700. La prostaféresis. RESOLUCIÓN

    Estábamos recordando la magia de las matemáticas: los logaritmos transformaban multiplicaciones en sumas... Comenté que esto se utilizaba no hace mucho para simplificar los cálculos... Pepe Chapuzas interrumpió...

    Ya lo entiendo, profe. Como 10 ^X ·10 ^Y  =  10 ^X+Y  entonces, si  A = 10 ^X  y  B =10 ^Y  tenemos que X = log A  y  Y = log B , y por tanto

A · B  =  10 ^{logA + logB}  =  antilog ( log A + log B )

que es otra forma de escribir  log (A·B) = log A + log B .

    Bastaban unas buenas tablas de logaritmos...
    Por ejemplo:

857,1673 · 719,3398  =

=  antilog ( log 857,1673 + log 719,3398 )  =

=  antilog ( 2,9330656 + 2,8569341 )  =
antilog ( 5,7899997 )  =

=  616594,576

    ¡Buena aproximación! La respuesta correcta hasta la milésima es  616594,554 .

    Profe... Y antes de que Napier inventara (o descubriera) los logaritmos... ¿había que hacer todas las multiplicaciones a mano?

    Le dije que había un truco parecido a los logaritmos llamado prostaféresis y pedí que buscaran en qué consistía... Pepe saltó...

    ¿Prosta... qué?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla tenía algo que decir...

    Mire, profe. La prostaféresis permite convertir productos en sumas pero con una tabla de cosenos en vez de una tabla de logaritmos. Partimos de la conocida fórmula

cos X · cos Y = ( cos(X+Y) + cos(X–Y) ) : 2

    Si  A = cos X  y  B = cos Y  entonces  X = arccos A  y  Y = arccos B , y por tanto

A · B  =  ( cos ( arccos A + arccos B ) + cos ( arccos A – arccos B ) ) : 2

    La única pega es que A y B tienen que estar comprendidos entre –1 y 1, pero eso se puede solucionar multiplicando por una potencia de 10. Por ejemplo, con los mismos números que Pepe:

857,1673 · 719,3398  =
=  0,8571673 · 0,7193398 · 10 ⁶  =

como  arccos 0,8571673 = 31º  y  arccos 0,7193398 = 44º       ;-)

=  ( cos (44º + 31º) + cos (44º – 31º) ) : 2 · 10 ⁶  =

=  ( cos 75º + cos 13º ) : 2 · 10 ⁶  =

=  ( 0.2588190 + 0.9743701 ) : 2 · 10 ⁶  =

=  1.2331891 : 2 · 10 ⁶  =

=  616594,55

    ¡Excelente aproximación!

    ¿Cómo se dividiría con prostaféresis?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso advirtió que para dividir necesitábamos además unas tablas de secantes...

    
    Mire, profe. Con logaritmos es fácil:  A / B = antilog ( logA – logB ) . Con prostaféresis sería:

A / B  =

=  ( cos ( arccos A + arccos (1/B) ) + cos ( arccos A – arccos (1/B) ) ) : 2  =

=  ( cos ( arccos A + arcsec B ) + cos ( arccos A – arcsec B ) ) : 2

    Por supuesto, multiplicando por potencias de 10 para que tenga sentido el arcocoseno y el arcosecante...