Uno de los ejercicios para casa era la demostración del teorema de Carnot. El enunciado decía que para cualquier triángulo acutángulo, la suma de las distancias del circuncentro a los lados era igual a la suma de los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita del triángulo.
Pepe Chapuzas encontró una preciosa demostración...
Demuestra el teorema de Carnot y llévate un positivo.
¿Qué pasaría si el triángulo no fuera acutángulo?
SOLUCIÓN
Veamos la demostración que nos ha proporcionado Nina Guindilla...
El área del triángulo se puede descomponer en tres: Ar/2 + Br/2 + Cr/2 = (A+B+C)r/2.
Por otro lado, también se puede descomponer de esta otra manera: Aa/2 + Bb/2 +Cc/2, por lo tanto, con lo de antes, r = (aA + bB + cC)/(A+B+C).
Y así también se puede descomponer: en tres cuadriláteros cíclicos (son cíclicos porque los ángulos opuestos suman 180º). Podemos aplicar el teorema de Tolomeo y...
RA/2 = bC/2 + cB/2,
RB/2 = aC/2 + cA/2 y
RC/2 = aB/2 + bA/2.
Sumando y despejando... queda, R = (bC + cB + aC + cA + aB + bA)/(A+B+C).
Finalmente, sumando las igualdades subrayadas tenemos:
r+R = (aA+aB+aC+bA+bB+bC+cA+cB+cC)/(A+B+C) = a+b+c.
Nina ha dejado el caso en el que el circuncentro no se halla dentro del triángulo como ejercicio para los demás...
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