540. SOLUCIÓN de 240. Polígonos naturales, naturalmente

    Profe, mire. Estos polígonos regulares tienen todos un ángulo interior que mide una cantidad entera (un número natural) de grados sexagesimales. Ayer me puse a averiguar cuántos polígonos regulares (y cuáles) comparten esta peculiaridad... pero se me hizo de noche... Y esta mañana tenía demasiado sueño... ¿Me podría echar una mano?

    Parece que a Pepe Chapuzas se le han pegado las sábanas. Ha llegado tarde a clase... y encima con este problema. Igual piensa que así no le voy a poner un retraso en el parte... Al final, él se quedará con su retraso en el parte y el que resuelva su problema se llevará un positivo. ¡Ánimo!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla partió de la fórmula que nos da el ángulo interior de un polígono regular de N lados: Î =  180º·(N–2):N...

    Profe, voy a despejar el número de lados N...

ηN = 180º·N–360º

(180º–Î)·N = 360º

N = 360º:(180º–Î) = 360º:Ê

    Tengo que buscar divisores naturales Ê de 360º menores que 180º. Ê es el suplementario de Î, (por ejemplo el ángulo exterior o el ángulo central del polígono). Para cada posible valor de Ê tendré una solución, esto es, un polígono regular de N lados cuyo ángulo interior Î mide un número natural de grados sexagesimales... Por lo anterior, se deduce que N tiene que ser un divisor de 360 mayor que 2. Hay 22 en total... 

N	3	4	5	6	8	9	10	12	15	18	20
Î	60º	90º	108º	120º	135º	140º	144º	150º	156º	160º	162º

N	25	30	36	40	45	60	72	90	120	180	360
Î	165º	168º	170º	171º	172º	174º	175º	176º	177º	178º	179º

 
   Prueba que en todo polígono regular, el ángulo central y el ángulo exterior coinciden.

539. SOLUCIÓN de 239. La siesta del 8

    Profe, mire. El ocho sueña que es infinito en vez de ocho cuando echa la siesta...

    El chiste de Pepe Chapuzas era muy viejo y no tuvo demasiado éxito... Entonces le comenté que había un ocho que no podía soñar que era infinito porque no podía dejar de ser ocho ni echando la siesta... Se trataba del ocho (que estaba echando la siesta) determinado por las gráficas de las funciones sen(x) y –sen(x) en el intervalo [–π,π]... Hice un dibujo en la pizarra...

    Pepe exclamó:

    ¡Es por culpa del área que encierra!

 

    Estas curvas se llaman sinusoides. Calcula el área (amarilla) encerrada entre las dos sinusoides...

 

SOLUCIÓN

 

    El cálculo de esta área no suponía para Nina Guindilla ninguna dificultad...

    ¡El área mide 8, profe!

 

    La curva más famosa (entre los matemáticos) con forma de 8 es la lemniscata de Bernoulli... Busca información sobre esta curva y nos lo explicas todo. ¿Cómo sería la ecuación de una lemniscata de Bernoulli que encerrara un área de 8?

538. SOLUCIÓN de 238. El criterio del 11

    Estábamos repasando en clase los criterios de divisibilidad y como ejemplo había que comprobar que 5786 era un múltiplo de 11. Algunos alumnos no se acordaban del criterio del 11 y dividieron directamente 5786 entre 11.

    Los que sí se acordaban del criterio hicieron más o menos lo siguiente:

    Pepe Chapuzas se complicó un poco intentando justificar por qué funcionaba así el criterio del 11. En su cuaderno escribió la siguiente chapuza...

    Leamos despacito el número 5786.
    Cinco mil, setecientos, ochenta, y seis...
    O sea, 5000 + 700 + 80 + 6.
    O sea, 5·1000 + 7·100  + 8·10 + 6.
    O sea, 5·10³ + 7·10² + 8·10 + 6.
    Y si escribimos ahora 10 como los romanos ( 10 = x )
    tenemos 5x³ + 7x² + 8x + 6. ¡Un polinomio! 
    Y también 11 = 10 + 1 = x + 1.
    Así que la división 5786 : 11 se convierte en
    la división de polinomios ( 5x³ + 7x² + 8x + 6 ) : ( x + 1 ).
    Y por el teorema del resto, el resto de esta división será
    5·(–1)³ + 7·(–1)² + 8·(–1) + 6 = – 5 + 7 – 8 + 6 = 0
    que no es otra cosa que el criterio del 11.

    Todo parecía cuadrar... pero a Pepe se le había olvidado que al aplicar el criterio del 11 el resultado no tiene por qué ser 0 sino que puede ser 11 o un múltiplo de 11. ¿Puedes arreglar y terminar esta chapuza de Pepe?
    ¿Cómo se podría aplicar el criterio del 11 con la regla de Ruffini?
    ¿Cuál es el menor múltiplo (natural) de 11 para el que el resultado de aplicar el criterio es 11?
    ¿Y cuáles son los menores múltiplos (naturales) de 11 para los que el resultado de aplicar el criterio es 22, 33, 44...?
    ¿Te atreves a justificar el criterio del 9 al estilo de Pepe Chapuzas?

SOLUCIÓN

    Profe, 209 es el número más pequeño para el que el resultado de aplicar el criterio del 11 es 11. Está claro que no es lo mismo dividir números que polinomios, pues mientras que el resto de dividir 209 entre 11 es 0, el resto de dividir 2x² + 9 entre x + 1 es 11. El teorema del resto me permitiría aplicar el criterio del 11 con la regla de Ruffini...

    El criterio del 9 es parecido al del 11. Se podría hacer con la regla de Ruffini pero ahora dividiendo entre x – 1 (que según Pepe sería 10 – 1  = 9). Probar que 243 es divisible entre 9 con la regla de Ruffini sería...

    Nina Guindilla no nos ha dicho cuáles son los múltiplos (naturales) menores para los que el resultado de aplicar el criterio del 11 es, 22, 33, 44, etc. ¿Lo investigas?

537. SOLUCIÓN de 237. La ecuación intrusa

    Había mandado una colección de ecuaciones con radicales (raíces cuadradas) para entregar y se me coló una con raíces cúbicas...

    La mayoría de mis alumnos contestó que de ese tipo no se habían visto, pero Pepe Chapuzas empezó de la siguiente manera:

    Si para eliminar las raíces cuadradas elevamos al cuadrado, para eliminar las raíces cúbicas habrá que elevar al cubo...

    Después de varios intentos (había muchos tachones) lo consiguió...
    Demuestra que tú también puedes hacerlo...

SOLUCIÓN
 
    Nina Guindilla empezó despejando un radical...

∛(1729 – x) = 19 – ∛x

 y elevando al cubo los dos miembros de la igualdad...

1729 – x = 6859 – 1083∛x + 57∛x² – x

57∛x² – 1083∛x + 5130.

Esta es una ecuación de 2º grado en ∛x ...

∛x = (1083 ± √3249)/114 = (1083 ± 57)/114

x = (1083 ± 57)³/114³

x₁ = 1000  y  x₂ = 729

    Comprueba que las dos soluciones son válidas en la ecuación inicial... 

536. SOLUCIÓN de 236. Una extraña flor

    Pepe Chapuzas estaba dibujando una extraña flor en su cuaderno y le tuve que recordar que no estábamos en clase de Dibujo sino de Matemáticas. Rápidamente me comentó que era un dibujo para ilustrar el reto que iba a plantear a la clase para el fin de semana.

    Alrededor de un polígono irregular convexo de N lados (amarillo) se adosan N triángulos equiláteros (verdes) que determinan entre sí N ángulos (rojos). ¿Cuánto suman estos ángulos?

    Obtén una fórmula que dependa de N.

SOLUCIÓN

    Veamos cómo fue deshojando esta flor Nina Guindilla...

    Profe, mire. Si el polígono tiene N vértices, la suma de sus ángulos internos es (N–2)·180º = N·180º – 360º. Todos estos ángulos internos son convexos porque el polígono es convexo, pero en realidad cada vértice determina dos ángulos: uno convexo (el de dentro) y otro cóncavo (el de fuera). Para cada ángulo convexo Â del polígono, el cóncavo correspondiente medirá 360º – Â, y por tanto, el ángulo rojo correspondiente será 240º – Â. Así, la suma de todos los ángulos rojos valdrá N·240º – N·180º + 360º = N·60º + 360º = (N+6)·60º.

    Prueba que la suma de los ángulos internos de un polígono es (N–2)·180º.

535. SOLUCIÓN de 235. ¡A lo bruto!

    Había mandado para casa un ejercicio de progresiones. Se trataba de calcular cuánto sumaban los números de las páginas de un libro. Se suponía que había que utilizar las fórmulas que se habían explicado, sin embargo Pepe Chapuzas lo hizo a lo bruto...

    Y como lo hizo a lo bruto el resultado era incorrecto. ¡Se había saltado una página! ¿Cuántas páginas tenía el libro y cuál se había saltado Pepe?

SOLUCIÓN

    Profe, mire. La suma de los N primeros números naturales es N(N+1)/2 porque se trata de una progresión aritmética de diferencia 1... La ecuación N(N+1)/2 = 394000 no tendrá solución natural por culpa de Pepe que se ha comido una página... Así que...

N(N+1)/2 > 394000. 

N²+N – 788000 > 0

N > (–1+√3152001)/2 = 887,2

    Por lo tanto había 888 páginas el el libro. La suma correcta sería 888·889/2 = 394716... Por lo tanto la página que se salto Pepe fue la 716.

    Nina Guindilla además ha calculado la suma de las páginas pares e impares por separado. ¿Cuánto dan?

534. SOLUCIÓN de 234. Morse y los mayas

    Mientras pasaba lista en clase empecé a oír un ruidito de fondo que parecía un telégrafo. Agucé el radar (que hemos desarrollado los profes) para localizar la procedencia del telégrafo y resultó ser Pepe Chapuzas. Le llamé la atención... Como disculpa dijo que se había despistado ensayando el código Morse... Le pregunté por curiosidad qué estaba diciendo en código Morse y me entregó este papelito con puntos y rayas...

    Empecé la clase comentando que los mayas utilizaban puntos y rayas para representar números... Como "castigo" le mandé a Pepe que escribiera el número 6527775 en notación maya.

    Puedes echarle una mano a Pepe enviándome tú la solución...
    Por cierto... ¿Qué estaba diciendo Pepe en código Morse?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla replicó:

    Profe, lo que estaba diciendo Pepe era "CHAPUZAS", pero el otro día estaba diciendo "GUINDILLA"...
    Los mayas tenían un sistema de numeración mixto. Por un lado era vigesimal posicional y por otro era quinario. Necesitaban 20 "cifras" para representar sus números. El "0" lo representaban con una concha y las demás "cifras" con el sistema quinario de puntos (unos) y rayas (cincos). La escritura era vertical descendente... Lo primero que hay que averiguar son las cifras vigesimales, para lo cual vamos dividiendo sucesivamente por 20... y obtenemos los restos 15, 8, 19, 15, 0 y 2. La comprobación sería 2·20⁵+15·20³+19·20²+8·20+15 = 6527775. Ahora hay que escribir cada "cifra" maya:

    ¿Cómo suena "GUINDILLA" en código Morse?

    ¿Qué número escribieron los mayas en esta inscripción?

533. SOLUCIÓN de 233. Un enlace geométrico

    Un cuadrado y un círculo están enlazados. Si quieres saber lo que esto significa solo tienes que echar un vistazo al dibujito. 

    Si el área del circulo es de 1 metro cuadrado... ¿Cuánto mide el área del cuadrado?

    Resuelve este pequeño reto de Pepe Chapuzas y me envías el resultado con todas las operaciones. Y si te ha parecido fácil puedes resolver el siguiente enlace... Si el área del triángulo equilátero es 1 metro cuadrado... ¿Cuánto mide el área del círculo?

SOLUCIÓN

    Profe, mire. Fíjese en el segmento circular que se encuentra debajo del cuadrado... Su cuerda "C" es el lado del cuadrado, y su flecha "F" es el diámetro "D" del círculo menos el lado del cuadrado, es decir, F = D – C . Por otro lado, la fórmula de la flecha "F" a partir de la cuerda "C" y del diámetro "D" del círculo es F = (D – √(D²–C²))/2. Igualando las dos ecuaciones nos queda D–2C=√(D²–C²), y elevando al cuadrado, D²+4C²–4DC = D²–C², y simplificando, 5C = 4D, o sea, C = 4D/5. Como el círculo tiene área 1 = π·D²/4, el diámetro mide D = 2/√π, por lo que C = 8/5/√π, y el área del cuadrado medirá C² = 64/25/π = 0,815 m².

    Demuestra la fórmula de la flecha (sagita), detalla todos los cálculos de Nina Guindilla y resuelve el segundo enlace geométrico. (Este es más fácil.)

532. SOLUCIÓN de 232. La urna de cristal

    Pepe Chapuzas vuelve a amenizar la clase con un desafío matemático...

    Aquella urna de cristal tenía forma de ortoedro. Era una urna completamente cerrada y contenía en su interior 1 litro de agua. Cuando apoyábamos la urna sobre cada una de sus bases el nivel del agua alcanzaba una altura de 20mm, 40mm y 50mm respectivamente. ¿Cuál es la capacidad de esta urna?

    ¡A por el desafío de Pepe! Espero tu respuesta.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla llamó a las dimensiones de la urna A, B y C.

     Al apoyar sobre cada base (se supone que es en horizontal) el agua adquiere forma de ortoedro de dimensiones A·B·20 = 1000000, A·C·40 = 1000000 y B·C·50 = 1000000. (Un litro es un millón de milímetros cúbicos.) Si multiplicamos las tres ecuaciones tenemos A²·B²·C²·40000 = 10¹⁸, por lo que A·B·C·200 = 10⁹, es decir, A·B·C = 5 litros.

    ¿Cuánto miden las dimensiones A, B y C de la urna?

531. SOLUCIÓN de 231. Los peces besucones

    Profe, mire. He comprado 60 peces besucones. No es que sean muy cariñosos, es que esa es la manera que tienen de cambiar de color. Verá... Los peces besucones pueden ser azules, amarillos o rojos, y cuando se besan dos peces de distinto color, ambos mudan su color para volverse los dos del tercer color. Si no se entiende vea:

    Cuando los compré había 18 azules, 20 amarillos y 22 rojos... Me pregunto si a base de besos podrían volverse todos del mismo color...

    ¿Quién puede responder a Pepe Chapuzas? Si crees que tienes la solución, pásamela.

SOLUCIÓN

    Veamos la solución de Nina Guindilla.

    Profe, mire. Sea N el número de peces amarillos menos el número de peces azules. Cuando se besa un pez azul con un pez amarillo, N no varía. Cuando se besa un pez azul con un pez rojo, N aumenta en 3 unidades. Cuando se besa un pez amarillo con un pez rojo, N disminuye en 3 unidades. Por lo tanto N nunca puede ser 0 (ni múltiplo de 3) ya que inicialmente vale 2. Por lo tanto, no pueden ser todos los peces rojos. (El mismo razonamiento sirve para los otros colores...)

    ¿Cuántos peces tiene que haber de cada color para que al final puedan acabar siendo todos rojos?

530. SOLUCIÓN de 230. Cuadrados de cuadrados

    Profe, mire. Puedo componer un cuadrado grande juntando 6 cuadrados, 7 cuadrados, 8 cuadrados...  ¿Es posible formar cuadrados con cualquier cantidad N de cuadrados (si N > 5)? 

    No le contesté esta pregunta a Pepe Chapuzas. Dejo que la penséis...
    ¿Ocurriría lo mismo con triángulos equiláteros?

SOLUCIÓN

    Profe, mire. El truco está en que un cuadrado se puede dividir fácilmente en cuatro cuadrados. Si se puede formar un cuadrado con N cuadrados, al dividir uno de ellos en cuatro, el cuadrado inicial estaría formado por N+3 cuadrados. Si es posible formar cuadrados con 6, 7 u 8 cuadrados, se puede formar con cualquier cantidad mayor que 5. El razonamiento con triángulos es exactamente el mismo.

    Nina Guindilla ha utilizado el principio de inducción chapuceramente. ¡A veces se parece a Pepe! En fin, haz la demostración de forma rigurosa...

529. SOLUCIÓN de 229. El libro censurado

    Profe, mire. En casa tengo un libro antiguo al que le faltan muchas hojas. (Yo creo que fue censurado.) El caso es que las páginas que faltan son todas consecutivas... La primera página que falta es la 385 y de la última página que falta solo sé que su número tiene esas tres mismas cifras.
¿Sabría decirme cuántas hojas le faltan al libro?

    Esta historia de Pepe Chapuzas contiene (como todas sus historias) una preguntita...
    ¿Cuántas hojas faltan? La respuesta debe estar acompañada de un buen razonamiento...

SOLUCIÓN

    A Nina Guindilla los buenos razonamientos no le faltan...

    Profe, mire. La última página que falta tiene que ser par, por lo que tiene que acabar en 8. Y tiene que ser mayor que 385 por lo que no puede ser 358, tiene que ser 538. Al libro le faltan (538–385+1):2 = 77 hojas.

    ¿Cuánto suman los números de las páginas que faltan?

528. SOLUCIÓN de 228. Una mesa pintada

   Profe, mire. Mi mesa está tan descolorida que he decidido pintarla... ¿Qué le parece este diseño?

    Pepe Chapuzas me enseñó este dibujo que pretendía ser el resultado final de su proyecto para con la mesa... Cuando le recordé que no podía tomarse esas libertades con el material del instituto, me confesó que no iba en serio y que el dibujo solo era un problemita de Geometría:

    Si el área verde mide 0,23 metros cuadrados... ¿Cuánto medirá el área anaranjada?

    Resuelve el problema de la mesa de Pepe Chapuzas y me mandas la solución...

SOLUCIÓN

    Mire, profe. Consideremos las áreas M = morada, N = naranja, A = azul y V = verde = 0,23, y el rectángulo M+N+V+A. El triángulo M+N es la mitad de dicho rectángulo por lo que M+N = 0,23+A. Y lo mismo puedo decir del triángulo A+N = 0,23+M. Si sumamos las dos ecuaciones tenemos M+A+2·N = 0,46+A+M. Por lo tanto N = 0,23 metros cuadrados.

    Nina Guindilla se llevó el positivo.
    Demuestra que el área morada y el área azul son iguales.

527. SOLUCIÓN de 227. Una sucesión muy natural

    Pepe Chapuzas escribió en la pizarra la siguiente sucesión:

    Es decir, en esta sucesión el número natural N aparece N veces. La pregunta era la siguiente...

    ¿Cuál es el término millonésimo, o sea, A1000000?

    Si lo resuelves te pongo un positivo.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla se llevó el positivo de la siguiente manera...

    Mire, profe. A1 = 1, A2 = A3 = 2, A4 = A5 = A6 = 3, y así, si me fijo la última vez que aparece el número N en la sucesión tendré A1000000 = AN(N+1)/2 = N. (Observe que N(N+1)/2 es un número triangular.) Por lo tanto, N(N+1)/2 ≥ 1000000, y N²+N–2000000 ≥ 0, que solo tiene sentido para N ≥ (–1+√8000001)/2 = 1413,7. Por lo tanto A1000000 = 1414.

    ¿Cuánto vale A1000000 en la sucesión 1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, ...?

526. SOLUCIÓN de 226. Un número millonario...

    Cuando entré en clase encontré escrito en la pizarra este reto...

    Calcula este producto y me lo cuentas razonadamente...

SOLUCIÓN

    Un número muy largo para un reto tan corto... profe. Mire, si ninguna cifra fuera cero es decir, si todas las cifras fueran mayores o iguales que uno, entonces la suma de todas ellas sería mayor o igual que 1 000 000. (Sería justo 1 000 000 si hubiera un millón de unos...) Por lo tanto, al menos hay un cero, y por lo tanto el producto es sencillamente 0. 

    Nina Guindilla no lo deja aquí...

    Si un número natural tiene un millón de cifras y la suma de cifras es 1 000 010. ¿Cuánto puede valer el producto de las cifras?

525. SOLUCIÓN de 225. Tres cuadrados

    Pepe Chapuzas había forrado su libro de Mates con un papel blanco, y para decorarlo había dibujado tres cuadrados que se intersecaban. El dibujo era más o menos así:

    Debajo del dibujo no podía faltar un ejercicio...

    Los lados de estos tres cuadrados son 6cm, 4cm y 3cm respectivamente. Calcula A – R donde A es el área azul y R es el área roja.

 

SOLUCIÓN

    Profe, mire. Es fácil aunque cuesta visualizar la operación... Se ve mejor pintando una parte de morado... Sea M el área morada... Si al cuadrado grande le quitamos el cuadrado pequeño nos queda un área de 36 – 9 = 27 centímetros cuadrados (A + M). Si a estos 27 centímetros cuadrados le restamos los 16 del cuadrado mediano (R + M) nos queda precisamente lo que pedía el enunciado A – R = 27 – 16 = 11 centímetros cuadrados.

 

    Nina Guindilla ha resuelto el ejercicio y a su vez ha propuesto el siguiente:

    Si los círculos tienen de radios 8cm, 5cm, 3cm y 2 cm, calcula A – R, donde A es el área azul y R es el área roja. 

524. SOLUCIÓN de 224. El poliedro de Steffen

    Pepe Chapuzas hizo una redacción sobre construcción de poliedros que empezaba así...

    Para construir un poliedro voy uniendo finos polígonos de madera por la arista con cinta adhesiva. Cuando uno los dos primeros se forma un ángulo diedro que se puede abrir y cerrar fácilmente. 

    Pero a medida que voy añadiendo más polígonos los diedros se vuelven inamovibles y el poliedro terminado es totalmente rígido...

    Al día siguiente le regalé a Pepe unos triángulos de madera y las instrucciones para construir el poliedro de Steffen... No olvidaré la expresión de su cara cuando terminó de construirlo...

    ¡Profe, este poliedro se mueve! ¡Es flexible!

    Busca en Internet el desarrollo del poliedro de Steffen, constrúyelo (puede ser de cartulina) y sorprende a tus compañeros...

SOLUCIÓN

    Nina encontró el siguiente desarrollo en Internet:

     Profe, mire. He leído que en 1766 Euler conjeturó que los poliedros cerrados eran rígidos, y no se podían deformar sin romper las caras... Los grandes genios también se equivocan... Hoy se sabe que, aunque los poliedros flexibles varíen su forma, su volumen permanece constante...

    ¿Qué dobleces son hacia afuera (diedros convexos) y cuáles hacia adentro (diedros cóncavos)? Investiga acerca de otros poliedros flexibles...