Mire, profe. Un triángulo isósceles tiene dos medianas perpendiculares... ¿Cuánto miden sus ángulos? (Pista: dos ángulos son iguales, jajaja.) ;-)
Imagínate el triángulo porque Pepe no nos ha dejado ningún dibujo y... ¡A medir!
SOLUCIÓN
Nina Guindilla dedujo...
Profe, mire. La mediana sobre el lado desigual es perpendicular a este lado y por lo tanto no puede ser perpendicular a otra mediana, de lo que se deduce que las dos medianas perpendiculares han de ser las medianas sobre los lados iguales...
Nina propuso un problema similar...
Un triángulo rectángulo tiene dos medianas perpendiculares... ¿Cuánto miden sus ángulos? (Pista: un ángulo mide 90º, jajaja.) ;-)
RESOLUCIÓN
Yoyó Peluso dedujo...
Profe, mire. Como los catetos son perpendiculares, las medianas sobre los catetos no pueden ser perpendiculares, así que una de las medianas perpendiculares ha de ser la mediana sobre la hipotenusa.
Si nombramos los segmentos como en el dibujo tenemos (gracias a Pitágoras).
(2x)2 + y2 = (c/2)2 4x2 + y2 = c2/4
(2y)2 + x2 = (h/2)2 4y2 + x2 = h2/4
y sumando...
5x2 + 5y2 = h2/4 + c2/4
20·(x2 + y2) = h2 + c2
Por otro lado...
(2x)2 + (2y)2 = 12 x2 + y2 = 1/4
de donde
h2 + c2 = 5
Y como
1 + c2 = h2
tenemos
1 + c2 + c2 = 5
2·c2 = 4
c = √2
Por lo tanto los ángulos agudos del triángulo son
arctg√2 = 54.735610317245º
90º – 54.735610317245º = 35.264389682755º
Por lo tanto los ángulos agudos del triángulo son
arctg√2 = 54.735610317245º
90º – 54.735610317245º = 35.264389682755º
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