jueves, 18 de diciembre de 2014

292. Una razón irracional

    Profe, mire. El cuadrado de un número par es un número par y el cuadrado de un número impar es un número impar. La prueba es muy sencilla... Si un número es par, entonces termina en 0, 2, 4, 6 u 8 y su cuadrado terminará en 0, 4, 6, 6 o 4 respectivamente. Y si es impar, entonces termina en 1, 3, 5, 7 o 9 y su cuadrado terminará en 1, 9, 5, 9 o 1 respectivamente...

    Pepe Chapuzas estaba orgulloso de haber deducido algo... que todo el mundo sabía...
    Aprovechando su "demostración" le hablé de la irracionalidad de 2. Le recordé que 2 era el valor de la razón entre la diagonal y el lado de un cuadrado como ya habíamos visto con el teorema de Pitágoras. ¡Era una razón irracional! Y añadí que esto se podía demostrar por reducción al absurdo, es decir, suponiendo que 2 fuera racional y llegando a una contradicción... Pepe estuvo muy atento a la explicación: esto es lo que apuntó en su cuaderno...
    Si 2 fuera racional, se podría escribir como una fracción irreducible, o sea, 2 = a/b  (siendo a y b coprimos)... 
    Por lo tanto, elevando al cuadrado, a2/b2 2, 
y despejando, a2 2b2,    (*) 
por lo tanto a2 sería par... y a también,
o sea, a = 2c, para cierto número natural c.
por tanto, a2 = 4c2,    (**)
e igualando (*) y (**) tenemos 2b2  = 4c2, y despejando, b2  = 2c2, 
y por lo tanto b2 sería par... y b también...
    Pero si a y b fueran ambos pares, no serían coprimos... y la fracción irreducible a/b sería una fracción reducible (se podría simplificar dividiendo por 2)... en evidente contradicción...
    Por todo ello, 2 no se puede escribir como una fracción irreducible... y no es un número racional... sino irracional....

    Ahora te toca a ti. Demuestra que 3 es un número irracional.

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