197. Empieza la función

    Lo último que habíamos explicado en clase era el concepto de función. Pedí a mis alumnos que buscaran ejemplos e inventaran ejercicios con esos ejemplos... Esta fue la propuesta de Pepe Chapuzas:

    Profe, mire. Sean  f  la función que aplicada a un número natural nos devuelve la suma de sus dígitos pares y  g  la que nos devuelve la suma de sus dígitos impares. Por ejemplo f(45923)=4+2=6 y g(45923)=5+9+3=17. El ejercicio es el siguiente...

195. Hay que llegar a mil...

    Profe, mire. Yo pensaba que la racionalización no servía para nada. Total, con la calculadora da igual que los radicales estén en el denominador... Sin embargo el siguiente ejercicio se puede resolver la mar de rápido racionalizando...

    Pepe Chapuzas me mostró el ejercicio en su cuaderno de "autotareas". Había que calcular el número de fracciones de esta serie que se necesitaban para llegar a 1000. ¿Cuántas son?

194. En busca de la fórmula

    La última clase la habíamos dedicado a la búsqueda de fórmulas. Los alumnos tenían que buscar o inventar problemas cuyas soluciones no fueran números sino fórmulas. Este es el que propuso Pepe Chapuzas...

    Este triángulo no se ha podido dibujar entero porque es muy grande... Está formado por muchas filas... Exactamente N filas. ¿Cuánto vale la suma de todos los números del triángulo?

    Obtén una fórmula que dependa de N y envíamela explicando cómo la has hallado.

193. ¡A volar!

    El último día de clase Pepe Chapuzas llegó a emocionarme...

    Profe. ¡Gracias por enseñarme a volar!

    Le devolví el cumplido comentándole que era muy fácil enseñar a volar a los chicos que nacen con alas... Se despidió con un regalo de los suyos: un problemita de Geometría...

    Si la suma de las áreas de los círculos anaranjados es 1 metro cuadrado, ¿cuál es el área del círculo verde?

    Es más fácil de lo que parece. Al fin y al cabo es un regalo...
    ¡Echa a volar!

192. El gran panal

    ¡Otro reto de Pepe Chapuzas en el que las abejas son las protagonistas!

    Mis abejas tardan 1 año en construir el gran panal... Van construyendo las celdillas tal como se muestra en la figura... Al cabo de 365 días... ¿Cuántas aristas tendrá el borde del panal? ¿Cuántas celdillas tendrá todo el panal?

    Reselve el reto. Espero que tardes en resolver este reto menos tiempo que las abejas en hacer el gran panal...

191. La revolución de las parábolas

    Había mandando calcular varios volúmenes de sólidos de revolución y de rebote Pepe Chapuzas "mandó" el siguiente problema... No me pareció difícil pero sí interesante:

    Sea la gráfica de la función y=x² entre los puntos (0,0) y (a,a²), es decir, un arco de parábola. Y consideremos, por un lado, el sólido de revolución que se genera al girar este arco alrededor del eje de abscisas y, por otro lado, el sólido de revolución que se genera al girar el mismo arco pero ahora alrededor del eje de ordenadas... Calcúlese el valor de a para que los volúmenes de los dos sólidos sean iguales.

    Estaba claro que el arco por sí solo no generaba sólidos sino superficies y así se lo hice saber a Pepe. Pepe entonces dibujó las superficies, les puso tapas circulares y las "rellenó"...

    ¿Cuánto vale a?
    ¿Y si la función fuera y=x³?
    ¿Y si la función fuera y=xⁿ?
    ¿Cuánto vale el límite de a cuando n tiende a infinito?

190. Un teorema ninguneado

    Profe, ya me he aprendido el teorema del seno y el teorema del coseno. ¿Por qué no nos enseña el teorema de la tangente?

    En clase pensaron que Pepe Chapuzas estaba bromeando. Quizá lo estuviera... pero el caso es que existe un teorema de la tangente igual de útil que los teoremas del seno y del coseno, y sin embargo es un teorema ninguneado en los planes de estudio... Así que lo escribí en la pizarra... Si a y b son lados de un triángulo y A y B son sus ángulos opuestos respectivamente entonces...

   Pepe ha propuesto resolver el siguiente problema utilizando solamente el teorema de la tangente:

    De un triángulo conocemos dos lados a=123mm y b=277mm, y el ángulo comprendido C=43º30'. Calcula los otros dos ángulos A y B del triángulo.

    Resuelve el problema de Pepe Chapuzas y demuestra el teorema de la tangente. ¡Ánimo!

189. Los aros de Johnson

    Profe, mire. Mis 3 mejores amigos y yo hemos estado jugando con nuestros aros. Los 4 aros son exactamente iguales. Bueno, los de mis amigos son azules y el mío es rojo, pero los 4 tienen el mismo diámetro... Mis amigos se cansaron enseguida del juego y dejaron sus aros en el suelo. Parecían ser circunferencias de un problema geométrico porque, casualmente, las 3 circunferencias se cortaban en 4 puntos, aunque solo 1 de los 4 puntos era común a las 3 circunferencias (era 1 punto triple) y cada 1 de los otros 3 puntos era común a solo 2 circunferencias (eran puntos dobles)... Entonces se me ocurrió poner mi aro rojo sobre los de mis amigos despacito y... ¡Encajaba!... Mi aro pasaba por los 3 puntos dobles... Ahora los 4 puntos eran triples... ¿Lo ve? Si hubiera sido más grande o más pequeño mi aro no habría encajado... Y no fue casualidad, he comprobado que "siempre" encajan...

    Sí, sería por casualidad, pero Pepe Chapuzas había redescubierto el teorema de los círculos de Johnson.

    Mándame un enunciado y una demostración de este teorema...

188. Filas y columnas

    Pepe Chapuzas estaba escribiendo la sucesión de los enteros no negativos en una tabla. Los iba colocando en filas y columnas de la siguiente manera:

    Profe, mire. Cada entero no negativo tiene su sitio en esta tabla infinita. Y cada uno de ellos se puede localizar mediante sus coordenadas, esto es, sabiendo su fila y su columna. Así, el número 19 está en la fila 3 y en la columna 5. ¿Cuáles serían las coordenadas del número 55555? ¿Qué número se encuentra en la fila 100 y en la columna 100?

    Contesta a Pepe, pero sin hacer una tabla gigante...

187. Una habitación equilátera

    Profe, mire. El suelo de mi habitación es un triángulo equilátero. Y hay un punto en el suelo que dista, respectivamente, 3, 4 y 5 metros de las paredes. ¿Qué longitud tiene una pared?

   Dudo mucho que la habitación de Pepe Chapuzas tenga la forma y las dimensiones que dice, pero en cualquier caso, calcula el lado del triángulo. Espero tu solución...

186. El radio del posavasos

    Encontré a Pepe Chapuzas tomando un zumo en la cafetería del instituto. Con un bolígrafo estaba garabateando algo en un posavasos circular de papel. Cuando terminó su zumo (y sus garabatos) me mostró el posavasos. El dibujo ilustraba el reto que había escrito por detrás...

    Calcula el radio del posavasos de Pepe y nos cuentas cómo lo has hecho.

185. El regalo de la caja

    Pepe Chapuzas trajo una caja al instituto... pero no tenía ningún regalo en su interior. De hecho no tenía "interior" porque era un ortoedro "macizo". El "regalo" consistía en la propia "caja"... Se trataba de uno de sus ya famosos retos...

    Esto que traigo es un ortoedro cuyas dimensiones (alto, ancho y largo) están en progresión geométrica. Su volumen es de 8 decímetros cúbicos y su superficie es de 32 decímetros cuadrados. ¿Cuánto suman las longitudes de sus aristas? (Por supuesto en decímetros lineales).

    Acepta el regalo de Pepe y regálanos la solución.

184. Cinco divisores

    Profe, mire. Hay números naturales que tienen una cantidad par de divisores naturales y otros que tienen una cantidad impar. Por ejemplo, el 3 tiene 2 divisores (el 1 y el 3) y el 4 tiene 3 divisores (el 1, el 2 y el 4). ¿Sabría decirme cuál es el menor número natural que tiene 5 (y solo 5) divisores naturales?

    No le contesté a Pepe Chapuzas. Dejé que lo pensaran en clase y ahora dejo que lo pienses tú. Averigua de qué número se trata...
    ¿Sabrías decirme qué números naturales tienen una cantidad impar de divisores naturales?

183. Una distribución triangular

    Cuando entré en clase vi que Pepe Chapuzas estaba explicando algo a sus compañeros en la pizarra. Dejé que terminara. (A Pepe le encanta ser el profe aunque sea por unos minutos). Acabó proponiendo el siguiente ejercicio...

    La gráfica de la función de densidad de una variable estadística continua determina con el eje de abscisas un triángulo (de área 1 obviamente) como en este dibujo.

    Comprueba que el rango medio de la distribución es la abscisa del circuncentro del triángulo.
    Comprueba que la moda de la distribución es la abscisa del ortocentro del triángulo.
    Comprueba que la media de la distribución es la abscisa del baricentro del triángulo.
    Calcula la mediana de la distribución.

    Resuélvelo y me mandas la solución.

182. Un problema con trampa

    Pepe Chapuzas ha ido recopilando en su cuaderno ejercicios interesantes. Pero a veces es mucho más interesante la manera de resolverlos... Este, que venía acompañado de un dibujito, me parece bastante curioso:

    Enunciado: Iba por la autopista todo el rato a 120 km/h... Justo cuando la distancia recorrida era igual a la distancia que me faltaba empezó a diluviar, de modo que tuve que reducir la velocidad y el resto del viaje conduje a 80 km/h. ¿Cuál fue mi velocidad media?

    Respuesta: ¡Ojo! Este es un problema con trampa. Los profes quieren pillarnos y esperan que contestemos 100 km/h que es la media aritmética de las dos velocidades. La solución verdadera se saca dividiendo el cuadrado de la media geométrica entre la media aritmética, o sea, 96 km/h.

    Comprueba que el resultado de Pepe es la solución correcta e interpreta el dibujo.

181. ¿Paralelas?

    Dicen que la Geometría es el arte de pensar bien y dibujar mal. Mira cómo utilizó Pepe Chapuzas el "teorema del punto gordo" para localizar el baricentro de un triángulo como intersección de sus tres medianas...

    Pero a veces los dibujos están bien y es la mente la que se equivoca. Y si no lo crees observa las siguientes ilusiones ópticas que se ha sacado Pepe de Internet...

    Aunque no lo parezca las rectas verticales son paralelas. Traed a la clase (o mandadme) dibujos de ilusiones ópticas y haremos una bonita exposición.

180. El damero hechizado

    Un día llevé a clase el dibujo de un damero sin trebejos que estaba partido en cuatro trozos: I, II, III y IV. Al lado había otro dibujo en el que los cuatro trozos anteriores se habían ensamblado en otra disposición y formaban un rectángulo... Fue Pepe Chapuzas, cómo no, el que advirtió algo extraño...

    Profe, esto es cosa de hechizo... Mire, en la izquierda los trozos forman un cuadrado de 8x8=64 escaques, mientras que en la derecha el rectángulo tiene 13x5=65 escaques. ¿De dónde ha salido el escaque de más?

    Los compañeros contaron los escaques y se quedaron perplejos, pero con la mosca detrás de la oreja... Al final Pepe dio con la respuesta acertada y el damero perdió todo su hechizo.

    ¿Sabías que el tablero del ajedrez se llama damero, las casillas escaques y las piezas trebejos?
   Busca las definiciones de otras palabras propias del ajedrez como enroque o gambito...
   Y por supuesto, descubre el hechizo del damero y nos lo cuentas. ¿De dónde surge el escaque extra?

179. Un día de la semana

    A Pepe Chapuzas le gusta hacer pensar a sus compañeros con problemas de lógica como el del siguiente ejemplo:

    Yo nací el día 25 de cierto mes de cierto año que no puedo revelar. Pero sí puedo decir que ese mes de ese año hubo tres domingos que cayeron en día par... ¿En qué día de la semana nací?

    ¿En qué día de la semana nació Pepe?

178. Cortando el alambre

    Dicté en clase un problema clásico de optimización. Pepe Chapuzas copió el enunciado en su cuaderno, pero además escribió algo que remarcó en amarillo chillón y que yo no había dictado... También hizo un dibujo para ilustrar el problema antes de resolverlo...

    Un alambre de un metro de longitud se corta en dos trozos. Doblando los dos trozos de alambre se forman un cuadrado y un círculo respectivamente. Calcula la longitud de cada trozo para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea mínima.
    (Los trozos de alambre tienen distintas longitudes y el cuadrado y el círculo tienen distintas áreas).

    Calcula las áreas del cuadrado y del círculo suponiendo cortamos el alambre para que las longitudes de los dos trozos sean iguales.
    Calcula las longitudes de los trozos de alambre suponiendo que cortamos el alambre para que las áreas del cuadrado y del círculo sean iguales.
    Resuelve el problema dictado calculando, además de las longitudes de los trozos de alambre, las áreas del cuadrado y del círculo. ¿Tenía razón Pepe Chapuzas en lo que remarcó con rotulador?

177. Un cuadrado de colores

    Pepe Chapuzas os propone este reto. Hay un positivo para el que lo resuelva...

    El triángulo amarillo es un triángulo equilátero inscrito en un cuadrado y comparte con este un vértice. El triángulo azul tiene un área de 1 metro cuadrado. ¿Qué área tiene el triángulo rojo?