero no perder el juicio... 

    Emparejar 120 poliedros con 120 elementos químicos me parecía una tarea imposible pero alguna "pista" me impulsó a comenzar... ¿Qué tenían de peculiar los elementos de cada escalón? Los del primer escalón solo tenían orbitales s y solo los del cuarto escalón tenían orbitales f... ¿Sabe que empiezo a ver algún parecido entre orbitales y poliedros?... No sé...
    ¿Qué relación podría haber entre poliedros y orbitales? ¡Seguro que ninguna! Pero sigamos... Mire, si contamos los poliedros que contienen pentágonos y decágonos regulares (sin olvidarnos del icosaedro cuyos pentágonos regulares están ocultos) salen 64..., ¡como el número de casillas del cuarto escalón de Janet!... Por otro lado tenemos "familias" de 2, de 3 y hasta de 4 poliedros: por ejemplo, la familia de las pirámides (triangular, cuadrada y pentagonal) sería una familia de 3 poliedros.

     Se acuerda todavía de los números 5, 4, 3 y 2, ¿verdad?... Pensé que si el cuarto escalón estaba relacionado de algún modo con el número 5 (o sea, con pentágonos y decágonos), el tercer escalón lo estaría con el 4 (cuadrados y octágonos), el segundo con el 3 (triángulos y hexágonos) y, siguiendo la "lógica", el primero con el 2 (aristas y cuadrados). ¿Cuadrados otra vez?... A lo que vamos, cada familia tendría un miembro (un poliedro) en cada escalón... e intercalando dos familias se llenaría una columna de la tabla de Janet, es decir, un grupo de elementos.

   No era muy optimista..., pero buscando y rebuscando encontré que "casualmente" había ni más ni menos que 12 familias de 3 poliedros para los 36 elementos del bloque p (el bloque p es donde se encuentra la "muralla china" entre metales y no metales). Ya he dibujado 4 familias. Aquí están las otras 8:

    Y también había 4 familias de 4 poliedros para los 16 elementos del bloque s. A decir verdad, había poliedros que encajaban en diferentes familias, como el prisma triangular (3.4.4), que bien podría estar entre las cúpulas, y el girobifastigium (J-26), entre las girobicúpulas. No me preocupaba esto pues también había elementos que podían acoplarse bien en distintos grupos, como el hidrógeno (H) o el ya mencionado helio (He)... 

    Para el bloque f, el de las 28 tierras raras, necesitaba poliedros sin familia... ¡Y siguen cuadrando las cuentas!: ahí estaban las rotondas ...

... y los rombicosidodecaedros (el nombrecito se lo debemos a Kepler), ¡justamente 28 entre todos! Algunos de estos poliedros son tan parecidos que se necesita fijarse bien para distinguirlos...

    Finalmente para el bloque d, el de los 40 elementos de transición, solo encontré 11 familias de 2 miembros: me quedaban muchos poliedros sueltos... Para colmo, por su forma algunos de ellos eran..., como decirlo..., "singulares". No sabía si reír o llorar...    

    Entonces me acordé de que en este bloque d (y en el bloque f) había 20 elementos químicos "excepcionales" porque no seguían la regla de llenado de orbitales. Sus configuraciones electrónicas eran anomalías en sus grupos... ¡Eureka!... Solo había que colocar poliedros "singulares" en casillas de elementos "excepcionales"... Y ya lo habrá adivinado: ¡así solo hacían falta 11 familias! ¡Esto era de locos!...

       Solo había una "pega"... En el tercer escalón se había colado un poliedro intruso: el disfenoide romo (J-84), que no tenía ni cuadrados ni octágonos..., pues bien, se lo adjudiqué al paladio (Pd), una rareza en toda regla de la tabla periódica, pues era el único elemento que no tenía electrones en su nivel externo: su configuración era [Kr] 4d ¹⁰ en vez de la esperada [Kr] 4d ⁸ 5s ²...
    Así, fui dejando caer poco a poco los poliedros en la tabla, distribuyéndolos por filas y columnas, dejando volar mi intuición..., y teniendo en cuenta que esta teoría carecía de base científica, y que cualquier parecido con la realidad... sería pura coincidencia. (Aunque nunca se sabe).   ;-)

    Me quedé sin palabras. Para completar este chapuzón, Pepe incluyó una lámina final con la ubicación "exacta" de los poliedros en la tabla periódica. ¡Extraña tabla...! Aun así, el trabajo me parecía una especie de malabarismo matemático... y una manera curiosa de abordar el precioso mundo de los poliedros.

    Contesta a las siguientes preguntas:

    - Hay siete poliedros de Pepe que no tienen simetría especular. ¿Qué significa esto? ¿De qué poliedros se trata?
    - Hay un poliedro de Johnson que tiene todos sus ángulos sólidos (picos) congruentes. ¿Qué significa esto? ¿Cuál es?
    - ¿Cómo son los poliedros de Catalan? ¿Cuántos hay? ¿Qué relación tienen con los poliedros de Pepe?
    - Busca dados de rol en Internet. Como verás se trata de poliedros diversos. ¿Qué poliedros son?
    - ¿Qué es un deltaedro? ¿Cuántos deltaedros hay en la colección de Pepe?
    - ¿Qué elementos químicos tienen configuraciones electrónicas anómalas según Pepe? ¿Todos los autores coinciden en estos?
    - ¿Cómo colocarías los poliedros de Pepe en la tabla de Janet?

SOLUCIÓN

    A Nina Guindilla el trabajo de Pepe le pareció un truco de prestidigitador. Necesitó bastante tiempo para entenderlo. Tuvo que familiarizarse con los poliedros y los elementos químicos... Buscó en Internet información sobre poliedros que en el trabajo de Pepe no se visualizaban bien... Hasta construyó alguno con cartulina... Estas son las repuestas de Nina:

    a) Un objeto tiene simetría especular si es idéntica a su imagen en un espejo plano. Una mano o un caracol no tienen simetría especular... ¡Hay caracoles dextrorsos (dextrógiros) y caracoles sinistrorsos (levógiros) igual que hay manos derechas y manos izquierdas!

    Los siete poliedros de la colección de Pepe Chapuzas que no tienen simetría especular son los siguientes: J-44, J-45, J-46, J-47, J-48, 3.3.3.3.4 y 3.3.3.3.5. ¡De cada uno de ellos hay dos versiones como pasa con los caracoles y las manos!

    b) Se trata del poliedro J-37 (pseudorrombicuboctaedro o girobicúpula cuadrada elongada). En todos sus vértices concurren 3 cuadrados y 1 triángulo equilátero. ¡Es otro 3.4.4.4! Por eso algunos (supersticiosos) lo consideran el 14º poliedro arquimediano...

    c) Si un poliedro tiene C caras, A aristas y V vértices, su poliedro dual tiene V caras, A aristas y C vértices. Son duales el cubo y el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro, el prisma pentagonal y la dipirámide pentagonal... El tetraedro es un poliedro autodual... Los poliedros de Catalan son duales de los poliedros arquimedianos, por lo tanto hay 13. (Los poliedros de Catalán tienen todas sus caras iguales pero no regulares.)

    d) Hay muchos juegos de rol en los que se utilizan dados. Hay en total 8 dados de rol de los que 7 son poliedros:
    El de 4 caras es un tetraedro.
    El de 6 es un cubo.
    El de 8 es un octaedro. 
    El de 10 es un trapezoedro o deltoedro pentagonal (dual del antiprisma pentagonal).
    El de 12 es un dodecaedro.
    El de 20 es un icosaedro.
    El de 30 es un triacontaedro rómbico. Es un poliedro de Catalan.
    (El de 100 no es un poliedro sino una esfera.)

    e) Un deltaedro (no confundir con deltoedro) es un poliedro formado por triángulos equiláteros. En la colección de Pepe aparecen todos los deltaedros convexos:
    Los de 4, 8 y 20 caras son poliedros platónicos.
    Los de 6, 10, 12, 14 y 16 son los poliedros de Johnson J-12, J-13, J-84, J-51 y J-17.

    f) Los elementos químicos con configuraciones electrónicas anómalas son el cromo, el cobre, el niobio, el molibdeno, el rutenio, el rodio, el paladio, la plata, el lantano, el cerio, el gadolinio, el platino, el oro, el actinio, el torio, el protactinio, el uranio, el neptunio, el curio y el laurencio. Algunos autores incluyen el níquel y algún otro.

    g) No sé cómo colocaría Pepe los poliedros en la tabla. Yo tendría en cuenta si son poliedros simples o compuestos. Por ejemplo, el octaedro se puede dividir en dos pirámides cuadradas mediante un corte plano: 3.3.3.3 = J-1 + J-1. Otro ejemplo: J-16 = J-2 + 4.4.5 + J-2.

    El octaedro sería por lo tanto un poliedro compuesto y la pirámide cuadrada sería un poliedro simple... 
    ¿Cuántos poliedros simples (y cuáles) hay en la colección de Pepe Chapuzas?
    Hay poliedros compuestos en la colección de Pepe que se pueden descomponer en poliedros simples de diferentes maneras. ¿Cuáles son?

344. SOLUCIÓN de 44. L'Hôpital al límite

    Profe, mire este límite. Como el seno y el coseno son funciones acotadas, cuando x tiende a infinito me sale la indeterminación  ∞ / ∞  que en teoría podría resolverse con la regla de L'Hôpital. Pero si aplico la regla de L'Hôpital y me pongo a derivar funciones obtengo de nuevo la misma indeterminación. Al cabo de cuatro intentos me sale la fracción del principio con lo que no llego a ninguna parte... ¡Qué chapuza de regla se inventó L'Hôpital!

     Pepe Chapuzas está poniendo a prueba la regla de L'Hôpital. ¿Falla algo? Razona la respuesta y calcula el límite. Espero tu respuesta.

SOLUCIÓN

    Profe, mire. Cuando Pepe Chapuzas se mete en una rotonda, da vueltas y vueltas y no sabe salir... Una cosa es que (si se cumplen las hipótesis del teorema de L'Hôpital) al derivar el numerador y el denominador los límites coincidan, y otra muy distinta es que al aplicar la regla de L'Hôpital el límite se simplifique... Este es un ejemplo claro, de hecho el límite se puede calcular así:

    Justifica los pasos del cálculo del límite que ha realizado Nina Guindilla.

343. SOLUCIÓN de 43. Coloreando mapas

    "Profe, no he conseguido colorear el mapa de Chapuzalandia con 4 colores, y pido ayuda a la clase."

    El último día hablé en clase del teorema de los 4 colores que demostraron K. Appel y W. Haken en 1976 con ayuda de ordenadores. Comenté que el teorema afirmaba que todo mapa se puede colorear con solo 4 colores de modo que las regiones fronterizas tengan colores distintos. Resulta que Pepe Chapuzas ubica sus historias en el país imaginario de Chapuzalandia, cuyo mapa es tan complicado que parece imposible colorearlo así.

    Échale una mano a Pepe. Si lo consigues me mandas la solución por correo electrónico.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla tardó un rato en colorear el mapa...

    Profe, si Pepe no ha coloreado el mapa es, por decirlo de alguna manera, por falta de paciencia. De todas formas hay que aclarar que el teorema de los 4 colores es válido en el planeta Tierra pero no funciona en el planeta Roscón. Este planeta es como un gigantesco roscón de reyes... Hay mapas en el planeta Roscón que necesitan ¡hasta 7 colores! para poder ser coloreados...

    Investiga lo que quiere decir Nina Guindilla y dibuja un mapa en el planeta Roscón que necesite 7 colores...

342. SOLUCIÓN de 42. Portadas con humor

    En las portadas del cuaderno de Pepe Chapuzas se entrevé su humor. Esta es la del tema de números irracionales...

    Inventa o busca algún dibujo que te resulte gracioso para ilustrar algún tema del curso y me envías la imagen, indicando la fuente, por correo electrónico.   

 

SOLUCIÓN

 

    Nina Guindilla ha elegido este chiste para la portada del tema de los números imaginarios...

 

    Si tienes alguna portada con humor, ¡compártela!

341. SOLUCIÓN de 41. Triángulos pitagóricos

   Un día, como tantos otros en clase de Mates, volvió a aparecer el teorema de Pitágoras, y en particular, el triángulo pitagórico de lados 3, 4 y 5. Recordé que un triángulo rectángulo era pitagórico si los tres lados medían números naturales, y que precisamente este, el de lados 3,4 y 5, era bien conocido y utilizado en la antigüedad, porque la denominada cuerda de doce nudos se utilizaba para trazar ángulos rectos mucho antes de que naciera Pitágoras:

    Miré a Pepe Chapuzas, que siempre tiene alguna pregunta que hacer..., y no me equivoqué.

    Profe, ¿existe algún plano que determine tres triángulos pitagóricos con los planos coordenados?

    Le contesté que había infinitos y que el primero fue descubierto por un matemático alemán llamado Paul Halcke en 1719.

    Halla la ecuación canónica (o segmentaria) del plano que descubrió Halcke. Como datos te doy las hipotenusas de los tres triángulos pitagóricos.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla tenía una colección de triángulos pitagóricos... ¡En su colección estaban los triángulos por los que preguntaba Pepe Chapuzas! Pero no le parecía esta la mejor manera de resolver la cuestión, así que planteó un sistema de ecuaciones que resolvió por el método de reducción...

E₁ :    x² + y² = 267² =71289

E₂ :    x² + z² = 125² = 15625

E₃ :    y² + z² = 244² = 59536

E₁ + E₂ – E₃ :    2x² = 27378 ;   x = 117

E₁ + E₃ – E₂ :    2y² = 115200 ;   y = 240

E₂ + E₃ – E₁ :    2x² = 3872 ;   z = 44

   

    Profe, la ecuación del plano es      x/177 + y/240 + z/44 = 1

    Nina me enseñó su "colección" de triángulos pitagóricos... Tal "colección" era en realidad puntos en el plano. El triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 (la cuerda de doce nudos) estaba representado por el punto de coordenadas (3,4).

    Busca en Internet cómo se pueden generar triángulos pitagóricos y haz tu propia "colección" dibujando puntos en el plano...

340. SOLUCIÓN de 40. Las recetas de Pepe Chapuzas...

    Profe, gracias a las calificaciones, si algo hemos aprendido a hacer bien, por la cuenta que nos trae, ha sido calcular las medias:

    Pepe Chapuzas no solo ha dado en el clavo sino que con el concepto de media ha asimilado algunas fórmulas de Estadística, Combinatoria y Probabilidad como se observa en las siguientes "recetas" apuntadas en su cuaderno:

    COVARIANZA. Calcular la media de los productos menos el producto de las medias:

    NÚMERO TRIANGULAR. Calcular la media aritmética entre un número y su cuadrado:

    PROBABILIDAD TOTAL. Calcular la media ponderada de las verosimilitudes...

    Y como estas hay un montón en el "recetario" chapucero de su cuaderno. Te propongo tres actividades:

    1. Escribe una "receta" para calcular la desviación típica y simplifica su fórmula al estilo de Pepe Chapuzas.
    2. ¿Por qué los número de fichas del dominó (28) y del dominó cubano (55) son números triangulares? ¿Por qué crees que se llaman triangulares estos números?
    3. ¿Cuáles son los "pesos" en el teorema de la probabilidad total desde el punto de vista de Pepe Chapuzas?

    Envíame las respuestas en un documento por correo electrónico. Nos vemos.

SOLUCIÓN

    Aquí está la respuesta que me mandó Nina Guindilla:

    DESVIACIÓN TÍPICA. Es la raíz cuadrada de la diferencia entre la media de los cuadrados y el cuadrado de la media... (La raíz cuadrada de la varianza.)

    DOMINÓS. Siempre me ha gustado hacer un triángulo de Pascal con las fichas del dominó...    

    Así visto, un número triangular es una suma de términos de la progresión aritmética a_n = n, o sea, 1+2+3+...+n = n(n+1)/2 = T_n . Las 28 fichas del dominó se corresponden con T₇ y las 55 del dominó cubano con T₁₀ .
    Los números triangulares también son números combinatorios: son combinaciones ordinarias o coeficientes binomiales (n+1 sobre 2 o n+1 sobre n–1). Aquí están los números triangulares en el triángulo de Pascal...

    Que la media aritmética de un número y su cuadrado sea un número triangular se "demuestra" con el siguiente dibujo:

    PROBABILIDADES A PRIORI. En el teorema de la probabilidad total, los pesos son las probabilidades a priori. (La suma de los pesos es por lo tanto 1.)

    Busca otras recetas con la media y nos las recetas...