1507. Los naturales de Ore. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas nos habló de una colección de números... Los números armónicos de Øystein Ore... (Naturales de Ore para abreviar...) Nos dijo que un número natural era de Ore si la media armónica de sus divisores era también un número natural...

    Mire, profe. El problema está en calcular esa media armónica cuando el número tiene muchos divisores. Pero hay un atajo. La media armónica H de los divisores de un número M se puede calcular dividiendo ese número M entre la media aritmética L de esos divisores. La media aritmética L es el cociente de la suma S de los divisores entre el número N de divisores. O sea:

H = M/L = M/(S/N) = MN/S

    Así, si M = 12, la suma de divisores es S = 1+2+3+4+6+12 =28 y N = 6. La media armónica será

H = 12·6/28 = 18/7

que no es natural. Por lo tanto, 12 no es de Ore...
    Si M = 6, la suma de divisores es S = 1+2+3+6 = 12 y N = 4. La media armónica será

H = 6·6/12 = 3

que es natural. Por lo tanto, 6 sí es de Ore...

    Comprueba que todos los naturales perfectos son de Ore.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla nos recordó lo que era un número natural perfecto:

    Mire, profe. Un natural es perfecto si es amigo de sí mismo, esto es, si coincide con la suma de sus divisores propios, por lo tanto...

M = S–M

S = 2M

y por tanto S sería par y...

H = MN/(2M) = N/2 

    M sería de Ore si N es par o, lo que es lo mismo, si M no es un natural cuadrado... (Solo los naturales cuadrados tienen una cantidad impar de divisores.)
    Procedamos por reducción al absurdo...
    Si M fuera cuadrado sería M = K². Descomponiendo K como producto de factores primos...

K = A^a · B^b · C^c · ...

M = A^2a · B^2b · C^2c · ...

y la suma de sus factores

S = (1+A+A²+...+A^2a) · (1+B+B²+...+B^2b) · (1+C+C²+...+C^2c) · ...

    En cada paréntesis el 1 está sumando a una cantidad par de potencias de un primo (todas pares o todas impares), por lo que cada paréntesis encierra un valor impar y por tanto S sería impar... ¡Par e impar a la vez!

    Vale... Todos los naturales perfectos (6, 28, 496, 8128, ...) son de Ore...
    ¿Habrá algún natural de Ore que no sea perfecto...?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso encontró dos: el 140 y el 270. Lo primero que hizo fue factorizarlos:

    Mire, profe. Con el primer número...
    M = 140 = 2²·5·7
    S = (1+2+4)·(1+5)·(1+7) = 336
    N = 3·2·2 = 12
    H = 140·12/336 = 5

    Hice mis comprobaciones... por si las moscas...
    Hay 12 divisores:

1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 y 140.

    La suma es:

1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 10 + 14 + 20 + 28 + 35 + 70  + 140 = 336.

    Y la media armónica:

12 / (1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/7 + 1/10 + 1/14 + 1/20 + 1/28 + 1/35 + 1/70  + 1/140) = 5

    Efectivamente 140 no era perfecto pero sí de Ore... Yoyó siguió con el segundo número...

   

    M = 270 = 2·3³·5
    S = (1+2)·(1+3+9+27)·(1+5) = 720
    N = 2·4·2 = 16
    H = 270·16/720 = 6

    Si el lector quiere hacer más comprobaciones... y buscar otros naturales de Ore...
    Yoyó comentó una "chapuza" antes de despedirse...

    Profe, mire. En muchos textos llaman cuadrados perfectos a los naturales cuadrados... Se podría decir que... ¡los cuadrados perfectos son imperfectos!

1506. Aquiralidad. RESOLUCIÓN

    Tocaba hablar de los objetos quirales. Comenté que un objeto era quiral si no era superponible con su imagen especular... Pepe Chapuzas aclaró el concepto...

    O sea, profe. Mi mano derecha es quiral porque su imagen en el espejo, esto es, la mano simétrica respecto de un plano, es una mano izquierda y, que yo sepa, las manos derecha e izquierda no son superponibles aunque sean congruentes...

    ¡Un montón de conceptos! De hecho, la palabra "quiral" procede de la palabra griega para "mano" (como el prefijo "quiro-" de "quiromasaje" y "quiromante").
    Una vez asimilados los términos fue fácil entender lo que era un objeto aquiral: el que sí era superponible con su imagen especular... Investiga la relación entre aquilaridad y simetría...

SOLUCIÓN

    Oigamos a Nina Guindilla:

    Mire, profe... 
    En una dimensión (en la recta real) un objeto es aquiral si y solo si es simétrico respecto de un punto (el centro de la simetría central). Un objeto quiral sería por ejemplo un intervalo semiabierto (o semicerrado).

    En dos dimensiones (en el plano real) un objeto acotado es aquiral si y solo si es simétrico respecto de una recta (el eje de la simetría axial) pero hay objetos no acotados que son aquirales y asiméticos:

    En nuestro alfabeto hay unas letras mayúsculas quirales y otras aquirales... Lo mismo ocurre con las distintas piezas del tetris...

    Falta por investigar qué ocurre en tres dimensiones...

RESOLUCIÓN

    En el espacio tridimensional el asunto se complicaba como adivinó Yoyó Peluso...

    Mire, profe. 
    Una mano es un buen ejemplo de objeto quiral... (O un pie...)
    Todos los objetos que poseen simetría especular (respecto de un plano) son aquirales.

    También son aquirales todos los objetos que poseen simetría central (respecto de un punto)...

    Además hay objetos acotados aquirales que no poseen ni simetría central ni simetría especular... como el aspa siguiente construida con dos tablillas iguales...

1505. Un par de medias... RESOLUCIÓN

    Profe, mire. Todo número natural es igual al producto de la media aritmética y la media armónica de sus divisores, ¿verdad?

    Me detuve a ver si entendía la afirmación de Pepe Chapuzas... Si  N  era un número natural que tenía  n  divisores  a, b, c, d, ... , entonces...

¿    N = (a + b + c + d + ...) / n  ·  n / (1/a + 1/b + 1/c + 1/d + ...)    ?

o sea

¿    N = (a + b + c + d + ...) / (1/a + 1/b + 1/c + 1/d + ...)    ?

    ¿Qué pensáis?

SOLUCIÓN

    Mire, profe. Si  a, b, c, d, ... es la lista de divisores de  N  ordenados de menor a mayor entonces A = N/a, B = N/b, C = N/c, D = N/d  es la lista de divisores de  N  ordenados de mayor a menor... Por lo tanto  

1/a = A/N, 1/b = B/N, 1/c = C/N, 1/d = D/N, ...

y

A + B + C + D + ...= a + b + c + d + ...

    Entonces...

(a + b + c + d + ...) / (1/a + 1/b + 1/c + 1/d + ...)  =

=  (a + b + c + d + ...) / (A/N + B/N + C/N + D/N + ...)  =

=  (a + b + c + d + ...) / ((A + B + C + D + ...) / N ) =

=  (a + b + c + d + ...) / (a + b + c + d + ...) · N  =

=  N

    Nina Guindilla se llevó su positivo, pero no se quedó sin proponer lo siguiente:

    Mire. profe. Ahora entra en juego una tercera media... 
    La media geométrica de dos números es igual a la media geométrica de sus medias aritmética y armónica...
    El logaritmo de una media geométrica de varios números es la media aritmética de sus logaritmos...

    Parecían trabalenguas... Hay otro positivo esperando...

RESSOLUCIÓN

    Como no... Yoyó Peluso fue a por el positivo...

    Profe, mire:

√( (a+b)/2 · 2/(1/a+1/b) ) =

= √( (a+b) / ((a+b)/(a·b)) ) =

= √( (a+b) / (a+b) · a · b ) =

= √(a·b)

    Se podía haber dicho que el producto de dos números es igual al producto de sus medias aritmética y armónica. Por otro lado, el trabalenguas de los logaritmos se basa en las propiedades de estos:

log ⁿ√(a·b·c·d·...) = (log a + log b + log c + log d + ...) / n

    También se puede decir que la media armónica de varios números es el inverso de la media aritmética de sus inversos...

1504. Si y solo si. RESOLUCIÓN

    En este problema de Pepe Chapuzas aparece un "si y solo si". Léelo e intenta resolverlo:

    Un triángulo es rectángulo si y solo si la distancia entre el circuncentro y el baricentro es un tercio del circunradio.

SOLUCIÓN

    Ahora le tocaba a Nina Guindilla la parte más sencilla:

    Mire, profe. Un triángulo rectángulo se puede inscribir en un semicírculo, por tanto la hipotenusa es un diámetro de la circunferencia circunscrita, y el punto medio de la hipotenusa es el circuncentro. Por lo tanto, la mediana que biseca la hipotenusa es un circunradio..., y ya sabemos dónde se ubica el baricentro en las medianas: su distancia al vértice es el doble de su distancia al punto medio del lado bisecado... de donde se tiene el resultado.

    Ahora había que demostrar lo recíproco... 

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso se ayudó del siguiente dibujo...

    Mire, profe. Si O y G son el circuncentro y el baricentro del triángulo de vértices A, B y C, entonces el vector  

OG = (OA+OB+OC) / 3
3 OG = OA+OB+OC

    Sea  R = |OA| = |OB| = |OC|  el circunradio del triángulo ABC.
    Supongamos que 

|OG| = R/3
3 |OG| = R

entonces, tendremos...

|OA+OB+OC| = R

    Así...

(OA+OB+OC)² = R²
OA² + OB² + OC² + 2 OA·OB + 2 OA·OC + 2 OB·OC = R²
R² + R² + R² + 2 OA·OB + 2 OA·OC + 2 OB·OC = R²
2 R² + 2 OA·OB + 2 OA·OC + 2 OB·OC = 0
R² + OA·OB + OA·OC + OB·OC = 0
R² + R² cos2α + R² cos2β + R² cos2γ = 0
1 + cos2α + cos2β + cos2γ = 0
1 + 2cos²α  – 1 + 2cos²β  – 1 + 1 – 2sen²γ = 0
2cos²α  + 2cos²β  – 2sen²γ = 0
cos²α  + cos²β  – sen²γ = 0
cos²α  + cos²β  – sen²(180º–α–β) = 0
cos²α  + cos²β  – sen²(α+β) = 0
cos²α  + cos²β  – (senα cosβ + cosα senβ )² = 0
cos²α  + cos²β  – sen²α cos²β – cos²α sen²β  – 2senα senβ cosα cosβ = 0
cos²α  (1–sen²β) + cos²β  (1–sen²α) – 2senα senβ cosα cosβ = 0
cos²α cos²β + cos²β cos²α – 2senα senβ cosα cosβ = 0
2 cos²α cos²β – 2 senα senβ cosα cosβ = 0
cos²α cos²β – senα senβ cosα cosβ = 0
cosα cosβ (cosα cosβ – senα senβ ) = 0
cosα cosβ cos(α+β) = 0
cosα cosβ (–cos(180º –α–β)) = 0
–cosα cosβ cosγ = 0

    Algún coseno ha de ser nulo y por tanto algún ángulo es recto...