1617. Doblemente reglada... (2.ª parte)

     Mire, profe. Estamos acostumbrados a ver los paraboloides de revolución (las antenas parabólicas). Pero hay otros paraboloides: los paraboloides elípticos, entre cuyas secciones planas hay parábolas, elipses y puntos; y los paraboloides hiperbólicos, entre cuyas secciones planas hay parábolas, hipérbolas... y ¡pares de rectas secantes!

    Pepe Chapuza nos dibujó una especie de "silla de montar". Lo que venía a decir Pepe era que los paraboloides hiperbólicos eran superficies doblemente regladas. ¿Realmente esto era así?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla conocía bien la ecuación reducida de la "silla de montar".

x²/a² − y²/b² = z

    Mire, profe. La parábola (au, 0, u²), u ∈ ℝ, está en el paraboloide ya que  (au)²/a² − 0²/b² = u² .

    Para cada punto de esta parábola, la recta (au+av, bv, u²+2uv), v ∈ ℝ, está contenida en el paraboloide ya que  (au+av)²/a² − (bv)²/b² = u² + v² + 2uv − v² = u² + 2uv . Lo mismo se puede decir de la recta (au+aw, −bw, u²+2uw), w ∈ ℝ, con lo que efectivamente la "silla de montar" es doblemente reglada.

    Solo faltaba comprobar que estas rectas generaban todo el paraboloide...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota sabía que había que calcular para cada punto P(X, Y, Z) del paraboloide los parámetros u, v y w.

    Profe, mire. 

    De la segunda coordenada tenemos  v = Y/b  y  w = −Y/b . 

    De la primera coordenada tenemos  u = X/a−v = X/a−Y/b  o  u = X/a−w = X/a+Y/b . 

    Finalmente comprobamos la tercera coordenada (por si las moscas)...

u² + 2uv = X²/a² + Y²/b² − 2XY/a/b + 2XY/a/b −2Y²/b² = X²/a² − Y²/b² = Z

u² + 2uw = X²/a² + Y²/b² + 2XY/a/b − 2XY/a/b −2Y²/b² = X²/a² − Y²/b² = Z

1616. Los repunits

    Mire, profe. Un repunit es un número formado por unos. Por ejemplo, 11111111 es un repunit... Es el octavo repunit: un repunit con ocho unos. Lo llamaremos R(8). Así, R es la sucesión de los repunits...

    Evidentemente, el 2 no puede ser divisor de un repunit. Tampoco el 5. Los criterios de divisibilidad del 2 y del 5 excluyen a los números que acaban en 1.

    Sin embargo, cualquier otro número primo (distinto de 2 y de 5) es divisor de algún repunit... 

    Esta afirmación de Pepe Chapuza habrá que demostrarla...

SOLUCIÓN

    Profe, mire. 

    Sea P un primo distinto de 2 y de 5. Y consideremos los repunits R(N) con 1 ≤ N ≤ P+1. 

    Al dividir estos repunits entre P obtenemos sus módulos (restos) M(N), 1 ≤ N ≤ P+1.

    Como mucho, puede haber P módulos distintos ya que el resto siempre es menor que el divisor (0 ≤ M(N) < P) por lo que algún módulo se repite, esto es, existen N' y N" (supongamos que N' < N") para los que M(N') = M(N").

    Así pues, como P es divisor tanto de R(N')−M(N') como de R(N")−M(N"), también será divisor de su diferencia R(N")−M(N')−R(N')+M(N') = R(N")−R(N').

    Profe, mire lo que pasa cuando restamos dos repunits:

   ¿Lo ve? R(N")−R(N') = R(N"−N')·10^N’= R(N"−N')·2^N’·5^N’. O sea, el primo P, que no es ni 2 ni 5, es divisor de R(N"−N')·2^N’·5^N’ y por tanto tiene que ser divisor del repunit R(N"−N').

    Después de la exposición de Nina Guindilla solo nos faltaba una fórmula para los repunits...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota nos mostró la fórmula R(N) = (10^N − 1) / 9.

    Mire, profe. En realidad es la fórmula de la suma de términos de una progresión geométrica:

1 + 10 + 100 + ... + 10^N−1 = (10·10^N−1− 1) / (10 − 1)

    Que en realidad no es más que un modo de formalizar que 11111111 = 99999999 / 9.

    Dije en clase que había muchas curiosidades acerca de los repunits. Por ejemplo

2 + 3² = 11

22 + 33² = 1111

222 + 333² = 111111

2222 + 3333² = 11111111

...

    Yoyó enseguida lo justificó...

    Profe, mire: 

2·R(N) + (3·R(N))² = 2·R(N) + 9·R(N)² = R(N)·(2+9·R(N)) =

    Si a un número formado por nueves le sumamos dos unidades conseguimos...

= R(N)·(1+10^N) = R(N) + R(N)·10^N = R(2N)

que es como encadenar dos repunits iguales...

    Pero también se puede proceder con la fórmula...

2·R(N) + (3·R(N))² =

= 2·(10^N − 1)/9 + (3·(10^N − 1)/9)² =

= (2·10^N − 2 + 10^2N − 2·10^N + 1) / 9 =

= (10^2N − 1) / 9 = R(2N)

    

    Se deja al lector que investigue sobre los repunits por su cuenta...

1615. La diagonal entera...

     Mire, profe. Los puntos  A ,  B ,  C  y  D  son los vértices consecutivos de un cuadrilátero. Si los lados miden...

dist (A, B) = 5 m

dist (B, C) = 9 m

dist (C, D) = 17 m

dist (D, A) = 5 m

¿cuánto mide la diagonal  AC , esto es,  dist (A, C) ?

    Le pregunté a Pepe Chapuza si no faltaba algún dato, y me respondió que la longitud de esta diagonal era un número entero de metros, esto es, un número natural... E hizo un dibujito chapucero, porque las distancias no se correspondían con los datos... Al menos así evitamos que alguien se pusiera a medir con la regla  ;-)

    ¡Pues venga!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla dedujo la longitud con la desigualdad triangular (o de Minkowski) puesto que la diagonal dividía al cuadrilátero en dos triángulos...

    Mire, profe. por un lado  dist (A, C) < dist (A, B) + dist (B, C) = 5 m + 9 m = 14 m .

    Por otro lado  dist (A, C) > dist (C, D) − dist (D, A) = 17 m− 5 m = 12 m .

    Por lo tanto  12 m < dist (A, C) < 14 m , esto es,  dist (A, C) = 13 m .

    ¿Cuánto mide la otra diagonal?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota utilizó el teorema del coseno y la función arcocoseno...

    Profe, mire. El ángulo  BÂC = arccos ( (5²+13²−9²) / (2·5·13) ) = 29,63º .

    El ángulo  CÂD = arccos ( (5²+13²−17²) / (2·5·13) ) = 136,95º . 

    El ángulo  BÂD = 29,63º + 136,95º = 166,58º .

    Y la diagonal  dist (B, D) = √ ( 5²+5²−2·5·5·cos166,58º ) = 9,9315 m .

1614. De casa al arroyo

    Profe mire. Cuando voy de mi casa al arroyo a por agua siempre recorro el trayecto más corto... 

    Presentí que era el preámbulo de alguna optimización...

    ... Así que voy a calcular la distancia del punto O(0, 0, 0) a la recta r: x=1+t, y=8+2t, z=5+2t. 

    

    El punto genérico de la recta, R(1+t, 8+2t, 5+2t).

    Su vector de posición, OR = (1+t, 8+2t, 5+2t).

    El módulo, |OR| = √((1+t)²+(8+2t)²+(5+2t)²) = √(9t²+54t+90).

    El polinomio de 2.º grado 9t²+54t+90 alcanza su mínimo en t = −54/18 = −3.

    (O se puede anular la derivada: 18t + 54 = 0, y se cumple t = −3 como antes.)

    Por lo tanto la distancia mínima es d = √(9·9−54·3+90) = √9 = 3 unidades de longitud.

    Muy bonito. Nunca yerro con Pepe Chapuza... Pero se puede hacer de otras formas...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla lo hizo de otra forma...

    Mire, profe: uno se acerca a por agua perpendicularmente al arroyo...

    Si exijo que el vector OR sea ortogonal al vector director de r, v = (1, 2, 2), entonces...

    El producto escalar OR·v = (1+t, 8+2t, 5+2t)·(1, 2, 2) = 1+t+16+4t+10+4t = 9t+27 = 0.

    Por lo tanto t = −27/9 = −3 como le salió a Pepe.

    (O se puede hallar la intersección de r con el plano π perpendicular que pasa por O. Esto es, π: z+2y+2z = 0, y se cumple (1+t)+2(8+2t)+2(5+2t) = 9t+27 = 0 como antes.)

    Muy bonito también, pero hay otra forma...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso se acordó de la fórmula. (En definitiva fórmula es diminutivo de forma.)

    Profe, mire. Para t = 0, OR = (1, 8, 5). El área del paralelogramo determinado por OR y v es |v×OR| pero también base·altura. Podemos tomar como base |v| y como altura d. Por lo que...

d = |v×OR|/|v| = |(1, 2, 2)×(1, 8, 5)|/|(1, 2, 2)| = |(−6, 3, 6)|/|(1, 2, 2)| =

= √(36+9+36) / √(1+4+4) = √81/√9 = 9/3 = 3 unidades de longitud.

    Se deja al lector ubicar en el dibujo los elementos mencionados.

    

1613. La luz y el prisma...

     Mire, profe. Un rayo de luz blanca incide sobre una faceta lateral de un prisma óptico recto de bases triangulares equiláteras. El rayo es paralelo a las bases y forma con la faceta un ángulo de 25º. Al atravesar el prisma, la luz blanca se abre en un haz irisado debido a los diferentes índices de refracción de los diversos colores del espectro visible, que van desde 1,50 para el límite infrarrojo hasta el 1,53 del límite ultravioleta. ¿Qué ángulo determinan los bordes de este abanico de luz emergente del prisma?

    A Pepe Chapuza le gusta tanto el arco iris que nos ha regalado este bello experimento óptico...

SOLUCIÓN

    Profe, mire. En el vacío la velocidad de la luz es máxima (se denomina c y vale casi 300000 km/s). En otro medio (aire, agua, vidrio, diamante...) la velocidad se calcula dividiendo c entre el índice de refracción. Cuando la trayectoria de la luz cambia de medio, no solo cambia su velocidad sino también su dirección. En el prisma (y en objetos similares) se cumple la ley de Snell:  r·senθ = r'·senθ' , donde r y r' son los índices de refracción (del aire y del vidrio) y θ y θ' son los ángulos de los rayos de luz (en el aire y en el vidrio) respecto de la normal a la faceta del prisma...

    Vamos al problema de Pepe. Teniendo en cuenta que r es casi 1 y que está midiendo los ángulos desde la faceta y no desde la normal, la ley de Snell quedaría

cos25º = r'·cosα' 

α' = arccos(0,9063/r')

α'₁ = arccos(0,9063/1,50) = 52º50'           α'₂ = arccos(0,9063/1,53) = 53º40'

    Estos son los ángulos en el interior del prisma... Veamos como sale la luz del prisma...

α'' = 120º − α'

α''₁ = 120º − 52º50' = 67º10'           α''₂ = 120º − 53º40' = 66º20'

r'·cosα'' = cosα'''

α''' = arccos(r'·cosα'')

α'''₁ = arccos(1,50·0,3881) = 54º25'           α'''₂ = arccos(1,53·0,4014) = 52º5'

α'''₁ − α'''₂ = 2º20'

    (La precisión de Nina Guindilla era de 1º/12 = 5'.)

    ¿Con qué ángulos α'' la luz no podría atravesar la faceta del prisma?

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. El dominio del arcocoseno es [−1, 1] por lo que  r'·cosα'' ≤ 1 . La luz no puede salir si α'' < arccos(1/r') = arccos(1/1,5) = 48º10' .

    Yoyó Gaviota calculó el ángulo límite de la reflexión total.