1656. Las chinchetas

    Profe, mire. Se me abrió la cajita de 100 chinchetas y se cayeron todas al suelo. Conté las que quedaron con la punta hacia arriba: 42... Me pregunto: si se cayeran 7, ¿cuál es la probabilidad de que quedasen 3 hacia arriba y 4 hacia abajo? 

    Pepe Chapuza tiene problemas con las chinchetas...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla sabía que aquí había una distribución de probabilidad binomial...

    Profe, mire. Consideremos la variable aleatoria discreta X = "número de chinchetas hacia arriba". Buscamos P(X=3). El problema es similar a tirar una sola chincheta 7 veces y que caiga 3 veces hacia arriba y 4 veces hacia abajo. Hay bastantes posibilidades de que esto ocurra... Una sería (▲▼▼▼▲▲▼) . O, si anotamos las tiradas en que sale "arriba", (1ª-5ª-6ª). Da igual cómo lo anotemos porque PR₇ ^3,4 = C_7,3 = 7!/3!/4! = 35 , es decir, hay 35 posibilidades. Solo hay que saber la probabilidad de que una chincheta quede hacia arriba. Supongamos que, por el accidente de Pepe, es 42/100 = 0,42. La probabilidad de que quede hacia abajo será 1–0,42 = 0,58. La probabilidad de cada una de esas 35 posibilidades es la misma: 0,42³·0,58⁴ (sucesos independientes). Por tanto P(X=3) = 35·0,42³·0,58⁴  = 0,2934.

    ¡Bravo! ¿Por qué se llama distribución binomial?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota pensó en general...

    Mire, profe. En el problema anterior, X ~ Bin(7; 0,42), lo que significa que X sigue una distribución de probabilidad binomial, con 7 chinchetas y probabilidad 0,42 para "arriba". Es obvio que P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) = 1. Estamos "distribuyendo" la probabilidad entre los ocho valores posibles de la variable X.

    En general, si X ~ Bin(n, p), entonces P(X=k) = C_n,k · p^k · q^n−k (donde q = 1–p). Esta fórmula es idéntica a la de un término del desarrollo del binomio de Newton de (p+q)ⁿ. Ahora está claro por qué se llama distribución binomial...

    A n se le denomina número de ensayos, p es la probabilidad del éxito y q es la probabilidad del fracaso. La esperanza y la varianza valen np y npq, respectivamente.