jueves, 24 de noviembre de 2022

1673. Entre un punto y un círculo

    Profe, mire. Calcule las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto P(−10, −5) y que son tangentes al círculo C de centro Q(10, 10) y radio R = 7.

    Pepe Chapuza ha enunciado este problema de geometría. ¿Te atreves con él?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla siempre se atreve...

    Profe, mire. Primero voy a comprobar que el punto P es exterior a C. Basta probar que la potencia de P respecto de C es positiva...

|PQ|² − R² = (10+10, 10+5)² − 7² = 20² + 15² − 7² = 400 + 225 − 49 = 576 = 24² > 0

...aunque no hace falta utilizar la potencia para deducir la posición del punto respecto del círculo: el círculo C está en el I cuadrante y el punto P está en el III cuadrante...

    Por esa misma razón ninguna de las dos soluciones es vertical (ni horizontal) por lo que las ecuaciones se pueden escribir en forma punto-pendiente. El dibujo es ilustrativo pero no refleja fidedignamente las medidas... Si α y β son los ángulos que se muestran en la figura, las pendientes de las soluciones son...

p = tg (α+β) = (tg α + tg β) / (1  tg α tg β) = (15/20 + 7/24) / (1  3/4·7/24) = 4/3
p = tg (αβ) = (tg α  tg β) / (1 + tg α tg β) = (15/20  7/24) / (1 + 3/4·7/24) = 44/117

    Por lo tanto las soluciones son...
t : y+5 = 4/3 · (x+10)
t' : y+5 = 44/117 · (x+10)

    Las soluciones son "bonitas" en el sentido de que no contienen radicales. ¿Podría alguien indicar cómo se pudo preparar el enunciado para conseguirlo?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota se dió cuenta de que la distancia entre P y Q era 25.

    Mire, profe. Se ha utilizado 25 como hipotenusa de dos triángulos pitagóricos: 7-24-25 y 15-20-25. Este último se denomina a veces isíaco en referencia a la diosa Isis del antiguo Egipto.

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