martes, 24 de febrero de 2015

345. SOLUCIÓN de 45. La tabla periódica de los poliedros

    Para el verano, entre otros, mandé hacer un trabajo sobre los poliedros regulares, también llamados sólidos platónicos, y la mayoría de mis alumnos como es habitual buscó la información directamente en la Wikipedia. Sin embargo Pepe Chapuzas hizo un trabajo original (demasiado original) y que reproduzco a continuación:

LA TABLA PERIÓDICA DE LOS POLIEDROS
    Platón tenía 5 poliedros regulares (el tetraedro, el octaedro, el cubo, el icosaedro y el dodecaedro) para los 4 elementos de la materia (el fuego, el aire, la tierra y el agua), así que tuvo que echar mano del misterioso éter para poder elaborar su preciosa teoría de los átomos poliédricos.
    Si Platón hubiera sabido que los elementos no eran precisamente esos, y que había más de un centenar, ¡quién sabe qué poliedros habría escogido para elaborar la teoría...!
    Pero... ¿cuántos elementos hay? Los últimos elementos químicos en ser bautizados, el copernicio (Cn), el flerovio (Fl) y el livermorio (Lv), ocupaban desde hace años las casillas 112, 114 y 116 de la tabla periódica... Un inciso: eso de llamar periódica a la tabla de los elementos químicos me parece una chapuza. En Mates, un período es una cantidad fija, sin embargo en la tabla "periódica" los "períodos" van creciendo: 2, 8, 18 y 32. Es más bien una tabla "escalonada" como se aprecia en la tabla de Janet... En fin, no voy a cambiar ahora el título de mi trabajo...


  
    Encontré la tabla de Janet en Internet... Con esta tabla escalonada se explican a veces la regla de llenado de orbitales (s, p, d y f) y las configuraciones electrónicas de los átomos en su estado fundamental. Janet, en su tabla, coloca el bloque f a la izquierda y el bloque s a la derecha, separando al helio (He) del grupo de los gases nobles. Como hay 4 escalones y cada escalón tiene 2 "períodos", en esta tabla hay cabida para 120 elementos. ¿Necesitaríamos al menos 120 poliedros?

    120 es un número que me gusta porque es el factorial de 5, es decir, 5! = 5·4·3·2 = 120. (No se olvide de estos números: 5, 4, 3 y 2). Creo que Platón se habría detenido también en 120 poliedros dignos de llamarse elementales o atómicos... con tal de que no fueran "demasiado irregulares". Lo mínimo que se les podría exigir es que tuvieran por caras polígonos regulares y que fueran convexos, esto es, sin entrantes. Busqué en Internet poliedros así y descubrí que existían, además de los 5 sólidos de Platón, también los 13 de Arquímedes, los 92 de Johnson y las series infinitas de prismas y antiprismas. También leí que los poliedros de Platón, Arquímedes y Johnson estaban formados exclusivamente por polígonos de 3, 4, 5, 6, 8 y 10 lados (advierta que 6, 8 y 10 son los dobles de 3, 4 y 5). ¡Es como si los demás polígonos estuvieran "prohibidos"! Pues bien, con los polígonos "permitidos" tenemos que añadir 5 prismas y 5 antiprismas... ¿Sumamos? 5 + 13 + 92 + 5 + 5 = 120. ¡Ya tenemos los 120 poliedros! Y lo que es mejor (o peor), ¡tenemos una excusa para elaborar una nueva teoría platónica!: ¡la teoría chapuzónica (si se me permite)!
    Me lo temía profe: me he obsesionado. ¡Si hasta sueño con las configuraciones electrónicas y con la escalera de Janet, en vertical y en horizontal, llena de sólidos de Johnson...! Tendría que tener más cuidado con los trabajitos que nos manda...
    Además, los nombres de los poliedros son horrorosos: ortobicúpulas, hebesfenomegacoronas, etc. Menos mal que Johnson catalogó sus sólidos del (J-1) al (J-92). Los demás poliedros se pueden determinar por los polígonos que se juntan en un vértice: el cubo sería el (4.4.4) porque en cada vértice hay 3 cuadrados. Espero no perder el juicio... 

    Emparejar 120 poliedros con 120 elementos químicos me parecía una tarea imposible pero alguna "pista" me impulsó a comenzar... ¿Qué tenían de peculiar los elementos de cada escalón? Los del primer escalón solo tenían orbitales s y solo los del cuarto escalón tenían orbitales f... ¿Sabe que empiezo a ver algún parecido entre orbitales y poliedros?... No sé...
    ¿Qué relación podría haber entre poliedros y orbitales? ¡Seguro que ninguna! Pero sigamos... Mire, si contamos los poliedros que contienen pentágonos y decágonos regulares (sin olvidarnos del icosaedro cuyos pentágonos regulares están ocultos) salen 64..., ¡como el número de casillas del cuarto escalón de Janet!... Por otro lado tenemos "familias" de 2, de 3 y hasta de 4 poliedros: por ejemplo, la familia de las pirámides (triangular, cuadrada y pentagonal) sería una familia de 3 poliedros.
     Se acuerda todavía de los números 5, 4, 3 y 2, ¿verdad?... Pensé que si el cuarto escalón estaba relacionado de algún modo con el número 5 (o sea, con pentágonos y decágonos), el tercer escalón lo estaría con el 4 (cuadrados y octágonos), el segundo con el 3 (triángulos y hexágonos) y, siguiendo la "lógica", el primero con el 2 (aristas y cuadrados). ¿Cuadrados otra vez?... A lo que vamos, cada familia tendría un miembro (un poliedro) en cada escalón... e intercalando dos familias se llenaría una columna de la tabla de Janet, es decir, un grupo de elementos.



   No era muy optimista..., pero buscando y rebuscando encontré que "casualmente" había ni más ni menos que 12 familias de 3 poliedros para los 36 elementos del bloque p (el bloque p es donde se encuentra la "muralla china" entre metales y no metales). Ya he dibujado 4 familias. Aquí están las otras 8:
    Y también había 4 familias de 4 poliedros para los 16 elementos del bloque s. A decir verdad, había poliedros que encajaban en diferentes familias, como el prisma triangular (3.4.4), que bien podría estar entre las cúpulas, y el girobifastigium (J-26), entre las girobicúpulas. No me preocupaba esto pues también había elementos que podían acoplarse bien en distintos grupos, como el hidrógeno (H) o el ya mencionado helio (He)... 
    Para el bloque f, el de las 28 tierras raras, necesitaba poliedros sin familia... ¡Y siguen cuadrando las cuentas!: ahí estaban las rotondas ...
... y los rombicosidodecaedros (el nombrecito se lo debemos a Kepler), ¡justamente 28 entre todos! Algunos de estos poliedros son tan parecidos que se necesita fijarse bien para distinguirlos...
    Finalmente para el bloque d, el de los 40 elementos de transición, solo encontré 11 familias de 2 miembros: me quedaban muchos poliedros sueltos... Para colmo, por su forma algunos de ellos eran..., como decirlo..., "singulares". No sabía si reír o llorar...    
    Entonces me acordé de que en este bloque d (y en el bloque f) había 20 elementos químicos "excepcionales" porque no seguían la regla de llenado de orbitales. Sus configuraciones electrónicas eran anomalías en sus grupos... ¡Eureka!... Solo había que colocar poliedros "singulares" en casillas de elementos "excepcionales"... Y ya lo habrá adivinado: ¡así solo hacían falta 11 familias! ¡Esto era de locos!...
       Solo había una "pega"... En el tercer escalón se había colado un poliedro intruso: el disfenoide romo (J-84), que no tenía ni cuadrados ni octágonos..., pues bien, se lo adjudiqué al paladio (Pd), una rareza en toda regla de la tabla periódica, pues era el único elemento que no tenía electrones en su nivel externo: su configuración era [Kr] 4d 10 en vez de la esperada [Kr] 4d 8 5s 2...
    Así, fui dejando caer poco a poco los poliedros en la tabla, distribuyéndolos por filas y columnas, dejando volar mi intuición..., y teniendo en cuenta que esta teoría carecía de base científica, y que cualquier parecido con la realidad... sería pura coincidencia. (Aunque nunca se sabe).   ;-)

    Me quedé sin palabras. Para completar este chapuzón resulta que, según Pepe, la lámina final con la ubicación exacta de los poliedros en la tabla periódica (o escalonada) se había "extraviado". Aun así, el trabajo me parecía una especie de malabarismo matemático... y una manera curiosa de abordar el precioso mundo de los poliedros.

    Contesta a las siguientes preguntas:

    - Hay siete poliedros de Pepe que no tienen simetría especular. ¿Qué significa esto? ¿De qué poliedros se trata?
    - Hay un poliedro de Johnson que tiene todos sus ángulos sólidos (picos) congruentes. ¿Qué significa esto? ¿Cuál es?
    - ¿Cómo son los poliedros de Catalan? ¿Cuántos hay? ¿Qué relación tienen con los poliedros de Pepe?
    - Busca dados de rol en Internet. Como verás se trata de poliedros diversos. ¿Qué poliedros son?
    - ¿Qué es un deltaedro? ¿Cuántos deltaedros hay en la colección de Pepe?
    - ¿Qué elementos químicos tienen configuraciones electrónicas anómalas según Pepe? ¿Todos los autores coinciden en estos?
    - ¿Cómo colocarías los poliedros de Pepe en la tabla de Janet?

SOLUCIÓN

    A Nina Guindilla el trabajo de Pepe le pareció un truco de prestidigitador. Necesitó bastante tiempo para entenderlo. Tuvo que familiarizarse con los poliedros y los elementos químicos... Buscó en Internet información sobre poliedros que en el trabajo de Pepe no se visualizaban bien... Hasta construyó alguno con cartulina... Estas son las repuestas de Nina:

    a) Un objeto tiene simetría especular si es idéntica a su imagen en un espejo plano. Una mano o un caracol no tienen simetría especular... ¡Hay caracoles dextrorsos (dextrógiros) y caracoles sinistrorsos (levógiros) igual que hay manos derechas y manos izquierdas!
    Los siete poliedros de la colección de Pepe Chapuzas que no tienen simetría especular son los siguientes: J-44, J-45, J-46, J-47, J-48, 3.3.3.3.4 y 3.3.3.3.5. ¡De cada uno de ellos hay dos versiones como pasa con los caracoles y las manos!

    b) Se trata del poliedro J-37 (pseudorrombicuboctaedro o girobicúpula cuadrada elongada). En todos sus vértices concurren 3 cuadrados y 1 triángulo equilátero. ¡Es otro 3.4.4.4! Por eso algunos (supersticiosos) lo consideran el 14º poliedro arquimediano...

    c) Si un poliedro tiene C caras, A aristas y V vértices, su poliedro dual tiene V caras, A aristas y C vértices. Son duales el cubo y el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro, el prisma pentagonal y la dipirámide pentagonal... El tetraedro es un poliedro autodual... Los poliedros de Catalan son duales de los poliedros arquimedianos, por lo tanto hay 13. (Los poliedros de Catalán tienen todas sus caras iguales pero no regulares.)

    d) Hay muchos juegos de rol en los que se utilizan dados. Hay en total 8 dados de rol de los que 7 son poliedros:
    El de 4 caras es un tetraedro.
    El de 6 es un cubo.
    El de 8 es un octaedro. 
    El de 10 es un trapezoedro o deltoedro pentagonal (dual del antiprisma pentagonal).
    El de 12 es un dodecaedro.
    El de 20 es un icosaedro.
    El de 30 es un triacontaedro rómbico. Es un poliedro de Catalan.
    (El de 100 no es un poliedro sino una esfera.)

    e) Un deltaedro (no confundir con deltoedro) es un poliedro formado por triángulos equiláteros. En la colección de Pepe aparecen todos los deltaedros convexos:
    Los de 4, 8 y 20 caras son poliedros platónicos.
    Los de 6, 10, 12, 14 y 16 son los poliedros de Johnson J-12, J-13, J-84, J-51 y J-17.

    f) Los elementos químicos con configuraciones electrónicas anómalas son el cromo, el cobre, el niobio, el molibdeno, el rutenio, el rodio, el paladio, la plata, el lantano, el cerio, el gadolinio, el platino, el oro, el actinio, el torio, el protactinio, el uranio, el neptunio, el curio y el laurencio. Algunos autores incluyen el níquel y algún otro.

    g) No sé cómo colocaría Pepe los poliedros en la tabla. Yo tendría en cuenta si son poliedros simples o compuestos. Por ejemplo, el octaedro se puede dividir en dos pirámides cuadradas mediante un corte plano: 3.3.3.3 = J-1 + J-1. Otro ejemplo: J-16 = J-2 + 4.4.5 + J-2.

    El octaedro sería por lo tanto un poliedro compuesto y la pirámide cuadrada sería un poliedro simple... 
    ¿Cuántos poliedros simples (y cuáles) hay en la colección de Pepe Chapuzas?
    Hay poliedros compuestos en la colección de Pepe que se pueden descomponer en poliedros simples de diferentes maneras. ¿Cuáles son?

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