Profe,
mire cómo se pueden obtener el seno y el coseno de la suma de dos ánulos con los números complejos...
Tomo
dos giros consecutivos de ángulos A y
B radianes y considero sus versores cis A y
cis B . Como cis es un antilogaritmo tendremos cis (A+B) = cis A · cis B . ¿Lo ve? He matado dos pájaros de un tiro...
¿Quién explica lo que quiso decirme Pepe?
SOLUCIÓN
Nina Guindilla nos aclaró lo sucedido...
Mire, profe. Dejando de lado lo de matar pájaros..., resulta que para Z radianes
cos Z + i sen Z = cis Z = exp (iZ)
que es el antilogaritmo neperiano (potencia de base e), por lo que
cos (A+B) + i sen (A+B) = cis
(A+B) =
= exp (i
(A+B)) = exp (iA + iB)
= exp (iA) · exp (iB) =
= cis A
· cis B = (cos A + i sen A) · (cos B + i sen B) =
= (cos A
· cos B − sen A · sen B) + i (sen A · cos B + cos A · sen B)
y separando la parte real de la parte imaginaria tenemos las fórmulas de adición.
Bien hecho y dicho. Nina añadió que con cis se podía escribir la fórmula de De Moivre así: cis (nZ) = (cis Z) n .
Y yo propuse como ejercicio las fórmulas para sen (A+B+C) y cos (A+B+C) ...
RESOLUCIÓN
Yoyó Gaviota calculó las fórmulas con cis :
Profe, mire.
cos (A+B+C) + i sen (A+B+C) =
= cis
(A+B+C) = cis A · cis B · cis C =
= (cos A
+ i sen A) · (cos B + i sen B) · (cos C + i sen C) =
= (cos A
cos B cos C − sen A sen B cos C − sen A cos B sen C − cos A sen B sen C) +
+ i (sen A cos B cos C + cos A sen B cos C + cosA
cos B sen C − sen A sen B sen C)
