263. Poesía matemática

    Pepe Chapuzas ha encontrado este curioso poema en un libro antiguo. Afirma que es de autor anónimo. Pepe suele descubrir tesoros como este en los viejos libros...

    Buscad o inventad un poema matemático. Vamos a hacer una exposición original...

262. En el plano complejo

    Cuando expliqué que los números complejos se podían representar como puntos de un plano a Pepe Chapuzas se le abrieron los ojos... Enseguida hizo lo contrario: representó puntos del plano como números complejos y tradujo algunas recetas de la Geometría a la Aritmética Compleja...

    Comprueba geométricamente que las recetas complejas de Pepe funcionan.

261. El teorema de Varignon

    En un examen de Geometría propuse que demostraran el teorema de Varignon. El enunciado afirmaba que los puntos medios de los lados de un cuadrilátero son vértices de un paralelogramo. Pepe Chapuzas pidió permiso para usar tijeras y cartulina. Recortó el cuadrilátero más irregular que pudo: un horrible trapezoide azul... Y ahí estaba esperando el paralelogramo, que también recortó: un precioso romboide rojo...

    Para la demostración se sirvió de las diagonales del trapezoide y, para rematar la faena, también demostró que el área del romboide era la mitad del área del trapezoide...

    Rehaz las demostraciones de Pepe y me las envías por correo electrónico.

260. Polígonos estrellados

    Profe mire. Los polígonos regulares que hemos visto en clase son convexos, pero he visto en Internet que hay otros polígonos regulares que no son convexos. ¡Y son más bonitos, verá...! Se llaman polígonos regulares estrellados por su forma. El más sencillo es el pentágono regular estrellado o pentalfa, que es la estrella de 5 picos. La estrella de 6 picos o estrella de David no es 1 hexágono regular estrellado sino 2 triángulos equiláteros superpuestos. (No hay hexágonos regulares estrellados.) Y luego vienen 2 heptágonos regulares estrellados diferentes (7 picos), 1 octágono regular estrellado (8 picos), 2 eneágonos regulares estrellados (9 picos), 1 decágono regular estrellado (10 picos), etcétera. Vea los dibujos que he hecho... (N es el número de picos.)

    Raro es el día que Pepe Chapuzas no trae algo interesante...
    Con los dibujos de Pepe podemos hacer la siguiente tabla en la que se muestra cuántos polígonos regulares estrellados diferentes hay con N picos, desde N=5 hasta N=10.

    Comprueba que solo son estos los polígonos regulares estrellados con menos de 11 picos (N<11) y continúa la tabla hasta llegar a 20 picos (N=20). No hace falta que dibujes todas las estrellas, se puede completar la tabla con algo de lógica... En cualquier caso, cuéntame cómo lo has hecho.

259. Una misteriosa sucesión...

  Esta sucesión apareció en el corcho del aula. Era el último reto de Pepe Chapuzas. Dice que estos números tienen algo en común que no tienen los demás...
    ¿Cuál es el siguiente término de la sucesión? ¿Por qué?
    Pepe me ha soplado que un inglés habría escrito una sucesión diferente. ¿Cuáles serían los primeros términos en este caso?

258. Una función atómica de variable política.

    Estábamos poniendo en clase ejemplos de funciones. Habían salido funciones reales de variable entera, funciones naturales de variable racional y otras combinaciones... Pepe Chapuzas intervino con el siguiente ejemplo:

    Profe, mire mi función f. Es una función atómica de variable política. Me explico... A un país le asigno un elemento químico si el prefijo telefónico internacional del país coincide con el número atómico del elemento. Así,   f (España) = Selenio   y   f (Pakistán) = Uranio   ...

    ¡Qué manera tiene Pepe de complicarse la vida!
    Comprueba que    f (España) = Selenio    y    f (Pakistán) = Uranio.
    Resuelve la ecuación    f (Francia) = Y.
    Resuelve la ecuación    f (X) = Hidrógeno.
    Busca un país que no pertenezca al dominio de f.
    Busca un elemento que no pertenezca al recorrido de f.

257. Cifras (des)ordenadas

    Pepe Chapuzas ha escrito las cifras del 0 al 9. Parecen desordenadas pero él asegura que están muy bien ordenadas.

    ¿Qué criterio ha seguido para (des)ordenarlas de esta manera?

    Pepe nos ha dejado una pista. Ha dicho que un inglés las habría (des)ordenado de otra forma...

    ¿Cómo lo habría hecho un inglés?

256. El teorema de la bisectriz

    Mandé un trabajo de búsqueda. Había que buscar el enunciado y una demostración de un teorema clásico de geometría: el teorema de la bisectriz. Aquí os dejo el dibujo que hizo Pepe Chapuzas para ilustrar el teorema.

    A partir del dibujo redacta un enunciado del teorema y proporciona una demostración. Hay muchas formas de hacerlo.

255. La parte entera

    Había explicado el concepto de función y había hecho hincapié en que si a=b entonces f(a)=f(b).

    Enseguida saltó Pepe Chapuzas...

    Profe, tengo una duda sobre la función E, la parte entera de un número. En el libro de primero se decía que la parte entera de un número decimal (positivo) era el número entero que aparece a la izquierda de la coma. Por ejemplo E(123,456)=123. Según esto, E(0,999...)=0 y E(1,0)=1, ¿verdad? Y como 0,999...=1,0 , si E fuera una función, entonces E(0,999...)=E(1,0), o sea, 0=1. Dicho de otro modo, la función E no es una función... ¿O sí? ¡Yo no me entero con la parte entera!

    En un concurso de chapuzas Pepe se llevaría el primer premio...

    Aclárale a Pepe su duda y de paso dile cuánto vale E(–7,5) y E(–9,999...).

254. La escuadra nueva

    Pepe Chapuzas tiene un juego nuevo de escuadra y cartabón. Para que no se le extravíen los ha firmado con rotulador indeleble...

    Profe, mire mi escuadra nueva, con sus dos catetos igualitos... Por cierto... Me acabo de enterar de que en las escuadras, la longitud del cateto es igual a la suma de los radios de sus circunferencias inscrita y circunscrita. ¡Qué pasada!

    ¿Es cierto lo que afirma Pepe? Espero tu respuesta.

253. Origami y triángulos egipcios

    Bajamos al patio para hacer una demostración de cómo los antiguos egipcios usaban la cuerda de 12 nudos para trazar ángulos rectos. Teníamos una cuerda cerrada de 12 metros, con un nudo a cada metro, y la tensamos para formar un triángulo de lados de 3, 4 y 5 metros respectivamente. Todos sabíamos que este era un triángulo rectángulo... Comenté que los triángulos semejantes a este (con lados directamente proporcionales a 3, 4 y 5) se llamaban triángulos egipcios...

    Ya en el aula, Pepe Chapuzas, al que últimamente le ha dado por el origami, cogió una hoja de papel cuadrada y la plegó llevando un vértice inferior al punto medio del lado superior...

     Profe, ¿a que los triángulos marcados con un asterisco son egipcios?

     Demuéstralo y te llevarás un positivo.

252. Una sucesión recurrente

    Este era el último ejercicio de la tanda para casa. Iba, está claro, de una sucesión recurrente, pero no se pedía calcular el término general sino solamente el término milésimo. En el cuaderno de Pepe Chapuzas se daba la solución sin ningún cálculo, pero aclaraba que lo había resuelto mentalmente.

    Hazlo tú y me mandas la solución, pero con todos los cálculos escritos y explicados. (Y no vale calcular los mil primeros términos.)

251. Tres dígitos...

    Este es el reto de fin de semana que ha propuesto Pepe Chapuzas:

    Si cogemos al azar un número natural de tres dígitos, ¿cuál es la probabilidad de que la cifra de las unidades sea igual a la suma de las otras dos cifras? ¿Y cuál es la probabilidad sea igual al producto? ¿Y a la diferencia? ¿Y al cociente?

    Espero tu respuesta...

250. Caleidociclos...

    Había mandado investigar qué eran los caleidociclos. El trabajo que mandé a mis alumnos no consistía en buscar una definición y hacer un corta y pega. ¡Tenían que construir uno! Yo no les di ninguna instrucción de cómo hacerlo. Eso es lo que tenían que encontrar en Internet... Pepe Chapuzas hizo uno precioso. Le puso de título el caleidociclo de las estaciones... Era alucinante ver como giraba sobre sí mismo y las estaciones iban cambiando...

    Haz un caleidociclo, decóralo y ponle un título... Nos vemos.

249. Pitágoras y el tangram

    Profe, mire. Con dos juegos de tangram iguales se puede demostrar el teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos isósceles...

    La idea de Pepe Chapuzas me pareció interesantísima y así se lo dije, pero añadí que si los casos particulares de un teorema eran interesantes, las generalizaciones lo eran más... Comenté que si en el teorema de Pitágoras sustituíamos los cuadrados por semicírculos o por pentágonos regulares, obteníamos teoremas similares...

    A Pepe la idea de generalizar le gustó porque al día siguiente trajo una demostración del teorema equivalente con semicírculos y otra del teorema equivalente con polígonos regulares de N lados.

    Atrévete tú a hacer lo mismo. No es difícil...

    A todo esto, si el tangram es de origen chino, el stomachion es de origen griego. Infórmate acerca del stomachion y nos lo cuentas...

248. La caja menguante

    Pepe Chapuzas llegó a clase con una caja normal, es decir, con forma de ortoedro... y, como no, con un problema...

    Profe, mire... Esta caja era ayer más grande. Ayer la medí y hoy la he vuelto a medir... El alto ha menguado en un 40%, el ancho ha menguado en un 30% y el largo ha menguado en un 20%. ¿En qué porcentaje ha menguado el volumen de la caja?

    Los compañeros de Pepe dudaban de que la caja hubiera menguado y también dudaban de que se pudiera resolver el problema si no medían las dimensiones de la caja... Pepe les comentó que no tenían motivos para dudar...

    Manos a la obra. ¿Cuánto ha menguado el volumen?

247. Suma o producto

    En un ejercicio nos daban la suma de las tangentes de los ángulos de un triángulo y nos pedían el producto de esas tres tangentes. Los alumnos empezaron a rascarse la cabeza sospechando que el ejercicio no se podía hacer con tan pocos datos. Pero Pepe Chapuzas acabó superrápido...

   ¡Profe, si da lo mismo!

    Demuestra que efectivamente la suma y el producto dan lo mismo para cualquier triángulo...
    ¿Qué ocurre con los triángulos rectángulos?

246. Un cuadrado perfecto

    Un día llegué a clase comentando que había encontrado un número natural de dos cifras muy interesante. Resultaba que si a ese número le sumábamos el que se obtenía permutando las cifras, entonces la suma era un cuadrado perfecto.

    Reté a mi clase para que encontraran ese número... Entonces saltó Pepe Chapuzas:

    Profe, ¿le damos las ocho soluciones o basta con una?

    Bueno... Después de la intervención de Pepe tendrás que buscar las ocho soluciones...

245. Un trapecio rectángulo

    Profe, mire. Conocemos dos lados de este trapecio rectángulo. De los otros dos lados solo sabemos que son iguales. ¿Cuánto mide el área?

   Hay un positivo esperando para el que resuelva este problemita propuesto por Pepe Chapuzas.

244. Con o sin soroban

    Había mandado hacer un ejercicio en clase para resolver por parejas. Como había un número impar de alumnos Pepe Chapuzas se quedó solo...

    Profe, no importa, tengo de compañero a mi soroban...

    Se refería a su ábaco japonés... El ejercicio consistía en averiguar un número natural ABCDE de cinco cifras diferentes que verificaba lo siguiente:

    La pareja formada por Pepe y su soroban fue la primera en resolver el ejercicio. Resuélvelo tú ahora (con o sin soroban) y me envías el razonamiento pormenorizado de cómo lo has hecho.