28. Los cuatro cuatros

    Pepe Chapuzas disfruta con los acertijos matemáticos. Devora los libros de acertijos, como el titulado "El hombre que calculaba" de Malba Tahan. Luego modifica ligeramente los enunciados y se los propone a sus compañeros. Un día los retó con el siguiente ejercicio:

    ¡A ver quién consigue los números del 0 al 9 con exactamente cuatro cuatros y con las cuatro reglas: sumar, restar, multiplicar y dividir! ¡Ah, y sin paréntesis! (Para ello hay que indicar las divisiones como fracciones.) ¡Ah, y puede haber varias soluciones para cada número! Por ejemplo:

    Considérate compañero de Pepe Chapuzas y acepta el reto. (Envíame la solución en un documento por correo electrónico.)

27. Goniómetro, escuadra y cartabón

    En estas herramientas de dibujo se esconden tres números irracionales: π, √2 y √3.

    Para π = 3,14159265... los antiguos griegos utilizaban la aproximación 377/120 y los antiguos chinos 355/113. ¿Cuál era mejor?
    Pepe Chapuzas dice que ha encontrado las mejores aproximaciones de π, √2 y √3 con fracciones de números de tres cifras. ¿Quién se atreve a desafiar a Pepe?
   Os propongo la siguiente competición: Buscad las fracciones de Pepe. Ganarán los que más se aproximen.

26. Multiplicar a la rusa

    Profe, me gustan las cosas rusas. Me encanta la música rusa, la ensaladilla rusa, la montaña rusa...

    Le pregunté a Pepe Chapuzas si también le gustaba la multiplicación rusa. Y debió de quedar muy intrigado porque al día siguiente vi en su cuaderno unas cuantas multiplicaciones a la rusa. ¡Se había informado en Internet!:

    Profe, los campesinos rusos no sabían las tablas de multiplicar y sin embargo multiplicaban números de varias cifras. Solo tenían que saber sumar y calcular dobles y mitades. Mire:

    Infórmate también tú de cómo se hace, multiplica a la rusa dos números de tres cifras, comprueba que es correcto el resultado y me explicas paso a paso cómo lo has hecho.

25. Mate-mágicas

    Para Pepe Chapuzas, las Matemáticas tienen un poco de magia... ¡O un mucho!

    Profe, hemos visto en una exposición un grabado de Alberto Durero titulado "Melancolía" donde aparecen objetos relacionados con las Matemáticas: un poliedro, un compás, una esfera..., ¡y un cuadrado mágico! Es mágico porque si sumamos las filas, las columnas, las diagonales, las esquinas, etc., ¡siempre sale 34!

    Por otro lado, el otro día me tropecé con el número mágico 142.857. Mire lo que pasa si calculo su doble, su triple, su cuádruple... ¡Se repiten las cifras y en el mismo orden!

    Busca en Internet otros cuadrados mágicos y otros números mágicos y los compartes con los demás.

24. Una cuestión de fuerzas

    Aquí tenéis otra historia inventada por Pepe Chapuzas. Como pista os digo que en Física acaban de explicar el movimiento circular, la velocidad angular y todo eso...

    El pirata Maldeojo tenía un ojo de cristal. Pero no era un ojo de cristal cualquiera... Con él, Maldeojo poseía un sexto sentido con el que barruntaba y distinguía el origen de todas las fuerzas que impulsaban su barco: las fuerzas que provenían de los vientos, de las corrientes marinas, de las mareas, de las olas..., y por supuesto notaba la fuerza de gravedad, porque el ojo de cristal pesaba lo suyo. Pero había dos fuerzas que nunca entendió bien del todo... y es que a Maldeojo la Física se le daba fatal.
    La primera fuerza era vertical: cuando, por ejemplo, navegaba a lo largo del ecuador hacia el este, notaba que una fuerza le impulsaba hacia arriba, como si quisiera sacar el barco del agua, y el ojo de cristal le pesaba menos; pero si navegaba hacia el oeste, la fuerza le empujaba hacia abajo, como si quisiera hundir el barco, y el ojo de cristal le pesaba más de lo normal.
    La segunda fuerza era horizontal: cuando, por ejemplo, navegaba a lo largo de un meridiano en el hemisferio norte, bien rumbo al ecuador, bien rumbo al polo, notaba que una fuerza le escoraba el barco a estribor, y el ojo de cristal se le iba hacia ese costado; pero si era en el hemisferio sur, entonces la fuerza empujaba su barco (y su fantástico ojo de cristal) a babor...

     Investiga y da una explicación razonada (y razonable) de estas fuerzas que observaba el pirata Maldeojo en sus viajes gracias a su ojo de cristal.

23. ¿Jugamos al minibillar?

    Pepe Chapuzas inventa juegos nuevos a partir de juegos tradicionales. Este que os presento es una versión reducida del billar americano.

    Hay que colocar 6 bolas de billar (numeradas del 1 al 6) en disposición triangular de modo que en cada lado del triángulo los números sumen la misma cantidad. En el ejemplo suman 10. Busca soluciones con suma 9, 11 y 12.

22. La fórmula maravillosa del tonelero

    Profe, hay una fórmula maravillosa: la de la capacidad de un tonel. Yo creía que era una chapuza de fórmula aproximada para toneleros..., pero resulta que da el volumen exacto de prismas, cilindros, pirámides (incluso truncadas), conos (incluso truncados), esferas, elipsoides (balones de rugby), casquetes de paraboloides (antenas de telecomunicación), zonas de hiperboloides (chimeneas de centrales térmicas), etc. ¿Y por qué en vez de Matemáticas no estudiamos Tonelería?

    Pepe Chapuzas se había topado con la fórmula de Simpson:  h·(A+B+4·C):6 , donde h es la altura del tonel, y A, B y C son las áreas de las secciones alta, baja y central del tonel. La fórmula sirve también para calcular muchas superficies planas (siendo entonces las secciones A, B y C longitudes de segmentos).
    Calcula los volúmenes y las áreas siguientes (comprueba que la fórmula tradicional y la de Simpson coinciden en cada caso) y envíame la solución en un documento por correo electrónico.

21. Espejismo de números

    En el concurso de retos de este año tocaba "une cada oveja con su pareja". Cada alumno proponía en clase un reto. Pepe Chapuzas fue el primero en exponer el suyo. Lo tituló...

ESPEJISMO DE NÚMEROS
    Decimos que un número es el espejo de otro, si tiene las mismas cifras pero ordenadas al revés. Por ejemplo, 1084 es el espejo de 4801.
    En realidad no se trata de un reto sino de dos. En el de la izquierda hay que emparejar números cuyo producto coincida con el de sus espejos. Por ejemplo  31 · 26 = 13 · 62 = 806. En el de la derecha hay que emparejar números cuya suma coincida con la de sus espejos.
    ¡Une cada oveja con su pareja!

    Resuelve el reto y propón tú también uno. Y no te olvides de ponerle título.

20. ¿Pares o nones?

    Profe, eso de llamar con el mismo nombre a dos cosas distintas... No sé... Pero si además las cosas empiezan a funcionar al revés... Entonces es el colmo de las chapuzas... Mire:

    Pepe Chapuzas y sus reflexiones... ¡Qué le vamos a hacer!

 

    Completa el cuadro siguiente:

    Espero tu respuesta...

19. El poliedro imposible

    Pepe chapuzas estaba jugando con un tetraedro de cartulina:

    Profe, el tetraedro es mi poliedro favorito. Es tan sencillo que todo par de caras comparte una arista. No hay otro así.

    Le dije que eso se creyó durante siglos hasta que, en 1977, el matemático húngaro Lajos Szilassi sorprendió al mundo con el poliedro que ahora lleva su nombre.

    A Pepe le entusiasmó la noticia, buscó en Internet un desarrollo del poliedro de Szilassi y, con maña, se fabricó uno precioso de cartulina. Me temo que ha cambiado de poliedro favorito...

    ¿Cuántos vértices, aristas y caras tiene un poliedro de Szilassi? Haz un poliedro de Szilassi como Pepe con cartulina de color. ¡Vamos a decorar la clase!

    El tetraedro es un poliedro sin diagonales. Otro húngaro llamado Ákos Császár descubrió en 1949 otro poliedro sin diagonales que se llama en su honor el poliedro de Császár. ¿Cuántos vértices, aristas y caras tiene? ¿Te atreves a construirlo también?

18. Tiempos locos

    En el cuaderno de Pepe Chapuzas me encuentro muchas veces acertijos supercuriosos. El último no tiene desperdicio:

    Suponiendo que estamos en Roma y que los intervalos son cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha...

    ¿Cuántos días pasaron del 2 de febrero del 2 a.C. al 2 de febrero del 2 d.C.?
    ¿Cuántos días pasaron del 25 de febrero al 25 de marzo de 1900?
    ¿Cuántos días pasaron del 4 al 15 de octubre de 1582?
    ¿Cuántas horas pasaron desde la 01:00:00 hasta las 04:00:00 del 31/03/2013?
    ¿Cuántas horas pasaron desde la 01:00:00 hasta las 04:00:00 del 27/10/2013?
    ¿Cuántos segundos pasaron desde la 01:59:55 hasta las 02:00:05 del 01/07/2012?

    Responde a las preguntas de Pepe. ¡Y no lo hagas a la ligera! Ninguna respuesta es trivial. Usa la red como fuente inagotable de información y de recursos. Comprobarás que nuestra manera de medir el tiempo es una chapuza...

17. El PIN de Pepe

    Pepe Chapuzas tiene muy buena memoria para algunas cosas, pero para otras... Por ejemplo, nunca se acuerda del número secreto de su móvil. Solo se acuerda de que tiene cuatro cifras...

    Profe, tengo un truco para acordarme. Mi PIN es la solución del siguiente problema:
    Si divido el PIN entre 5, el resto sale 4.
    Si lo divido entre 7, el resto sale 6.
    Si lo divido entre 9, el resto sale 8.
    Y si lo divido entre 11, el resto sale 10.

    Hice una aproximación mentalmente y le dije que salían dos soluciones. Pepe me reprochó:

    Ya, profe. ¡Pero el móvil me da tres oportunidades!

    Encuentra las dos soluciones y dínoslas.

16. El hotel de los líos

    Pepe Chapuzas tiene una imaginación... A veces inventa unas historias...

    Profe, este fin de semana estuve en un hotel rarísimo. Había una fila de habitaciones con una numeración caótica. Apunté los números y los ordené de menor a mayor:

    No conseguí encontrar ninguna lógica a esta auténtica chapuza... Al final me dirigí a la recepcionista para indagar sobre el lío que se traían con las habitaciones y me confesó que todo era "muy fácil", porque los números de dos habitaciones contiguas compartían un divisor primo (y solo uno)...

    ¿Cómo estaban dispuestas las habitaciones en la fila? (Hay varias soluciones).

15. La simetría de las letras

    Pepe Chapuzas encuentra Matemáticas en los lugares más insospechados. Ahora le ha tocado el turno al abecedario...

    Profe, mire: hay letras simétricas, como la A, la D o la N, y letras que no son simétricas, como la R.Y también hay palabras simétricas, como COCO.

    Estudia, como Pepe, las simetrías de las letras, teniendo en cuenta que puede haber simetrías axiales y centrales. Encuentra 5 letras con eje de simetría vertical, 5 letras con eje de simetría horizontal, 5 letras con centro de simetría y 5 letras no simétricas.
    Busca también una palabra con eje de simetría vertical, otra con eje de simetría horizontal que no sea COCO, y una tercera con centro de simetría.

14. El enigma de las pirámides

    Profe, en la página de fórmulas de cuerpos geométricos viene la del volumen de cualquier pirámide, pero para los troncos de pirámide solo viene la del tronco de pirámide cuadrada. ¿Hay que reconstruir siempre la pirámide entera, truncarla, y restar volúmenes?

    Era verdad. Solo aparecía el tronco de pirámide cuadrada... Le dije a Pepe Chapuzas que si las bases eran paralelas la fórmula era muy facilita,  V = h · M ,  donde  h  era la altura del tronco y  M  era la media heroniana de las bases...  y que esta fórmula también servía para el troco de cono. Por supuesto no le había resuelto nada...

    Busca en Internet cómo se calcula la media heroniana de dos cantidades. Después calcula el volumen del tronco de pirámide de la figura de las dos formas (a partir de la pirámide entera y con la media heroniana) y le cuentas a Pepe cómo lo has hecho.

13. Un sol impuntual (Bachillerato)

    Profe, ¿cuándo es mediodía?, ¿a qué hora el sol está más alto?

    Era otra vez Pepe Chapuzas. Estaba presumiendo del reloj que le habían regalado por su cumpleaños... Le contesté que dependía del huso horario y del meridiano, y del horario de invierno o de verano.

    No me refiero a eso. Mire profe, en Física hemos estudiado las leyes de Kepler... Si cerca del perihelio la tierra se traslada más deprisa, el sol recorrerá mucha longitud (de la esfera celeste), y el mediodía ocurrirá cada día más tarde; y si cerca de los equinoccios el sol gana o pierde mucha latitud, entonces recorrerá poca longitud, y el mediodía sucederá cada día más pronto... Pero ¿cuándo?

    Pepe había "descubierto" la hora solar, tan olvidada hoy. Le contesté que los dos fenómenos sumaban o restaban sus efectos y que el mediodía llegaba a adelantarse y atrasarse media hora a lo largo del año. Para picarlo le dije que si su reloj no daba la hora solar, era una chapuza de reloj...

    Investiga en Internet (ecuación del tiempo, analema) y dinos cuántos minutos y segundos lleva de adelanto o de retraso el sol el día de tu cumpleaños.

12. Mates en 3D

    Pepe Chapuzas solía ensimismarse. En clase decían que estaba en la cuarta dimensión. Yo no sé si la cuarta, pero la tercera dimensión sí la tenía siempre muy presente...

    El día que expliqué el teorema de Pitágoras, con una de sus muchas demostraciones gráficas (algo chapuceramente)...

...Pepe ilustró en su cuaderno una versión tridimensional (más chapucera todavía):

 

    Explica como se han hecho los cortes de los cuadrados en estas demostraciones...

    Y el día que expliqué el triángulo de Tartaglia y el binomio de Newton (a la izquierda), Pepe hizo lo propio, es decir, la versión tridimensional: se ingenió un tetraedro para el desarrollo de las potencias de un trinomio (a la derecha):

  Así, por ejemplo, (a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc, como ilustró así:

    Fíjate cómo confeccionó el tetraedro (se necesita algo de visión espacial) o busca información en Internet.
    Después, escribe la siguiente planta del tetraedro de Pepe y desarrolla  (a+b+c)³   y  (a+b+c)⁴ .

11. El cuadrilátero olvidado (Bachillerato)

    A Pepe Chapuzas le encantan las ilustraciones de los libros. Yo creo que tiene memoria fotográfica porque en menos de un minuto se aprendió la clasificación de los cuadriláteros:

33

    Profe, en la página 33 tenemos, arriba los paralelogramos: el cuadrado, el rectángulo, el rombo y el romboide; y abajo: el trapecio isósceles, el trapecio escaleno, el trapecio rectángulo y, el más feo de todos, el trapezoide. Pero profe, ¡qué chapuza de clasificación!, ¿dónde está mi cometa?

    Le respondí que su cometa era un trapezoide..., y al ver su cara de disgusto añadí que era un trapezoide muy especial: con simetría respecto de una diagonal...; que era tan especial que hasta tenía nombre: era un deltoide...; que para calcular su área servía la fórmula del rombo: A=D·d/2 ..; y que si no estaba en la página 33 sería por puro olvido... No se si quedó satisfecho con mis excusas.

    Al cabo de los años, ya en Bachillerato, propuse el siguiente problema:

    Investiga cuánto miden los ángulos de las teselas de Penrose denominadas "kite" y "dart" y calcula sus áreas sabiendo que los lados mayores miden 10cm. Observa las figuras.

    Pude comprobar la buena memoria de Pepe porque exclamó: ¡Profe, si son deltoides!

    Resuelve también tú el problema. Espero tus comentarios.

    Si quieres saber más sobre cuadriláteros pincha en el siguiente enlace:

Cuadriláteros cíclicos

    Hasta pronto.

10. Un planeta redondo.

    Las instrucciones del proyecto eran claras, había que diseñar un edificio facilito: un ortoedro perfecto. Las fachadas opuestas, perfectamente paralelas y perfectamente verticales. El suelo y el techo, perfectamente planos y perfectamente horizontales. Y por supuesto todos los ángulos perfectamente rectos, de 90º exactos...
    Pepe Chapuzas (no podía ser otro) empezó a encontrar dificultades:

    Profe, yo hago las cosas verticales con la plomada, porque la plomada apunta siempre al centro de la tierra. Como dos rectas verticales no son paralelas (porque se cortan en el centro de la tierra), si hago las fachadas verticales, las opuestas no me salen paralelas; y si las hago paralelas, no me salen verticales...
    Además, yo hago las cosas horizontales con el nivel, o sea, perpendiculares a las verticales.
Como las verticales no son paralelas, las horizontales no son rectas, se curvan... Si hago el suelo plano, no me sale horizontal; y si lo hago horizontal, no me sale plano... ¡Vaya chapuza de edificio!

    Pepe lo tenía muy claro. Sin embargo yo, a veces, me olvido de que nuestro planeta es redondo... (De hecho, debido a la rotación terrestre, ni siquiera las verticales son rectas)... Tuve que cambiar el proyecto:

    Había que diseñar un túnel facilito. El punto de entrada era una bajada de 30º respecto de la horizontal, y el de salida era una subida también de 30º respecto de la horizontal. La dirección (y el sentido) era perfectamente norte-sur y el túnel era perfectamente recto. Si la entrada estaba en Varsovia, ¿dónde estaba la salida?

    Todos los alumnos objetaron que, si para recorrer el túnel primero se bajaba y luego se subía, el túnel no podía ser recto. Todos... menos Pepe, que ya le estaba dando vueltas a la bola del mundo...

 

    Ayuda a Pepe a encontrar la salida del túnel.