283. Excesos...

    Profe, mire. Que la suma de los ángulos de un triángulo sea 180º me raya... Verá. Si yo dibujo un triángulo en el bloc de dibujo... pues vale..., pero si trazara un triángulo en el suelo..., quiero decir un triángulo grande..., muy grande..., grandísimo..., entonces el triángulo acabaría curvándose porque el planeta no es plano: ¡los lados serían curvos!... Imagínese un triángulo que tuviera un vértice en el polo norte y los otros dos en el ecuador... La suma de los ángulos de ese triángulo sería mayor de 180º... ¡Podrían ser incluso los tres ángulos rectos y entonces su suma sería 270º!

    Le hablé a Pepe Chapuzas de los triángulos esféricos. Le comenté que, si suponíamos que la Tierra fuera una esfera perfecta, los lados de ese gran triángulo serían arcos de circunferencias máximas. (Circunferencias máximas eran por ejemplo los meridianos y el ecuador.) Y que, en particular, el triángulo de tres ángulos rectos (trirrectángulo) sería un octante (y un octavo) de la superficie terrestre. Y, para terminar, añadí que la suma de los ángulos de un triángulo esférico siempre era mayor de 180º y que ese exceso (llamado exceso esférico) era proporcional al área del triángulo. (El exceso de un octante sería 270º – 180º = 90º.)
    A Pepe no le costó demasiado digerir tanta información de golpe porque ya estaba preguntando:

    ¿Cuál sería el exceso de España? Quiero decir... Si un triángulo esférico en la superficie terrestre tuviera la misma área que España, ¿cuál sería su exceso esférico?

    Calcula el "exceso de España".

282. Los cuadrados equilibristas (2ª parte)

    ¡Más difícil todavía! Cuatro cuadrados equilibristas intentan hacer un equilibrio que parece imposible. ¡Están unidos por cuatro vértices formando una cadena!... Para ayudarse en el ensayo cada pareja de cuadrados opuestos se ha unido con una goma elástica roja enganchada en sus centros... De pronto se percatan de que las dos gomas siempre tienen direcciones perpendiculares... y tienen la misma longitud...

    Pepe Chapuzas ha ilustrado un sorprendente resultado conocido como teorema de Van Aubel...   

    Busca un enunciado y una demostración de este teorema y nos lo cuentas a todos...

281. Los cuadrados equilibristas

    Cinco cuadrados equilibristas están en equilibrio... De pronto se dan cuenta de que hay un cuadrado y un triángulo que tienen la misma área. (Están marcados con la letra A.) ¡Demuéstralo!

    Pepe Chapuzas te reta con este reto... Resuélvelo sin perder el equilibrio...

280. La salita y el salón

    En el palacio de Chapuzalandia están solando la salita y el salón. El suelo de la salita es un rectángulo de 4m x 3m y el del salón es un rectángulo de 30m x 20m. Están utilizando para los dos suelos el mismo tipo de embaldosado y el mismo tipo de baldosas: baldosas triangulares para el borde y baldosas cuadradas para lo demás. Aquí tenéis el plano de la salita... ¿Cuántas baldosas triangulares y cuántas cuadradas se necesitan para el salón?

    Chapuzalandia es el país imaginario de Pepe Chapuzas...
    ¡A contar baldosas!

279. Un múltiplo de 6

    Este número de 602 dígitos es un múltiplo de 6. La cifra A aparece 601 veces. ¿Qué cifra es A?

    Resuelve este problemita de Pepe Chapuzas. Es fácil, ¿verdad?

278. Un octágono mixtilíneo

    Profe, mire. Este círculo y este cuadrado tienen dos cosas en común: tienen el mismo centro (son concéntricos) y tienen la misma área (1 metro cuadrado). La intersección (en verde) es un octágono con 4 lados rectos y 4 lados curvos: es mixtilíneo... ¿Cuánto miden el área y el perímetro de este octágono mixtilíneo?

    Aquí tenéis el reto que Pepe Chapuzas ha propuesto para el fin de semana...

277. El calendario del arco iris

    Pepe Chapuzas también colecciona calendarios. Este es el favorito de su colección... Es un calendario que sirve para los años desde 2014 hasta 2030. (Aunque se podría ampliar.)

    Así me ha explicado cómo funciona:

    Profe, mire. Si quiero saber qué día de la semana va a caer el 13 de octubre de 2027, recorro desde el mes de octubre, que está arriba a la izquierda (X), hasta el año 2027, que está arriba a la derecha (27). O sea: bajo, tuerzo en la casilla verde y subo... Y luego subo desde el día trece, que está abajo a la izquierda (13), tuerzo en la casilla del mismo color que antes, verde, y bajo hasta el miércoles, que está abajo a la derecha (mi). Ya está: ¡miércoles!

    Solo hay que tener cuidado con los años bisiestos que están repetidos: tienen dos casillas, una negra y otra blanca... La casilla negra es para enero y febrero y la blanca para los demás meses. Por ejemplo, el 6 de febrero de 2024.. Bajo desde febrero (II), tuerzo en la casilla azul y subo hasta 2024 (24 en casilla negra). A continuación subo desde el día seis (6), tuerzo en la casilla azul y bajo hasta (ma)... ¡Martes! 

    Prueba con diferentes fechas para comprobar si funciona.
    ¿Qué día de la semana caerá tu próximo cumpleaños?

276. Un problema... con la pintura

    Pepe Chapuzas tiene un problema:

    He gastado justamente un litro de pintura verde para pintar esta figura. ¿Cuánta pintura roja he gastado?

    Resuélvele a Pepe su problema... con la pintura.

275. Las combinaciones con repetición o el rectángulo de Chapuzas...

    Habíamos explicado las combinaciones ordinarias y habíamos visto su relación con los coeficientes binomiales y el triángulo de Pascal... Vimos algunas propiedades e hicimos una tabla de valores de M sobre N.

    Al terminar la explicación comenté que este curso no íbamos a ver las combinaciones con repetición porque no estaban en el temario... A Pepe Chapuzas le debió de disgustar esto y debió de investigar lo que eran las combinaciones con repetición por su cuenta ya que al día siguiente trajo lo siguiente:

    Profe, mire: he encontrado una propiedad de las combinaciones con repetición similar a una que vimos ayer de las combinaciones ordinarias... Además me he dado cuenta de que, a diferencia de las combinaciones ordinarias que formaban en la tabla de valores un triángulo porque N era menor o igual que M (el triángulo de Pascal), en las combinaciones con repetición N puede ser mayor que M y en una tabla de valores no se formaría un triángulo sino un rectángulo (o un cuadrado)... 

    Pepe casi se quedó sin respiración... A partir de entonces denominé a ese rectángulo el rectángulo de Chapuzas...

    Investiga qué relación hay entre las combinaciones con repetición y las combinaciones ordinarias...
    Comprueba la propiedad que ha encontrado Pepe...
    Rellena el rectángulo de Chapuzas,,,

274. Un cuadrilátero especial (2ª parte)

    Profe, mire el dibujito... He leído que en cualquier cuadrilátero (azul), las bisectrices (verdes) delimitan un cuadrilaterito cíclico (inscribible en una circunferencita)...

    Interrumpí a Pepe Chapuzas para advertirle que eso no ocurría siempre... El cuadrado era un contraejemplo evidente ya que sus bisectrices concurrían en un punto: el centro del cuadrado...

    Demuestra que si las bisectrices delimitan un cuadrilaterito, este es cíclico.
    Pepe, además, ha añadido las siguientes preguntitas...
 
    ¿Cuándo el cuadrilaterito es un rectángulito?
    ¿Cuándo es un cuadradito?
    ¿Cuándo es un deltoide pequeñito (una cometita)?
    ¿Cuándo no hay cuadrilaterito?

273. Un cuadrilátero especial

    Profe, mire. He descubierto que si los cuatro lados (a, b, c y d) de un cuadrilátero son tangentes a una circunferencia, entonces las dos parejas de lados opuestos suman lo mismo (a+c=b+d).

    Demuestra que lo que ha "descubierto" Pepe Chapuzas es cierto.
    Averigua quién descubrió esto mucho antes que Pepe...

272. Complejos sin palabras

    Pepe Chapuzas está aprendiendo símbolos matemáticos...

    Profe, mire. Si escribo el enunciado de un problema en castellano solo lo entienden los que sepan castellano, pero si utilizo símbolos, lo puede entender todo el mundo... Bueno..., todo el mundo que controle los símbolos matemáticos, se entiende...

    Como ejemplo propuso el siguiente ejercicio de números complejos. Aunque a Pepe se le ha escapado un detalle que lo delata como hispanohablante: el signo de interrogación "¿".

    Veamos si entiendes este ejercicio sin palabras y lo resuelves... pero con palabras.

271. El cuarto rectángulo

    Este rectángulo está dividido en cuatro rectángulos. Dadas las áreas de tres de ellos... ¿cuánto mide el área del cuarto rectángulo?

    Aquí os dejo este pequeño reto de Pepe Chapuzas. ¿A qué esperas para resolverlo?

270. Intersección imaginaria...

    Cada alumno tenía que preparar un tema y explicarlo en clase. Pepe Chapuzas eligió la potencia de un punto respecto de una circunferencia... Y la definió de la siguiente manera:

    Sea P un punto y C una circunferencia. Sea R cualquier recta que pase por P y sean A y B los puntos de intersección de la recta R y la circunferencia C. La potencia del punto P respecto de la circunferencia C es el producto escalar de los vectores PA y PB.

    Demostró que la potencia así definida era independiente de la recta elegida... Solo indiqué un problema en su exposición: no todas las rectas que pasaban por el punto P cortaban a la circunferencia C... Pepe, por no reconocer su leve error, comentó que, en caso de no cortarse realmente, habría puntos de intersección con coordenadas complejas imaginarias y que, seguramente, su definición de potencia seguiría siendo válida...

    Una auténtica chapuza... De todos modos comprueba si es cierto lo que ha conjeturado Pepe...
(No se pide ninguna demostración. Basta con elegir cualquier circunferencia, cualquier punto exterior y cualquier recta que pase por el punto y no corte a la circunferencia.)

269. Demasiados factoriales...

    Pepe Chapuzas ha escrito propuesto este reto a la clase. Sé el primero en resolverlo...

268. Siete veces siete

    Profe, mire. Hace mucho nos enseñaron que la multiplicación era una suma:

    Y también nos enseñaron que la potencia era una multiplicación:

    ¿No se podría continuar la cadena inventando una nueva operación?

    Así es Pepe Chapuzas... Siempre les está dando una vuelta de más a las tuercas... Solo le contesté que no era el primero en pensar en ello... Y aprovechando su vuelta de tuerca le reté a que me dijera cuáles eran las dos últimas cifras del resultado de esa última operación...

    Ahora te reto a ti... Este es un de esos ejercicios que asustan y que te echan para atrás y sin embargo es mucho más sencillo de lo que parece a simple vista...

267. El teorema de Apolonio

    Mandé buscar información sobre el teorema de Apolonio, también llamado teorema de la mediana, y Pepe Chapuzas dio el siguiente enunciado:

    En un triángulo, una mediana parte un lado por la mitad. El teorema de Apolonio afirma que la suma de los cuadrados de la mediana y del medio lado es igual a la media de los cuadrados de los otros dos lados...

    El enunciado era un poco confuso, por no decir chapucero... Menos mal que venía acompañado de dibujos que lo aclaraban bastante bien.

    No incluyo la demostración que dio Pepe. Esa me la tienes que dar tú...

266. Trigonometría hiperbólica

    Profe, ¿nos tenemos que aprender todas las fórmulas trigonométricas? ¡Son demasiadas!...

    Era Pepe Chapuzas el que se quejaba... Le comenté que no había motivos para protestar puesto que no íbamos a ver la trigonometría hiperbólica, la hermana gemela de la trigonometría circular de la que se quejaba tanto... Y que todavía había una hermana mayor, que era la trigonometría esférica... Sabía que iba a despertar su curiosidad, así que le definí las funciones sh (seno hiperbólico) y ch (coseno hiperbólico):

    Y me atreví a darle tres fórmulas de trigonometría hiperbólica que enseguida relacionó con las equivalentes de trigonometría circular...

    Pepe Chapuzas no tuvo ningún problema en demostrar estas tres fórmulas a partir de las definiciones de sh y ch... Hazlo tú también.

265. El teorema de Carnot

    Uno de los ejercicios para casa era la demostración del teorema de Carnot. El enunciado decía que para cualquier triángulo acutángulo, la suma de las distancias del circuncentro a los lados era igual a la suma de los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita del triángulo.

    Pepe Chapuzas encontró una preciosa demostración...

    Demuestra el teorema de Carnot y llévate un positivo.
    ¿Qué pasaría si el triángulo no fuera acutángulo?

264. Ceva y las cevianas

    Mandé a mis alumnos buscar biografías de matemáticos célebres y Pepe Chapuzas eligió a Giovanni Ceva. Y de paso habló de las cevianas y del teorema de Ceva...

    En un triángulo, una ceviana es una recta que pasa por un vértice pero no por dos.

    El teorema de Ceva afirma que tres cevianas (una por vértice) son concurrentes en un punto interior del triángulo si y solo si se cumple la igualdad abc=xyz. (Ver dibujo.)

    Solo añadí que el teorema se puede generalizar para cevianas concurrentes en un punto exterior.

    Demuestra, utilizando el teorema de Ceva, que las medianas, las bisectrices, las alturas y las mediatrices de un triángulo acutángulo concurren, respectivamente, en el baricentro, el incentro, el ortocentro y el circuncentro. (¡Ojo! Las medianas, las bisectrices y las alturas son cevianas pero las mediatrices ¡no!)