1668. Haces ortogonales...

     Pepe Chapuza había traído el siguiente dibujo:

     Profe, mire. El haz de circunferencias con centro en el punto (0, 0) y el haz de rectas que pasan por el punto (0, 0) son haces ortogonales porque todas esas rectas cortan perpendicularmente a todas esas circunferencias.

     Aunque era evidente, Pepe justificó su afirmación... (En lo que sigue las letras minúsculas r y s representan variables y las mayúsculas R y S constantes.) 

    Mire, profe. La recta de ángulo S (r cos S, r sen S) corta a la circunferencia de radio R         (R cos s, R sen s) en el punto (R cos S, R sen S). Derivando respecto de r y s se obtienen respectivamente los vectores tangentes de la recta y de la circunferencia en esa intersección: (cos S, sen S) y (– R sen S, R cos S) cuyo producto escalar es nulo. Es similar en el otro punto de corte. 

    Entonces comenté que menos evidente era que el haz de parábolas convexas con foco en (0, 0) y el haz de parábolas cóncavas con foco en (0, 0) eran también haces ortogonales. ¡Compruébalo! 

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla lo comprobó... 

    Profe, mire. 

    La parábola cóncava de distancia focal R² (2Rs, s²–R²) y la parábola convexa de distancia focal S² (2rS, S²–r²) se cortan en el punto (2RS, S²–R²). Los vectores tangentes a las parábolas en esta intersección serán (2R, 2S) y (2S, –2R) cuyo producto escalar es nulo. En el otro punto de corte es similar. 

    Luego añadí que tampoco era evidente que el haz de las elipses con focos en (1, 0) y (–1, 0) y el haz de las hipérbolas con focos en (1, 0) y (–1, 0) son también haces ortogonales... 

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota se acordó de las trigonometrías elíptica e hiperbólica... 

    Profe, mire. 

    La hipérbola de excentricidad sec R (cos R cosh s, sen R senh s) y la elipse de excentricidad sech S (cos r cosh S, sen r senh S) se cortan en el punto (cos R cosh S, sen R senh S). Los vectores tangentes en esta intersección son (cos R senh S, sen R cosh S) y         (–sen R cosh S, cos R senh S) cuyo producto escalar es nulo. En los otros puntos de corte es similar...

    Se deja al lector avezado que compruebe que los focos de las cónicas están donde deben...