Responde a Pepe Chapuzas en el caso general y en el caso particular para M=1260 y N=2625.
SOLUCIÓN
Profe, mire. La diagonal tiene que atravesar N filas de cuadraditos y M columnas. Cuando la diagonal llega a un vértice de cuadradito acaba de atravesar una fila y una columna a la vez, y eso ocurre "mcd(M,N)" veces. Entonces el número de cuadraditos atravesados es:
M + N – mcd(M,N)
En el caso particular de un rectángulo de base 1260 y altura 2625...
El mcd(1260,2625) = 105, así que el número de cuadraditos atravesados es:
1260 + 2625 – 105 = 3780
Nina Guindilla trasladó el problema a tres dimensiones...
Mire, profe. Si el largo, ancho y alto de un ortoedro son los números naturales A, B y C respectivamente, y consideramos el ortoedro dividido en A·B·C cubitos unitarios..., ¿cuántos cubitos atraviesa la diagonal del ortoedro?
Contesta a la pregunta de Nina para el caso general y para A=3300, B=1820 y C=1176.
RESOLUCIÓN
Yoyó Peluso razonó de forma similar (chapuceramente)... pero con una dimensión añadida...
Mire, profe. Si la diagonal solo toca a un cubito por una arista, entonces consideramos que no lo atraviesa... La diagonal tiene que atravesar A lonchas de cubitos a lo largo, B a lo ancho y C a lo alto. Cuando la diagonal llega a una arista de cubito acaba de atravesar dos lonchas a la vez (largo y ancho, largo y alto o ancho y alto)... pero si llega a un vértice de cubito, entonces atravesó tres lonchas a la vez (largo, ancho y alto). Contando y descontando, el número de cubitos atravesados será...
A + B + C – mcd(A,B) – mcd(A,C) – mcd(B,C) + mcd(A,B,C)
En nuestro caso particular...
mcd(3300,1820) = 5·2·2 = 20
mcd(3300,1176) = 3·2·2 = 12
mcd(1820,1176) = 7·2·2 = 28
mcd(3300,1820,1176) = 2·2 = 4
El número de cubitos atravesados será...
3300 + 1820 + 1176 – 20 – 12 – 28 + 4 = 6240
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