1507. Los naturales de Ore. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas nos habló de una colección de números... Los números armónicos de Øystein Ore... (Naturales de Ore para abreviar...) Nos dijo que un número natural era de Ore si la media armónica de sus divisores era también un número natural...

    Mire, profe. El problema está en calcular esa media armónica cuando el número tiene muchos divisores. Pero hay un atajo. La media armónica H de los divisores de un número M se puede calcular dividiendo ese número M entre la media aritmética L de esos divisores. La media aritmética L es el cociente de la suma S de los divisores entre el número N de divisores. O sea:

H = M/L = M/(S/N) = MN/S

    Así, si M = 12, la suma de divisores es S = 1+2+3+4+6+12 =28 y N = 6. La media armónica será

H = 12·6/28 = 18/7

que no es natural. Por lo tanto, 12 no es de Ore...
    Si M = 6, la suma de divisores es S = 1+2+3+6 = 12 y N = 4. La media armónica será

H = 6·6/12 = 3

que es natural. Por lo tanto, 6 sí es de Ore...

    Comprueba que todos los naturales perfectos son de Ore.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla nos recordó lo que era un número natural perfecto:

    Mire, profe. Un natural es perfecto si es amigo de sí mismo, esto es, si coincide con la suma de sus divisores propios, por lo tanto...

M = S–M

S = 2M

y por tanto S sería par y...

H = MN/(2M) = N/2 

    M sería de Ore si N es par o, lo que es lo mismo, si M no es un natural cuadrado... (Solo los naturales cuadrados tienen una cantidad impar de divisores.)
    Procedamos por reducción al absurdo...
    Si M fuera cuadrado sería M = K². Descomponiendo K como producto de factores primos...

K = A^a · B^b · C^c · ...

M = A^2a · B^2b · C^2c · ...

y la suma de sus factores

S = (1+A+A²+...+A^2a) · (1+B+B²+...+B^2b) · (1+C+C²+...+C^2c) · ...

    En cada paréntesis el 1 está sumando a una cantidad par de potencias de un primo (todas pares o todas impares), por lo que cada paréntesis encierra un valor impar y por tanto S sería impar... ¡Par e impar a la vez!

    Vale... Todos los naturales perfectos (6, 28, 496, 8128, ...) son de Ore...
    ¿Habrá algún natural de Ore que no sea perfecto...?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso encontró dos: el 140 y el 270. Lo primero que hizo fue factorizarlos:

    Mire, profe. Con el primer número...
    M = 140 = 2²·5·7
    S = (1+2+4)·(1+5)·(1+7) = 336
    N = 3·2·2 = 12
    H = 140·12/336 = 5

    Hice mis comprobaciones... por si las moscas...
    Hay 12 divisores:

1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 y 140.

    La suma es:

1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 10 + 14 + 20 + 28 + 35 + 70  + 140 = 336.

    Y la media armónica:

12 / (1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/7 + 1/10 + 1/14 + 1/20 + 1/28 + 1/35 + 1/70  + 1/140) = 5

    Efectivamente 140 no era perfecto pero sí de Ore... Yoyó siguió con el segundo número...

   

    M = 270 = 2·3³·5
    S = (1+2)·(1+3+9+27)·(1+5) = 720
    N = 2·4·2 = 16
    H = 270·16/720 = 6

    Si el lector quiere hacer más comprobaciones... y buscar otros naturales de Ore...
    Yoyó comentó una "chapuza" antes de despedirse...

    Profe, mire. En muchos textos llaman cuadrados perfectos a los naturales cuadrados... Se podría decir que... ¡los cuadrados perfectos son imperfectos!