Estábamos viendo el plano de Gauss
y Pepe Chapuza me comentó que era genial poder operar con vectores como si fueran
números. Le comenté que sí, que era una potente herramienta el poder trabajar en
geometría vectorial del plano mediante la aritmética de los números complejos. Insistió
en el asunto y me comentó que había que tener cuidado para no confundir el producto
escalar de vectores con el producto de números complejos... No sabía qué rondaba
por su cabeza..., así que le dije si podía investigar cuál era la relación entre
los dos productos... Esto fue lo que me trajo al día siguiente:
Mire profe. La suma de vectores
y la suma de complejos son equivalentes. Y el producto de un escalar por un vector
es equivalente al producto de un real por un complejo...
Pero si escribo u v
o u · v nadie sabe si se trata de un producto escalar
de vectores o de un producto de números complejos (que no son para nada productos
equivalentes). Para evitar confusiones, en lo que viene a continuación voy a indicar
el producto escalar con punto y el producto de números complejos sin punto.
También voy a indicar
el conjugado de w como w tanto si se interpreta como número complejo o
como vector del plano. Aquí y ahora w = Re(w) + Im(w) i = ( Re(w)
, Im(w) ) .
Primera fórmula:
u · v =
= Re(u) Re(v) + Im(u) Im(v) =
= (u/2 + u/2) (v/2 + v/2) + (u/2/i
– u/2/i) (v/2/i – v/2/i) =
= ( u v + u v + u v + u v
– u v + u v + u v – u v ) / 4 =
= ( u v + u v ) / 2
Se da cuenta. Si dos
vectores u y v son ortogonales entonces ¡ u v + u v = 0 !
Además, es fácil deducir
ahora que
w · w = w
· w = w w (el cuadrado del módulo)
Y también...
w · w = (w w
+ w w) / 2
=
Re (w w) = Re (w w)
Segunda fórmula:
u v =
= Re(u) Re(v) – Im(u) Im(v) + Re(u) Im(v) i + Im(u)
Re(v) i =
= Re(u) Re(v) + Im(u) Im(v) + Re(u)
Re(vi) i + Im(u) Im(vi) i =
= (u · v) + (u · vi) i
(Recuerdo que se obtiene
wi girando w un ángulo de 90º.)
Además, es fácil deducir
ahora que (ui · v) + (u · vi) = 0 .
Pepe Chapuza hace honor a su apellido.
Le advertí que también habría confusión con
w2 pero Pepe lo tenía previsto: w2 = w w
mientras que w · w = |w|2
.
En fin, pedí a mis alumnos que
utilizaran la primera de las fórmulas de Pepe para demostrar el siguiente resultado...
Si adherimos a los cuatro lados
de un cuadrilátero convexo las hipotenusas de cuatro escuadras (triángulos rectángulos
isósceles) como se aprecia en la figura, entonces los vértices de los ángulos rectos
de las escuadras determinarán un cuadrilátero ortodiagonal e isodiagonal, o sea,
los segmentos rojos serán perpendiculares y tendrán la misma longitud. ¡A ver quién
lo consigue antes!
SOLUCIÓN
¡Cómo no iba a ser Nina Guindilla!
Mire profe. Llamemos de la siguiente
manera a estos vectores (números complejos):
Solo hay que demostrar que u y v son ortogonales y que tienen el mismo
módulo...
Para lo primero utilizo la primera fórmula de Pepe: ¿ u v + v u = 0 ?
Veamos...
u = ai + b + bi + c y también u = − a − di − d
− ci
sumando las dos expresiones...
2u = ( ai + b + bi + c − a − di − d − ci )
= ( (c−a)(1−i) − (d−b)(1+i) )
y análogamente...
2v = ( (c−a)(1+i) + (d−b)(1−i) )
2u = ( (c−a)(1+i)
− (d−b)(1−i) )
2v = ( (c−a)(1−i)
+ (d−b)(1+i) )
por tanto...
4 (u v + v u)
=
= ( (c−a)(1−i) − (d−b)(1+i) ) ( (c−a)(1−i)
+ (d−b)(1+i) ) +
+ ( (c−a)(1+i) + (d−b)(1−i) )
( (c−a)(1+i) − (d−b)(1−i) ) =
= − 2(c−a)(c−a)i + 2(c−a)(d−b)
− 2(d−b)(c−a) − 2(d−b)(d−b)i +
+ 2(c−a)(c−a)i −
2(c−a)(d−b) + 2(d−b)(c−a) + 2(d−b)(d−b)i =
= 0
Para lo segundo hay que demostrar que u u = v v , o sea , ¿ u u − v v = 0 ?
Es similar...
4 (u u − v v)
=
= ( (c−a)(1−i) − (d−b)(1+i) ) ( (c−a)(1+i)
− (d−b)(1−i) ) +
− ( (c−a)(1+i) + (d−b)(1−i) )
( (c−a)(1−i) + (d−b)(1+i) ) =
= 2(c−a)(c−a) + 2(c−a)(d−b)i
− 2(d−b)(c−a)i + 2(d−b)(d−b) −
− 2(c−a)(c−a) −
2(c−a)(d−b)i + 2(d−b)(c−a)i − 2(d−b)(d−b) =
= 0
Nina nunca
defrauda... Queda para el lector investigar hasta qué punto se puede generalizar
este resultado para rectángulos no convexos... y para escuadras adosadas por el
interior del rectángulo...
Demuestra la afirmación de Pepe: (ui
· v) + (u · vi) = 0
RESOLUCIÓN
Yoyó Gaviota se adelantó a los
demás:
Mire profe. A partir de la segunda
fórmula de Pepe...
Por un lado u v
= (u · v) + (u · vi) i .
Por otro lado v u = (v ·
u) + (v · ui) i .
Pero u v y
v u son conjugados, de donde
se tiene que (u · vi) y (v · ui)
son opuestos.
Sin palabras...
